九章録要_(四库全书本)/全览 中华文库

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　九章录要　　　　　　　天文算法类二〈算书之属〉提要
　　〈臣〉等谨案九章录要十二卷
　　国朝屠文漪撰文漪字莼洲松江人其书因古九章之术叅以今法与杜知耕所着数学钥体例相似而互有详略踈宻知耕详于方田文漪则详于勾股知耕论少广备及形体文漪推少广则研及廉隅之辨知耕叅以西法每于设问之下附着其理文漪则采录梅文鼎诸书推阐以尽其用大致皆缀集今古之法以成书而取舎各异合而视之亦可以互相发也是书有借徴一条即借衰叠借之术为知耕之所未及考其所载虽未极精宻然于借数之巧固已得其大端矣乾隆四十六年五月恭校上
　　总纂官〈臣〉纪昀〈臣〉陆锡熊〈臣〉孙士毅
　　总　校　官〈臣〉陆费　墀

　　钦定四库全书
　　九章录要卷一
　　松江屠文漪撰
　　乘除诸法
　　九章乘除之法各有不同因以分著各章其通用者宜先讲也具详于左
　　并乘并除　算以速见巧乘或屡乘除或屡除不若一乘一除之捷也假如有数须用一十五乘复一十八乘者直以二百七十乘之〈先以十五与十八相乘〉馀可意推其在除法尤以并为便葢使分除而前除不尽以后必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除适尽则后除虽有零馀亦当无几特便于命分而并除者馀实反多然约之亦正相同耳
　　分乘分除　再三乘除不若一乘除之便而亦有时宜用分者不可以一律拘假如有数须二百四十五乘〈凡为四十九者五〉则先以五乘之复以七乘之又以七乘之既无易误之患而算较捷也其在除法则须审量何也恐前除不尽而后仍用零除也葢以法除实或不能尽者非必如三六七九等除虽破实之一为十为百与千〈如实米一石破为十斗为百升为千合之类是也〉而终不尽也即如二四五八等除但破实之一为十与百千自无不尽而若不破实则仍不尽矣前除既破实以至于尽后除势不中止此于命分反逺特求分釐数者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分釐数既得分釐数而以原法乘之亦可命分二者固亦相通然而各自取捷岂须借径此其宜审者也更恐前除破实且不尽则虽求分釐数亦未能精细故所分之除法孰先孰后〈大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末〉又不可不审总之运算之巧存乎一心非言所可悉矣　假如有银四百五十两用一百六十八除若并除得二两又一百六十八分两之一百一十四即不复破实细除但约之为二十八分两之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除〈以原数四百五十故先用三除若系三百五十便当先用七除次八次三也〉得二两六钱七分八釐五毫七丝又七分丝之一〈尚可再除而数微已甚矣〉倘欲以两命分则惟二两整数已定外馀须以原法乘之乃得一百一十四之数仍再约之反不捷也〈右一条新增〉
　　乘除相减归一法　数须乘除并用而可用乘省除或用除省乘则归一尤为至便如数须一十八乘复三除者直以六乘之须四乘复十二除者直以三除之其法乘数多则从乘除数多则从除而必先取乘除两数以少除多除之可尽即用除得之数不可尽者不能归一也省乘用除倘有零馀则约分简易更非原数乘除之比〈右一条新订〉
　　两数一半一倍乘法　置两数欲相乘者若倍其一半其一而乘之所得数同如一数五百二十五一数三十二倍上数为一千零五十半下数为一十六乘之视以原数相乘者捷矣此特宜于数之少者葢直可以臆计而不烦布算也〈右一条新增〉
　　倍除法　置两数欲以法除实者若倍其法除之所得数亦倍之即应得之数如有数须四十五除则用九十除须一百三十五除则用二百七十除亦倍所得数捷于以原法除也遇零分欲求分釐数者依此除之若欲命分则仍其子还用原母〈即原法也〉以命之或须约者更约之满原母者归整为一数俱不用倍〈右一条新增〉
　　乘除通用法　二乘与五除同二除与五乘同〈置银十两以二乘之得二十两以五除之得二两其差十倍然而可通用者其乘除俱得二数则同耳〉　四乘与二五除同四除与二五乘同〈其差百倍〉　八乘与一二五除同八除与一二五乘同〈其差千倍〉
　　以加减代乘法　假如有数须八乘者即于实下一位减二若实数系五二五当减一十则于实之本位减一也有数须一零五乘者即于实下第二位加五若实数系二二五当加一十则于实下一位加一也加减俱从小数始
　　三率准测乘除法　数有已知者因以测所未知则列前三率求后一率先定三率之位第一率与第三率相准第二率与未知之第四率相准如谷准谷钱准钱之类乃以二率三率相乘为实以一率为法除之得四率为所求数旧名异乘同除〈左例原银与原米是为同今银与原米是为异〉
　　假如原有银三十六两籴米四十八石今银六十三两问米几何
　　一率　原银三十六两
　　二率　原米四十八石
　　三率　今银六十三两
　　四率　八十四石为今米数
　　右法若先以一率除二率得数乃以乘三率或先以一率除三率得数乃以乘二率所得四率皆同但除之不尽必用零乘之法则不若从前先乘后除为捷〈凡数须乘除并用者每以乘居先仿此〉
　　右法覆算以二率三率相乘如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乘以二率除之得三率以三率除之得二率
　　三率化多为寡乘除法　别求一通数可以除尽率中之两数者〈其一必系第一率其一或第二率或第三率〉即以通数除率数所得数列本率下以代率数乘除如前无通数者则否
　　一率　三十六　三〈此以十二为通数〉
　　二率　四十八　四
　　三率　六十三
　　四率　八十四
　　又式
　　一率　三十六　四〈此以九为通数〉
　　二率　四十八
　　三率　六十三　七
　　四率　八十四
　　三率易位乘除法　前法以原银原米相连置一二率而今银置三率葢以二率视四率犹以一率视三率三率视四率亦犹一率视二率其数可例推也若如左例原珠数多其价数反少今珠数少其价数反多必以一率与三率互换其位而后三率之视四率亦犹一率之视二率矣乘除如前得所求数旧名同乘异除〈若如前置率则当以一率二率相乘以三率除之〉　假如原有小珠五十颗今有珠稍大三十颗其总重适等原珠共价银一十二两问今价几何
　　一率　今珠三十颗　三〈以十为通数〉
　　二率　原价十二两
　　三率原珠五十颗　五
　　四率　二十两为今价
　　又如有物一枚以称称之称小不及其锤重十两外加一锤重八两称之得三十五斤依小称算该几斤一率　原锤十两　二〈以五为通数〉
　　二率　今重三十五斤　七
　　三率　并两锤十八两
　　四率　六十三斤为实重数
　　又如原称称物重三十五斤失原锤欲别作锤配之不知轻重却借一锤重十两以较原称之物得六十三斤问原锤重
　　一率　原重三十五斤
　　二率　今锤十两
　　三率　今重六十三斤
　　四率　十八两为原锤重
　　〈此即前例一率四率相乘而以二率除得三率也〉
　　三率重测法数或繁杂非三率可尽当叠用三率之法次第推之
　　假如原母银五十两三月得子银四两今母银二百两欲得子银二百两须几年
　　一率　原母五十两
　　二率　原子四两
　　三率　今母二百两
　　四率　十六两为今母三月之子
　　又
　　一率　子十六两
　　二率　三月
　　三率　子二百两
　　四率　三十七月二分月之一为所求数
　　右例亦可用并法
　　一率　原子四两
　　二率　原母乘三月得一百五十两
　　三率　今须子二百两
　　四率　七千五百两为今母乘月之数再以今母除
　　之得月数
　　又如客贩布卖之每匹二钱即母银百两已得息三十两设每匹卖二钱四分则百两获息几何
　　一率　已得息并母一百三十两
　　二率　母一百两
　　三率　布价二钱化二十分
　　四率　十五分又十三分分之五为每匹母银别有捷法应补于后
　　一率　二十分
　　二率　一百三十两
　　三率　四分
　　四率　二十六两
　　并三十两得五十六两
　　又
　　一率　每匹母十五分又十三之五
　　二率　布价二钱四分内息八分又十三之八三率　母一百两
　　四率　五十六两为所求息数
　　又捷法
　　一率　二十分
　　二率　一百三十两
　　三率　二十四分
　　四率　一百五十六两
　　此为母子并数
　　三率并乘并除法数虽繁杂而可归并入三率之内则以三率尽之
　　假如炼矿求银初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得银七十五两问原矿几何一率　三子相乘得三十
　　二率　三母相乘得八十四
　　三率　炼得银七十五两
　　四率　二百一十两为原矿
　　又如原有绫八匹换纱二十匹原纱三十匹换布一百匹原布六十匹换锦二匹今有绫一十八匹问换锦几何
　　一率　原绫纱布乘得一万四千四百
　　二率　原换纱布锦乘得四千匹
　　三率　今绫一十八匹
　　四率　五匹为换锦数
　　乘除先化大小数法　凡数大小杂见不便相乘除则先以大数化为小数假如原有银六钱买丝七两今有银五两问买丝几何此因银数有钱复有两须化两为钱其丝自作两算不必化钱也大凡同类者须化殊类则否〈遇多数取最小数为主以大数化之仿此如一十二两三钱四分化为一千二百三十四分之类〉
　　一率　六〈原银钱数〉
　　二率　七〈原丝两数〉
　　三率　五十〈今银化为钱数〉
　　四率　五十八又三分之一〈今应得丝两数〉
　　右例亦可以钱从两化之而不如前法之捷
　　一率　五分之三〈原银化为两数〉
　　二率　七〈原丝两数〉
　　三率　五〈今银两数〉
　　四率　五十八又三分之一〈得丝两数同前〉
　　又如原银六钱二分五釐买丝七两今银一百三十二两问买丝几何此若以大数化小则原银今银当悉化为釐而原银数固可以两命分又不如从两化之为便所贵乎随宜通变者也〈因今银是以两计而化之非为丝以两计也〉
　　一率　八分之五〈原银化为两数〉
　　二率　七〈原丝两数〉
　　三率　一百三十二〈今银两数〉
　　四率　一千四百七十八又五分之二〈今应得丝两数右一条新增〉

　　九章录要卷一

　　钦定四库全书
　　九章录要卷二
　　松江屠文漪撰
　　零分法
　　几数不能有整而无零分有法以通之则零不异于整也知此而零分皆可相并减相乘除乃能尽九章之术故备论于左
　　奇零命分约法　以法除实除得数为整数馀实少于法除之不可乃成奇零或原实先少于法则无整而但有零矣〈假如以尺计物是亦以法除实也物不满尺是亦实少于法也〉凡此皆须命分而母子数多者必当约之其法有三一曰以实除法假如法一百六十八实一十四则以实除法适尽得一十二是为一十二分之一也一曰减法除实假如法一百六十八实一百四十则以实减法馀二十八乃以馀法除实适尽得五是为六分之五也一曰以通数并除法实列法实两数以少减多更互相减至两数相等即为通数假如法一百六十八实三十五依前互相减得七为通数因以除实尽得五亦以除法尽得二十四是为二十四分之五也又如二百五十分之二百一十约为二十五分之二十一是亦以十为通数也二十四分之一十约为一十二分之五是亦以二为通数也〈前两法之一十四与二十八亦即是通数之易得者耳葢三法小异而理则同〉亦有不可约者即以法为母实为子命分
　　整带零分化整为零分法　凡以法除实务得数归整值馀实少于法不得已而命分乃有整带零分此固然也而此特谓归整命分之后其数可定不复与他数相并减相乘除者耳若更有他数须与之相并减相乘除则无论未归整者且当以法为母实为子而勿急于归整〈必归整无零分方可归整也〉即遇整带零分已成之数亦必化整为零分何也数或零或整皆可与他数相并减乘除若本数自兼零整则难用整法又难用零分法故必须化之而不能化零为整但可化整为零其法以原母为母以原母乘整得数并原子为子如有数七零五分之三则化为五分之三十八是也
　　零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乘除者亦以原母为母以原母乘整得数并原子为子如前法
　　零分与整相减法　零整相减者法亦以原母为母以原母乘整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也〈归整则为六又五分之二〉
　　零分相并法　诸数皆零分欲相并者法以诸母累乘得数为共母以诸子各累乘他母得数为诸子〈本子与本母不相乘　或诸子各乘共母而以本母除之得数为诸子亦可〉乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乘得二百八十为共母以甲子累乘乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乘甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乘甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也〈归整为一又二百八十分之九十七〉
　　右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乘乙母得一十二为甲子以乙子乘甲母得五为乙子〈丙子即用原数〉并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也〈归整为一又五分之三〉
　　零分相减法　零分相减者依并分法累乘为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也
　　零分与整相乘法　零分数整数相乘者以原母为母以原子乘整得数为子如甲数七乙数五分之三相乘得五分之二十一是也〈归整为四又五分之一〉
　　零分除整法　以零分数为法除整数者以原子为母以原母乘整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也〈归整为一十一又三分之二〉
　　整除零分法　以整数为法除零分数者以整乘原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也
　　零分相乘法　两零分数相乘者以两母相乘得数为母以两子相乘得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乘得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也〈或两母同或两子同者亦必相乘〉
　　右法亦有可省者以两母相乘以甲子除之为母即竟以乙子为子如右例两母相乘以乙子除之为母则以甲子为子得一十五分之八不须更约是也
　　零分除零分法　以法除实而法实两数俱系零分者以法子乘实母得数为母以法母乘实子得数为子如甲数九分之八除乙数五分之三得四十分之二十七是也〈若两母相同者竟以法子为母实子为子两子相同者反以实母为母法母为子也〉右法亦有可省者以法子乘实母以法母除之为母即竟以实子为子如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三得二十四分之一十三是也
　　零分自乘法　零分数自乘者以母自乘得数为母以子自乘得数为子如有数三分之五自乘得九分之二十五是也〈归整为二又九分之七〉
　　零分开方法　零分开平方除者以母自开得数为母以子自开得数为子如有数九分之二十五开方得三分之五是也〈归整为一又三分之二　按此因论零分法而及开方故聊举大略而已其详在少广章中〉
　　零分求分釐小整数法　实少于法除之不足不能成整而为零分若求分釐小整数则以母除子即得如八分两之三除得三钱七分五釐一十六分两之一除得六分二釐五毫是也葢其初以两计故三不可以八除而析为钱为分釐则可除矣至除尽而止亦有终不可尽者仍当就最后小数命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也〈或欲还原子即以原母乘之如八乘三钱七分五釐得三两为八分两之三七乘二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石为七分石之二是也〉
　　分釐数命分法　据分釐小整数欲以大数命分者法以分釐数依其下最小数化之为子以所用大数亦依最小数化之置一算为母〈其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一算也〉乃以法约之如六钱六分二釐五毫欲以两命分则以六千六百二十五为子〈六千六百二十五毫也〉以一万分为母〈一两为一万毫也〉乃约为八十分两之五十三是也亦有不可约者即以所立之母子命分






　　九章录要卷二

　　钦定四库全书
　　九章录要卷三
　　松江屠文漪撰
　　方田法
　　古九章一曰方田以御田畴界域今其书不𫝊特据所见近世之书芟其繁谬补其缺遗以意隶之云尔
　　方田长方田求积步　方田谓正方四面等者法以方自乘得积长方谓两长两广各等者法以长乘广
　　方长带偏斜求积　似方与长方而稍偏斜者长不等则并两长半之广不等则并两广半之然后以长乘广如偏斜甚者须裁令方正分别算之勿用此法又有方长田一边斜者假如东长四十步西长四十一步南广三十步北广三十九步于法应得积一千三百九十七步四分步之一也然此乃谓四面俱偏斜者耳若止是西边一面偏斜则从北广东头向西量之尽三十步止即向南直量之其长亦当四十步是田之大体本系长方独北广西头盈九步句九股四十则四十一以斜为西长并东长而半之岂不谬乎法当并两广半之以长四十步乘之得积一千三百八十步斯不误矣
　　三广求积　三广谓中及两边广各不等者法倍中广并入边两广以四除之以中长乘之其中长亦须于两三处量之如有不等者并而分之以为之长〈并三则三分四则四分〉边长似斜之处勿量也　按田形不可穷尽善算者以意推之法无预设或赘为四广五广之法固已迂矣且其法云四广并而四除之五广并而五除之尤甚谬误四广须倍其中之两广并边两广以六除之五广须倍其中之三广并边两广以八除之乃合　又按广形亦有须辨者如三广而中广近一边不居正中者是也即须分别算之
　　句股求积　法以句乘股半之或以半句乘股或以半股乘句　按句股须量其以互求法推之与法合者是也若太长或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角
　　三角求积　法以一面之长乘中广半之　假如三面长等者是真三角也率长七而中广六不待量也不然则量中广处须令如两句股乃合〈三角率长七中广六则中广微强然所较甚微即依率算之可也〉
　　四角斜方求积　法以中长乘中广半之　假如中广两角未必相对则中广直径不能与中长如十字矣但各自量之令如四句股者仍并两句为一中广以乘中长如上法
　　以上诸形皆属方之类故长广必直即遇斜其亦直如有一处弯曲若弧与睂之状者别从圆之类求之乃无失也
　　员田求积　法以周自乘以十二除之或以径自乘复以三乘之以四除之或以周乘径或以半周乘半径以四除之　按员物率周三而径一然田员岂能中规其小偏者不妨以规员之法施之但将周径并量参互折中亦可无误若偏甚则勿以员论也〈员率周三径一则周微强然所较甚微亦依率算之〉
　　环田求积　环田谓于员内减员者法并内外周半之以径乘之半环仿此〈其径勿据一处虑广狭不等〉
　　弧矢求积　弧矢谓员田之半若张弓者法并长矢径半之以矢径乘之不及员之半者法亦如之过半者勿得用也凡矢径半是员之半矢长则过矢短则不及〈不及员之半者如纵破长员之半若从而益之有可以成员之理者也过员之半者如横截长员之半无可以成员之理者也弧矢之法详见少广章本与员法相㑹合故惟有可员之理者乃得用之〉
　　枣核长员求积　枣核谓两头尖中广处员者长员谓两头亦员者法半中广并入中长以半广乘之按二者虽不全员然是两弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之员田但员法不可施之于此耳〈旧法枣核乃四角斜方　右一条新增〉
　　横截长员求积　形似弧矢而矢径半有馀者固不可用弧矢法而可以弧矢法变通求之葢横截长员之半与纵破长员之半其积正等此之矢径乃彼之半此之长乃彼之二矢也法四除并入矢径以半乘之〈右一条新增〉
　　蛾睂牛角求积　蛾睂谓两边之长相随而弯者牛角则横截蛾睂之半也睂有中广无横广角有一头横广无中广其实同耳法并两长半之以半广乘之但牛角横广一头须略似方形若太偏斜则横广未足为准恐据以下算必浮于实积此又不可不知　以上诸形皆属员之类若应员处乃直者别从方之类求之
　　亩步互求　二百四十乘亩得步二百四十除步得亩


　　九章录要卷三

　　钦定四库全书
　　九章录要卷四
　　松江屠文漪撰
　　粟米法
　　古九章二曰粟米以御交质变易
　　方仓窖求积尺　法以方自乘复以髙乘之〈窖则当以深乘只言髙者统于仓也深亦髙也〉得积
　　长方仓窖求积　法以长乘广复以髙乘之
　　员仓窖求积法以员周自乘复以髙乘之以员周率十二除之或以径自乘复以髙乘之以员径率三乘之四除之
　　长员仓窖求积　法半中广并入中长以半广乘之复以髙乘之〈此法亦可用之员仓窖而员法不可用之长员　右一条新增〉
　　方平堆求积〈凡窖形上下之大小不等者亦仿此法下三条同〉　法以上方自乘又以下方自乘又以上方乘下方并三数以髙乘之以三除之〈因并三数故须三除也〉
　　长方平堆求积　法倍上长加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之并二数以髙乘之以六除之〈并二数中凡有六数故用六除此法亦可用之方平堆也〉
　　员平堆求积　法以上周自乘又以下周自乘又以上周乘下周并三数以髙乘之以三十六除之〈并三数应三除员周率十二除故用三十六除也〉
　　或以上径自乘又以下径自乘又以上径乘下径并三数以髙乘之以四除之〈并三数应三除员径率三乘四除以三乘当三除并省之故只用四除也〉
　　长员平堆求积　法先半中广并入中长以为长半中广以为广〈上下之中广中长俱依此法并不用原广原长〉然后倍上长加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之并二数以髙乘之以六除之〈此法亦可用之员平堆而不如前法之捷　右一条新增〉
　　方尖堆求积　法以下方自乘复以髙乘之以尖率三除之
　　长方尖堆求积法以下广乘下长复以髙乘之以尖率三除之〈右一条新增〉
　　长方平尖堆求积〈既云尖又云平者无上广而有上长従横头视之则尖从纵之旁面视之则平故曰平尖〉　法倍下长加上长以下广乘之复以髙乘之以六除之〈此用六除者何也试从上长两头尽处向下直截之而以两头合成尖堆别算其义自见葢下长多于上长之数乃尖堆之下长所当以下广乘之而用尖率三除者也其与上长相等之下长所当以下广乘之而折半者也今既统下长之全数而倍之则为尖堆之下长者有二二用六除犹一用三除也为上长相等之下长亦二又加上长成三三用六除犹一用折半也〉
　　按此与平堆异者以其无上广故用平堆法之半而亦以六除之此与尖堆异者以其有上长而尖堆既无上长可加则但倍下长以乘下广以六除之于法亦通乃知数之相准而法之可以相推有如此者〈右一条新增〉
　　员尖堆求积法以下周自乘复以髙乘之以员周率并尖率三十六除之〈员周率十二尖率三故其率三十六〉或以下径自乘复以髙乘之以员径率并尖率四除之〈尖率应三除员径率三乘四除亦以三乘三除相当省之故只用四除〉
　　长员尖堆求积　法半下中广并入中长以半广乘之复以髙乘之以尖率三除之〈右一条新增〉
　　倚壁员尖堆求积　员尖之半也法以下周自乘复以髙乘之以倚壁率十八除之
　　内角员尖堆求积　员尖四之一也法以下周自乘复以髙乘之以内角率九除之
　　外角员尖堆求积　员尖四之三也法以下周自乘复以髙乘之以外角率二十七除之
　　按右三条算家沿习有此然必先取周径较量果恰得员尖二之一四之一四之三而后其法可施耳如或不然则当以长员法及尖堆率参酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通于算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乘之者并指直髙而言
　　非谓斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之〈法见商功章〉　又凡平堆尖堆斜髙之处虽不据以立算然亦必如句股之乃合于法弯曲者则否
　　方仓以积与方求髙与髙求方　法以方自乘数除积得髙以髙除积开方得方
　　长方仓以积及髙与广求长与长求广　法以髙长相乘数除积得广以髙广相乘数除积得长〈若以积与长广求髙其理易见不复赘〉
　　员仓以积与周径求髙与髙求周径　算周者以员周率十二乘积算径者以员径率四乘三除积乃用方仓法
　　长员仓以积及髙与广求长与长求广　法以髙与半广相乘数除积减半广得长以髙除积以长为带纵开平方除之得半广倍之得广〈其方员长方员尖堆但加尖率三乘馀并同上四法不复赘〉
　　方平堆以积及髙与上方求下方与下方求上方　法以三乘积以髙除之乃减上方自乘数以上方为带纵开平方除之得下方减下方自乘数以下方为带纵开平方除之得上方
　　员平堆以积及髙与上周径求下周径与下周径求上周径　算周者以三十六乘积算径者以四乘积并再以髙除之乃减上周自乘数以上周为带纵开平方除之得下周馀仿此
　　石尺互求　旧法立方二尺五寸为一石〈立方一尺者二有半也〉故以二又二之一乘石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各随时地不同须临算较量损益其法未可一概也
　　竹席围米求积　假如竹席大小相等原用两席合作围贮米二十石今用三席合作围问贮米几何法以原席二自乘得四为一率原米石数为二率今席三自乘得九为三率求得四率四十五为今贮米石数



　　九章录要卷四
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>

　　钦定四库全书
　　九章录要卷五
　　松江屠文漪撰
　　差分法
　　古九章三曰差分亦曰衰分以御贵贱廪税
　　一分递加减衰分〈以最少者一分之数递加成多若从多者递减则减至最少者而减尽也〉法以一为首衰〈从少者起算〉自一而二而三四递加为各等衰并之为总衰以为一率总实为二率各等衰为三率求得四率即各等数
　　假如有银七十二两甲乙丙丁戊五人以一分递加减分之问各几何
　　一率　一十五〈总衰　衰分章三率法独有宜先以一率除二率者〉二率　七十二〈总实　一率除二率得四两八钱〉
　　三率　五〈甲衰〉四〈乙〉　三〈丙〉　二〈丁〉　一〈戊〉
　　四率　〈二十　一十九一十四九两　四两四两　两二钱两四钱六钱　八钱〉
　　右各等中倘复各自有数不齐者先以各衰乘之为各总衰然后并为大总衰
　　假如有粮二千四百石甲乙丙丁四等户依前例输之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户则以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乘本等户数为各总衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百为大总衰列一二率如前若以各总衰为三率即得各等总数以各衰为三率即得各等每户数〈以下诸法仿此〉
　　减半衰分〈乙当甲之半丙又当乙之半也〉　法以一为首衰自一而二乘之又二乘之为各等衰〈以一二乘得二以二二乘得四并之得七馀仿此〉列率乘除如前
　　二八衰分〈甲视乙为八与二乙视丙又为八与二也〉　法以二为首衰自二而四乘之又四乘之为各等衰〈以二四乘得八以八四乘得三十二并之得四十二馀仿此〉列率乘除如前
　　四六衰分〈同上〉　法以四为首衰自四而六乘之四除之又六乘四除之或以一又二之一乘之亦同为各等衰〈以四六乘四除得六以六六乘四除得九并之得一十九馀仿此〉乘除如前
　　三七衰分〈同上〉　法以三为首衰自三而七乘之三除之又七乘三除之为各等衰〈以三七乘三除得七以七七乘三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一馀仿此〉乘除如前或厌零分多者就首衰之数以三乘之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰则三乘首衰之三得九为首衰甲乙丙丁四等衰则又三乘九得二十七为首衰甲乙丙丁戊五等衰则又三乘二十七得八十一为首衰〈每多一等则首衰多三乘一番〉既增广其首衰然后用七乘三除以求各等之衰可以省零分矣
　　十分之六递减衰分　法以一为首衰〈此从多者起算所谓首衰之一亦与前一为首衰者不同前一只是一数此则无定之数也〉遇二等衰则为一十三等衰则为一百四等衰则为一千以为首衰乃自一而六乘之十除之又六乘十除之为各等衰〈以一百六乘十除得六十以六十六乘十除得三十六并之得一百九十六馀仿此〉乘除如前凡十分之七或八九诸数递减衰分俱准此推之不别为法以滋繁琐
　　减半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二数求总实减半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少则曰减半言其自少而多则曰倍加亦曰二乘加二八衰分是四乘加也四六衰分是一又二之一乘加也〈零分法一又二之一化为二之三乃用子乘母除则当三乘二除犹之六乘四除也〉三七衰分是二又三之一乘加也〈零分法二又三之一化为三之七乃用子乘母除亦是七乘三除也〉十分之六递减衰分是一又三之二乘加也〈零分法一又三之二化为三之五乃用子乘母除则当五乘三除犹之十乘六除以此递加与六乘十除递减同耳〉以上所云几乘加者但取衰分之数以少除多即得之〈假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所云几乘加也〉若各衰分止举首尾二等最少最多之数问总实几何者不必论其中间分作几等但以首尾数多少相减减馀以原乘数减一数为法而除之〈假如原系四乘加者以三除之原系一又二之一乘加者以二之一除之原系二又三之一乘加者以一又三之一除之原系二乘加者以一除之一除固可不必除然于法不容没此一除恐似别为一法也〉即得最少以至次多诸等之总实以并最多数即得全总实
　　右例以原乘数减一数为除法亦不必求原乘数而减之但以衰分之数多少相减减馀以少数除之即得除法〈假如三七衰分三七相减馀四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相减馀四以六除四得三之二与原乘数减一数同　右一条新订〉
　　减半二八四六三七十分之六各衰分求隔等数不论几乘加但知首等最少之数再知中间一等之数即可隔等而求之假如知首等数与第六等数者第六等数已经五度加矣则以此数自乘以首等数除之即得十度加之数〈倍五为十也凡自乘者以倍相求　十度加乃是第十一等〉若以六度加之数〈第七等〉自乘以首等数除之即得十二度加之数〈第十三等〉若以五度加六度加之数相乘以首等数除之即得十一度加之数〈五六并为十一也凡二等数相乘者并而求之　十一度加是第十二等〉若以三度加〈第四等〉八度加〈第九等〉之数相乘以首等数除之亦得十一度加之数此谓以少求多者或以多求少如以十六度加之数〈第十七等〉以首等数乘之开方除之即得八度加之数亦可以十六度加之数以首等数乘之以十度加之数除之得六度加之数葢取以少求多之法而反用之即是也〈右一条新订〉
　　右求总实求隔等数二法凡三乘加五乘加及十分之七之八之九诸数递减衰分准此推之无不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商贩获息当母二之一并入母银又获息每度皆同此亦一又二之一乘加也但每度加之数俱合子母而言则当以最后一度之数为总实不得并诸度之数为总实且首一数即系原母则一度自有一度之加与甲乙分金十等人止须九度加者亦微有辨也
　　合率衰分　率者衰分多寡之大率也〈与三率之率自不相涉各有取义也〉葢衰分各等之实数有所未知而各等之大率已知因合各率以与总实相权而衰分得焉不计其合未有能分者也然则以前诸法无非合率衰分而此独以合率名者何也前诸法若三七若四六皆有准则固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六为准乃不可専名而独名之合率也各率为各衰并之为总衰乘除如前假如有银二百四十两甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分则甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之为二十五为总衰也其各等中又各有数不齐者亦依前法兹仍具例于左以备参观
　　假如有银七两零八分欲买铜一停锡二停铅三停其价铜每斤一钱八分锡一钱三分铅五分问三物各几何
　　一率　五十九〈总衰　　一铜价二锡价三铅价并〉
　　二率　七百零八〈总价　一率除二率得一十二〉
　　三率　一〈铜衰〉　　二〈锡〉　　　三〈铅〉
　　四率　一十二〈铜斤数〉二十四〈锡〉　三十六〈铅〉
　　右总衰总价俱化两钱为分者既得三物斤数各以价乘之得各总价数或以铜总衰一十八分锡总衰二十六分铅总衰一十五分为三率即先得各总价乃各以价除之亦得各斤数
　　又如有银五百九十四两籴米一停麦二停豆三停共三百九十六石其价米一石抵麦一石六斗抵豆二石问三物及价各几何此须用重测法先以米衰一麦衰二豆衰三并之得六为总衰为一率三物共石数为二率各衰为三率求得三物各石数〈米六十六麦一百三十二豆一百九十八〉然后别求各价其法置三物停数以三物相当抵之数乘除之或益贵物以从贱则用乘或减贱物以从贵则用除以为各衰仍并之为总衰为一率三物共价为二率各衰为三率求得三物各总价乃以前所求三物各石数除之即得每石价〈米二两四钱麦一两五钱豆一两二钱〉
　　一率　三又四之三〈总衰〉
　　二率　五百九十四〈总价两数　一率除二率得一百五十八又五之二〉三率　一〈米衰〉　一又四之一〈麦〉　一又二之一〈豆〉四率　〈一百五十八　一百九十　二百三十七两四钱米　　八两麦　　两六钱豆〉右以米为主而减麦与豆以从之米衰一得一麦衰二以一又五之三除之〈即一六也米一抵麦一六故〉得一又四之一豆衰三以二除之〈米一抵豆二故〉得一又二之一并之得三又四之三
　　又式
　　一率　七又二之一〈总衰〉
　　二率　五百九十四〈总价　一率除二率得七十九又五之一〉
　　三率　二〈米衰〉　二又二之一〈麦〉　三〈豆〉
　　四率
　　右以豆为主而益米与麦以从之豆衰三得三米衰一以二乘之得二麦衰二以一又五之三除之〈先除以从米〉再以二乘之〈次乘以从豆〉得二又二之一并之得七又二之一
　　又式
　　一率　六〈总衰〉
　　二率　五百九十四〈总价　一率除二率得九十九〉
　　三率　一又五之三〈米衰〉二〈麦〉二又五之二〈豆〉四率
　　右以麦为主而益米减豆以从之麦衰二得二米衰一以一又五之三乘之得一又五之三豆衰三以二除之〈先除以从米〉次以一又五之三乘之〈次乘以从麦〉得二又五之二并之得六
　　右例或不复用米一麦二豆三等衰但就三物各石数而取一数为主其馀则益贵减贱以从之为总衰以除总价即得其物每石之价依法复损益之得馀二物每石之价如以米为主米六十六麦一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除总价得二两四钱即米每石价也仍以一又五之三除之得麦价以二除之得豆价若以麦豆为主法并仿此〈右一条新订〉
　　合率带分母子衰分　合率衰分其间等差各带母子分数者自有带分之法假如有银七百九十五两甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一问各实数几何其法先并各衰分数并各子以乘各母从小数并起惟丁衰十一无并其丙衰系十二又系三则以十二并三用三除十二得四即以四乘乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七用七除五十六得八即以八乘甲之十得八十为甲衰并之得一百五十九为总衰
　　一率　一百五十九〈总衰〉
　　二率　七百九十五〈总银　一率除二率得五〉
　　三率　八十〈甲衰〉五十六〈乙〉十二〈丙〉十一〈丁〉
　　四率　四百　　二百八十　六十　五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一则丙衰系十三又系三欲以十三并三用三除十三除之不尽即不用除却以十三乘乙之十四得一百八十二为乙衰依法推得二百六十为甲衰其丙之十三丁之十一转须用三乘之以为衰丙得三十九丁得三十三也
　　合率带分匿总实以较求衰分　假如四人分银不知总实但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙与丁差四两问各几何此三母皆甲也用并母法累乘得五百七十六为甲衰乃以乙丙丁之原子乘之原母除之以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰以丙丁二衰之较为一率丙丁之较为二率各衰为三率〈不用约法览之易晓〉
　　一率　二十四
　　二率　四
　　三率　五百七十六〈甲〉四百八十乙四百三十二〈丙〉四百八〈丁〉四率　　九十六　八十　　　七十二　　六十八右例带分与前例母子不同其法互见而可相通前亦可以较求分此亦可以总实求分也又凡以前诸衰分法若匿其总实任举一等所得之数或两等所差之数皆可仿二例而求之
　　合率带分匿总实以馀实求分　假如四人分银不知总实但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚馀五两问各几何此四母皆银也用并母法得九百六十为总衰乃以甲乙丙丁之原子乘之原母除之而得三百六十为甲衰二百四十为乙衰一百九十二为丙衰一百六十为丁衰以四衰减总衰馀八为馀银之衰为一率馀银为二率各衰为三率〈率式不赘但求得总实即得各分数矣〉
　　右例四母皆据总实言之故可以馀实求总实求分若以前诸衰分法不可以馀实求也
　　右例亦可任举两等所得之较以求之〈又右二例俱可用借征法葢用并分法亦借衰也〉
　　一数递加减衰分以等求总实〈与一分递加减相类而不同者一分为不定之数一数则一而已又自此以下及同较衰分共十法皆谓每等只一人者与以前诸法自别〉凡一数递加自一而二而三四此不难于衰分须求总实捷法耳假如欲分十五等问总实几何法以首等一〈以少者为首〉并末等十五〈等十五则末等所得数亦十五也〉得十六以等数乘之折半得一百二十为总实又如有物倚墙一面尖堆下广二十四枚以首层一并下层二十四得二十五以层数〈即下广数〉乘之折半得三百为总积〈前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求总实但依法所得数须更以较数乘之方得总实若未经较数相乘止得总衰而非总实也假如每一分银四两递加分十五等依法得一百二十为总衰更以每等之较四乘之得四百八十为总实也〉
　　一数递加减衰分以总实求等　假如总实一百二十以一数递加分之得几等法倍实开方除之得十五而馀实亦十五即十五是等数又如总积物三百欲作倚墙一面尖堆倍积开方得二十四而馀实亦二十四即二十四是下广数〈前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求等数但须先以每等之较数为法除实而后依上法求之假如银四百八十两每一分四两递加分之则先以较四除实得一百二十乃依法求得十五为等数也〉
　　右二法谓首等数起于一者故比之倚墙一面尖堆若不从一数起即各等俱以一数递加但谓之同较衰分不在此例如倚墙一面平堆每层亦俱较一而当依同较衰分法也〈前一分递加衰分亦谓首等所得之一分同于各等所差之一分也如其不然即是同较衰分矣〉
　　又右二法不可用之同较衰分而下同较诸法〈凡七法〉则可用之一数递加衰分也〈亦可用之一分递加之每等只一人者　右一条新增〉
　　同较衰分〈不论较数几何但甲乙之较乙丙之较丙丁之较各等俱同者是也〉
　　假如总实九十九作十一等分之各等俱较一数问各几何法以等数减一存十与等数相乘折半得五十五以较一乘之仍得五十五〈较一则乘犹不乘也而于法不可无此一乘者为较不止于一者而设也〉以减总实馀四十四以等数除之得四为首等数或以并总实得一百五十四以等数除之得十四为末等数馀以次推之
　　同较衰分以等及较与首数求尾数与尾数求首数求总实　如前例十一等每等各较一法以等数减一存十以较一乘之仍得十并首数四得尾数减尾数十四得首数并首尾数以等数乘之折半得总实
　　同较衰分以较与首尾数求等求总实　法以首尾数相减得首尾较以较除之加一数得等数如前法求总实
　　同较衰分以总实及较与首尾和求等求分　法以首尾和折半为法除总实得等数即以等数减一乘较数得首尾较和较相减半之得首数相并半之得尾数
　　同较衰分以总实及等与首尾较求较求分　法倍总实以等数除之得首尾和如前法求之再以等数减一除首尾较得各较
　　同较衰分以总实及等与首几等和或尾几等和求较求分〈言或者首尾不必并举〉法以带和之等数乘总实以全等数除之〈所得数乃首尾几等应得均平之数也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足而此盈彼不足其数必相当故下但云与和相减而不必问其首尾也〉与和数相减减馀以带和之等数折半为法除之再以全等数减带和等数为法除之得各较〈右一条新增〉
　　同较衰分以等与首几等和尾几等和求较求分求总实　假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分银甲乙丙三人共一百一十一两庚辛二人共四十一两问各较几何各分几何总实几何法以三互乘四十一得一百二十三以二互乘一百一十一得二百二十二相减馀九十九又以二三相并得五折半为二又二之一以减人数总八馀五又二之一又以二三相乘得六以乘五又二之一得三十三为法以除九十九得三为各较数乃以甲乙丙和三除之得乙数加较得甲数减较得丙数或以庚辛和并较半之得庚数减较半之得辛数次求丁戊已数并八数为总实〈右例但取首尾并举而或举首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡于法皆通即总数满百人而但举首尾两三人亦无不可也〉
　　同较衰分令多寡齐数法　假如有银二百七十两作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数齐问各几何法如一分递加减列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相减较三以二人三人相减之较一为法除之仍得三〈较一则亦不必除而言除者为较有不止于一者也〉却于五等衰各加三数为各衰并之为总衰列三率求之
　　一率　三十〈总衰〉
　　二率　二百七十〈总实　一率除二率得九〉
　　三率　八〈甲衰〉七〈乙〉　六〈丙〉　五〈丁〉　四〈戊〉
　　四率　七十二　六十三　五十四　四十五　三十六又如有银七十两作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人数与丙丁戊已庚五人数齐问各几何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相减较二而此乃五人之数多于二人与前二人之数多于三人者不同亦以二人五人相减之较三为法除之得三之二却于五等衰各减三之二为各衰并为总衰如前求之一率　二十三又三之一〈总衰〉
　　二率　七十〈总实　一率除二率得三〉


　　按一数递加一分递加衰分只三人甲数与乙丙数齐而馀皆不能故此法独不可以相通也
　　同较衰分又法　前同较衰分八法皆谓每等只一人者据实与等与较及首尾数更互相求于法止可每等一人耳但欲衰分则虽每等之中复有人数多寡不齐非无法以分之　假如银三百二十四两甲乙丙丁四等人分之每等较三两甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人问各几何法以较三乘乙四人得十二倍较为六乘丙六人得三十六三乘较为九乘丁十人得九十并之得一百三十八以并总实得四百六十二以甲乙丙丁总二十二人除之得二十一为甲等一人所得数递减较得各等数〈右一条新增或以较三乘丙六人较六乘乙四人较九乘甲二人并得六十减总实得二百六十四除得十二为丁等数〉
　　母子差分〈此谓商贾以母银得息非带分之母子也〉假如三商共得子银四百两甲母三百两经十个月乙母六百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得二百两乙得一百二十两丙得八十两问乙丙出母银经几月
　　一率　二百〈甲子〉
　　二率　三千〈甲母乘月数〉
　　三率　一百二十〈乙子〉　八十〈丙子〉
　　四率　一千八百〈乙母兼月数〉　一千二百〈丙母兼月数〉各再以母除得月数乙得三丙得一又二之一
　　又如三商共得子银一百三十八两甲出母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十个月不知母其子银则甲得六十乙得四十八丙得三十问乙月丙母
　　一率　六十〈甲子〉
　　二率　二千四百〈甲母乘月数〉
　　三率　四十八〈乙子〉　　　三十〈丙子〉
　　四率　一千九百二十〈乙母兼月数〉一千二百〈丙母兼月数
　　乙再以母除　　　丙再以月除得得八月　　　　　一百二十两〉
　　又如三商共得子银一千五百二十两甲母一千八十两乙母三百六十两丙不知母其子银则丙得二百四十两问甲乙各子及丙母
　　一率　一千四百四十〈甲乙共母〉
　　二率　一千二百八十〈总子减丙子得甲乙共子〉
　　三率　一千八十〈甲母〉三百六十〈乙母〉
　　四率　九百六十〈甲子〉三百二十〈乙子〉
　　又
　　一率　一千二百八十〈甲乙共子〉
　　二率　一千四百四十〈甲乙共母〉
　　三率　二百四十〈丙子〉
　　四率　二百七十〈丙母〉
　　又如二商共得子银一百两甲母倍于乙外又一十五两其子银则甲得六十八两乙得三十二两问甲乙母各几何
　　一率　四〈甲子倍乙外又盈此数〉
　　二率　十五〈甲母倍乙外又盈此数〉
　　三率　六十八〈甲子〉　三十二〈乙子〉
　　四率　二百五十五〈甲母〉一百二十〈乙母〉
　　贵贱差分　法以贵价乘总物数与总价数相减馀以贵贱价较数为法除之得贱物数或以贱价乘总物数与总价数相减馀以价较数为法除之得贵物数假如米每石价二两麦每石价一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各几何法以米价乘总石数得八十减总价得六以米麦价较五分两之二为法除之得一十五是麦石数馀为米石数或先求米石数亦可
　　又如上酒每斗价钱三百次酒每斗价二百二十今欲杂和二酒立价二百五十问一斗内上酒几何次酒几何法以上酒价减立价馀五十以上次价较八十为法除之得八分斗之五为次酒馀八分斗之三为上酒也或以次酒价减立价算之先得上酒数亦同
　　匿价差分　假如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫比罗每匹多六钱罗比绢每匹多八钱问三物各价几何法以罗二百匹乘罗绢价较得一百六十两以绫一百匹乘绫罗罗绢二价较得一百四十两并之得三百两以减总价得五百两以总匹数五百除之得一两为绢每匹价以次推得绫罗价或以罗二百匹乘绫罗价较得一百二十两以绢二百匹乘绫罗罗绢二价较得二百八十两并之得四百两以并总价得一千二百两以总匹数五百除之得二两四钱为绫每匹价又或先求罗价亦可又如米十四石麦十八石两总价适等但云米每石价多于麦三钱六分问二物各价几何法以米麦石数较四除价较得九分以麦数十八乘之得米每石价以米数十四乘之得麦每石价
　　又如金九块银十一块其总重适等交换一块则金轻十三两问金银各块重法以轻重较十三两折半得六两五钱以金银块数较二除之得三两二钱五分以银数十一乘之得金每块重以金数九乘之得银每块重〈此与上米麦例同惟折半不同耳葢轻重交换较二实止较一故须折也〉
　　杂差分法　假如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各几只各总载兵几何
　　一率　二千九百〈三只五百名四只三百名互乘并得兵数为兵总衰〉
　　二率　一十二〈三只四只相乘船数为大小船各衰〉
　　三率　四千三百五十〈总兵数〉
　　四率　一十八〈大小船各数〉
　　次求大小船各总载兵数
　　一率　三　　　　　四
　　二率　五百　　　　三百
　　三率　一十八　　　一十八
　　四率　三千〈大船总载兵数〉　一千三百五十〈小船总载兵数〉右例亦可先求大小船各总载兵数
　　一率　二千九百〈三只五百名四只三百名互乘并得兵数为兵总衰〉
　　二率　四千三百五十〈总兵数〉
　　三率　二千〈四只互乘五百名为大船兵衰〉　九百〈三只互乘三百名为小船兵衰〉
　　四率　三千　　　　一千三百五十
　　次求大小船各数
　　一率　五百　　　　三百
　　二率　三　　　　　四
　　三率　三千　　　　一千三百五十
　　四率　一十八　　　一十八
　　又如出兵左右营兵数相等左营用大船每三只载五百名右营用小船每四只载三百名共用船一百七十四只问左右营兵各几何各总用船几只一率　二千九百〈三只五百名四只三百名互乘并得船数约为二十九〉二率　一十五万〈五百三百相乘兵数约为一千五百　以百为通数〉
　　三率　一百七十四〈总船数〉
　　四率　九千〈左右营各兵数〉
　　次求各总用船数
　　一率　五百　　　　　三百
　　二率　三　　　　　　四
　　三率　九千　　　　　九千
　　四率　五十四〈左营用大船数〉　一百二十〈右营用小船数〉
　　右例亦可先求大小船各总数
　　一率　二千九百〈三只五百四只三百互乘并得船数为船总衰约为二十九〉二率　一百七十四〈总船数〉
　　三率　九百〈三百互乘三只为大船衰约为九〉　二千〈五百互乘四只为小船衰约为二十〉
　　四率　五十四　　　　一百二十
　　次求各总载兵数
　　一率　三　　　　四
　　二率　五百　　　三百
　　三率　五十四　　一百二十
　　四率　九千　　　九千
　　又如犒师每二十四名给牛一头每五名给羊一头共用牛羊一千七百四十头问兵几何牛羊各几何一率　二十九〈二十四名一头五名一头互乘并得牛羊数〉
　　二率　一百二十〈二十四名五名相乘兵数〉
　　三率　一千七百四十〈牛羊总数〉
　　四率　七千二百〈兵数〉
　　次求牛羊各总数
　　一率　二十四　　　五
　　二率　一　　　　　一
　　三率　七千二百　　七千二百
　　四率　三百〈牛数〉　　一千四百四十〈羊数〉
　　右例初测第一率不必互乘直以五与二十四并得二十九再测不必列第二率直以二十四与五除兵数即得牛与羊各总数而立法必如是者葢此例与前二例本同一法若从简省乃似别为一法而学者反惑也
　　右例亦可先求牛羊各数
　　一率　二十九〈如前互乘并得牛羊数为牛羊总衰〉
　　二率　一千七百四十〈牛羊总数〉
　　三率　五〈五名互乘一头为牛衰〉二十四〈二十四名互乘一头为羊衰〉
　　四率　三百　　　　一千四百四十
　　次求兵数如前二例不复赘　又按右例谓兵既给牛又给羊者不然则给牛之兵与给羊之兵数等者若两营兵一给牛一给羊牛羊数等而两营兵数不等乃举两营兵总数问两营各数及牛羊数〈依上以一千七百四十为兵总数馀并同〉则以二十九为一率以一为二率〈一与一相乘仍得一也〉以一千七百四十为三率求得六十为四率为牛羊各数又或先求两营兵各数则以二十九为兵总衰为一率一千七百四十为二率二十四为给牛兵衰五为给羊兵衰为三率求得一千四百四十与三百为四率为给牛与给羊兵各数也参观前诸例其法自备不复详列
　　又如赏军毎马兵五名给䌷三匹毎歩兵四名给布六匹总计马歩兵共八千一百名给䌷布共九千匹问马歩兵各几何䌷布各几何此与前例不同葢马兵与步兵数既不等䌷与布数又不等也法以马兵五名䌷三匹歩兵四名布六匹互乘得数相减馀一十八为法别以马兵五名䌷三匹马步总八千一百名䌷布总九千匹互乘得数相减馀二万零七百以法除之得一千一百五十为步兵及布衰乃以步兵四名乘之得步兵总四千六百名以布六匹乘之得布总六千九百匹其馀则马兵及䌷总数也或以步兵四名布六匹马步总八千一百名䌷布总九千匹互乘得数相减馀一万二千六百以法除之得七百为马兵及䌷衰乃以马兵五名乘之得马兵总三千五百名以䌷三匹乘之得䌷总二千一百匹其馀则步兵及布总数
　　又如大船四橹四桨小船二橹八桨今但见总作橹一百张桨二百零八张问大小船各几何法以四橹四桨二橹八桨互乘得数相减馀二十四为法别以大船四橹四桨总一百橹二百零八桨互乘得数相减馀四百三十二以法除之得一十八为小船数或以小船二橹八桨总一百橹二百零八桨互乘得数相减馀三百八十四以法除之得一十六为大船数右例与前赏马步兵䌷布例同前马兵及䌷衰步兵及布衰在此即大小船各数也〈右一条新订〉
　　又如漏壶一具上有渇乌注水三时而满下有天池泄水八时而尽今且注且泄问几时可满一壶〈法先求一时所注所泄之数〉
　　一率　三时　　　　　　八时
　　二率　一壶　　　　　　一壶
　　三率　一时　　　　　　一时
　　四率　三分壶之一〈注〉　　八分壶之一〈泄〉
　　次以一时所注所泄相减馀为一时所注之数而求全壶满时
　　一率　二十四分壶之五
　　二率　一时
　　三率　一壶
　　四率　四时又五分时之四
　　又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满几何法先求一时所注所泄之数置率如前次以一时所注所泄相减馀为一时所注之数而求五时又三分时之一所注之数
　　一率　一时
　　二率　二十四分壶之五
　　三率　五时又三分时之一
　　四率　一壶又九分壶之一
　　又如漏壶一具下开三孔泄水大孔四时尽一壶次六时而尽又次十二时而尽若三孔俱开则一壶须几时尽法以三孔一时所泄之数并而计之知一时泄二分壶之一则二时尽一壶
　　一率　四时　　　六时　　　十二时
　　二率　一壶
　　三率　一时
　　四率　〈四分壶　　六分壶　　十二分之一　　　之一　　　壶之一〉
　　右例或以最小孔十二时为主求馀二孔所注之数乃并而计之知十二时尽几壶则知几时尽一壶〈或以中孔六时为主亦同〉
　　一率　四时　　　六时
　　二率　一壶
　　三率　十二时
　　四率　三壶　　　二壶
　　又如甲乙银各不知数取乙九两与甲即甲倍多于乙取甲七两与乙则甲乙正等问各几何法以乙与甲九两甲与乙七两并之得十六两倍之得三十二两是倍多之数即以三十二两为乙衰并未与甲九两得乙数四十一两以六十四两为甲衰减未得乙九两得甲数五十五两〈右一条新订〉
　　又如甲乙银不知数取乙四两与甲即甲多于乙二之一乙二而甲三也取甲七两与乙则甲乙等问各几何法如前并而倍之得二十二两是二之一多数即以四十四两为乙衰六十六两为甲衰依前求得乙数四十八甲数六十二〈右一条新订〉
　　又如商贩不知其母但云每度俱获倍息〈母一得子亦一〉即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母几何凡倍上加倍者率三倍而一得八〈一两三倍之成八两也四倍则一得十六馀准此推之〉法以八除三百得三十七两五钱以减三百得二百六十二两五钱即原母数〈若四度而尽者即以十六除而减之〉
　　按右例立法之意乍阅之或未解葢原母倘系三百则每度用其倍息三度后仍存三百矣何得子母俱尽须知三倍后之三百其母为三十七两五钱故于三百内减之而馀即原母数也一三倍而成八故用八除三百得母三十七两五钱犹之三度折半尔〈右一条新订〉
　　自贵贱差分至此诸例亦可以借征法求之别见数条于后
　　又如黄金百斤制一𬬻既成虑匠人盗金和银销毁验之则损工费乃以器贮水令满已知水几斤即以纯金百斤入器内溢出水六十斤加水令满复以银百斤入之溢水九十斤再贮满水却以𬬻入之溢水六十五斤问和银及实金几何法以金银溢水之较三十斤以百斤除之得每斤溢水之较十分斤之三为法以除𬬻与金溢水之较五斤得和银数一十六斤又三分斤之二以除𬬻与银溢水之较二十五斤得实金数八十三斤又三分斤之一〈补贵贱差分第三条〉又如犒军每八名给豕一头每六名给羊一头每三名给一头共用豕羊一千一百二十五头问兵几何豕羊各几何法以八名六名相乘为衰八名三名相乘为羊衰六名三名相乘为豕衰〈此所谓三维乘也或先求兵总衰而豕羊各以所给兵名数除之亦同〉并之得九十为豕羊总衰为一率以八名六名三名累乘得一百四十四为兵总衰为二率豕羊总实为三率求得四率一千八百为兵总数豕羊各以所给兵名数除之得各数或以豕羊总衰为一率豕羊总实为二率豕羊各衰为三率即先得三物各数乃各以所给兵名数乘之得兵总数〈按此例亦谓兵既给豕又给羊者下例同〉又如赏军每八名给䌷五匹每六名给绢四匹每四名给布三匹共用䌷绢布三千六百七十五匹问兵几何䌷绢布各几何法以八名六名相乘再以三匹乘之为布衰八名四名相乘再以四匹乘之为绢衰六名四名相乘再以五匹乘之为䌷衰〈或先求兵总衰而䌷绢布各以匹数乘之以所给兵数除之亦同〉并之得三百九十二为䌷绢布总衰八名六名四名累乘得一百九十二为兵总衰如前法求之得兵总数一千八百〈右二例与零分章并分法相似〉按此例与前例本同一法前例豕羊俱以一头立算故不须以头数与维乘数再相乘耳但今算家相𫝊仅知有前例而无后例则法有所穷故特出此条其实前例亦暗寓头数一回乘也〈补杂差分第六第七条　右一条新增〉















　　九章录要卷五
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>

　　钦定四库全书
　　九章录要卷六
　　松江屠文漪撰
　　少广法
　　古九章四曰少广以御积幂方员
　　开平方法　平方开除先列实视实有几位〈凡实之大数从千起者四位从万起者五位葢实尾虽止于十而无以下小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚位一定不可易也〉即知须几开而尽〈凡经再开者开得平方大数从十起三开者百四开者千或实尾一开虚拟而未经开者即开得数终于十而无以下小数也〉率实两位而一开逆从实尾向左数之〈尾在右也〉至实首则一位亦一开也其开之法有三曰方曰廉曰隅〈方法亦谓之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法〉初开视实首位以起方法实首一位开者〈一位之实多不过九〉取三及以下数自乘两位开者〈两位之实少不下十一〉取三及以上数自乘所取以自乘之数初商也列实首之左〈亦有不列于左而即借实首位列之者说详于后〉自乘所得数用以减实是为初开馀实须再开则用廉法廉法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右即以次商为隅法自乘得数用减实讫〈于廉法下一位减之观后假例自明〉是为再开自三开以后俱仿此
　　〈或问廉隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广其前方则不必四边俱加而但于两边各加一廉其长如前方之数廉有二故倍之也此未及廉之广以除实得次商次商乃廉之广数而所加二廉其长各如前方之数则二廉相㑹之一角犹缺一小平方其四边皆与廉之广等故又以次商为隅法而自乘以足之也〉
　　假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一为初商列甲之左而以一自乘仍得一即于甲位去一此初开也再开倍前方一得二〈前方是一百倍之为二百而此且勿论也但谓之一谓之二可耳〉为廉法以二除乙之五〈乙丙两位为再开之位而廉法当于乙位除隅法当于丙位除也〉则于乙减四存一于甲空位列二为次商而以隅二自乘得四于丙位减之则去乙之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得二十四〈前方一下复有二则且谓之一十二矣不计其为一百二十也虽更多亦然〉为廉法先以二除丙之七〈丁戊两位为三开之位则廉法当于丁位除而廉法有二十四即二当于丙位除四乃于丁位除也〉则于丙减六存一于乙空位列三为三商次以四与三相乘得一十二于丙丁两位减之〈廉之四当于丁位除而与商乘得一十二即一又当于丙位除矣隅法亦然〉则并去丙之一丁之二又以隅三自乘得九于戊位减之适尽得方一百二十三
　　又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五〈甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也〉且取六为初商列甲之左而以六自乘得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为廉法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商〈不用　者以八开之则实不足也〉次以二与七相乘得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乘得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为廉法先以一除乙之一〈戊己两位为三开之位则廉法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之葢乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以廉一除丙当去丙之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳〉则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二〈乙之一丙之十也试列十于丙而以廉一除之与此同则除乙犹之除丙耳〉次以三与八相乘得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乘得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乘得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八
　　又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲左而以二自乘得四即于甲减四存二此初开也再开倍二得四为廉法以四除甲之二则改甲二为五又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六为次商〈此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同除也前例只是以廉一除丙之十此例只是以廉四除乙之二十七合观二例其义益明〉乃以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得方二十六
　　开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲左而以八自乘得六十四于甲乙两位减之则去甲之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为廉法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值空位矣〈丙丁为再开之位则廉之六当于丙位除一当于乙位除而除得次商当在甲位今若去乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而甲位空矣可知无次商宜便接三开也〉三开倍八十得一百六十〈前方八下有空位则谓之八十也若更有空位亦递进之〉为廉法仍先以一除乙之一〈戊己为三开之位则廉法当于戊位除而廉法有一百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有实又须以除丙之法除之葢除乙犹之除丙其说已详前二例矣　三商自当在乙位也〉则改乙一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乘得五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又以隅九自乘得八十一于戊己两位减之适尽得方八百零九
　　开方初商列位法　凡初商列于实首位之左者为多而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙为次开之位而乙属廉丙属隅也廉法于乙位除即除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实首两位开则丙丁为次开之位而丙属廉丁属隅也廉法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得不列甲之左矣〈五以上更不必言〉若实首既以两位开而初商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当在乙位而初商当列甲位又何疑乎〈四以下更不必言〉且如实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃以初商四列甲位再开倍四得八为廉法以除乙之八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自乘得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其误甚矣葢开得商数中间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而以后俱任其自然之数可耳
　　又按右例若以初商列甲左次以廉八除乙之八或去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乘减丁之一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎葢丙丁为次开之位而廉法止有八则当于丙位除除得次商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此弊矣
　　开方馀实命分法　开方馀实仅及所开方数一倍以下则命分命分者倍方加一数以命之〈倍方者廉法加一数者隅法〉假如实五十五开得方七而馀实六即倍七又加一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五分之六并整为七零一十五分之六也
　　开方求零分密法　开方馀实欲除令尽即所得方数必带零分而若以所命之分为方数试以自乘见积颇朒于原实则法犹疏也且如实二十开得方四而馀实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃化整俱为零曰九之四十母子各自乘以见方积母得八十一〈此原实一之方积也葢一实而纵横俱分为九则其中应有方积八十一矣〉子得一千六百〈此总方积也〉以母积除子积归整得实一十九又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当更有法以开之其法倍九之四十〈倍之为廉法也〉为九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱为零母子各自乘以见方积母得一千二百九十六子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十则其法已密矣
　　又法如实二十开得方四而馀实四但倍方为分母不复加隅而以馀实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乘以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九〈本欲倍其子而半其母则子自倍矣不须更用约法〉以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减〈此与前法正同而盈朒并减有辨葢前方朒于原实则以廉法除所朒之数而与之相并前方盈于原实则以廉法除所盈之数而与之相减也〉得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同〈按二法所得数其归正同葢偶同耳他处则往往小异也〉
　　右二法开方自乘得积并盈于原实一千二百九十六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱为零母子各自乘以见方积母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依法再开
　　又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自乘以见方积得一百之二千四百零一以母积除子积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百之一也或增二开三开者仿此
　　零分开方法　原实系整数而开之带零分者前法已详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四化为九之四十〈此只依命分之数聊示其法耳未及密率也〉此当用整除零分法以三乘九为母以四十为子得方二十七之四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三此当用零分除整法以四十为母以九乘三为子得方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用零分除零分法以一十三乘九为母以五乘四十为子得方一百一十七之二百也葢原实之母本法也原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分篇中于开方法未详兹乃尽其变云
　　长方以积与长广较求长广　法以四乘积并较实开方得长广和和较相并半之得长相减半之得广
　　长方以积与长广和求长广　法以四乘积减和实开方得长广较　按四乘积者以四长方两纵两横列四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不满者正较自乘之小平方故知和实中有四积一较实也〈二法亦见句股章彼以八乘积者句股之积半长方积也〉右二法可该下文纵方七法而七法更不可不讲者葢变化无穷之用出焉固非右二法所能及矣具详于左
　　带纵并方廉开平方法长方以积与较求广者其长之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方廉开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其商以带纵并之为方法〈常法以方与商为一此以方与商为二〉乃以乘商减实再开倍前商亦以带纵并之为廉法以除实得次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三十二〈须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦然〉为方法乃以方法乘商以三乘二得六〈此处只作二与三且勿论其为二十与三十可也〉于甲位减之〈依常法商二自乘当于甲位减今与方法三相乘亦同也〉则减甲八为二次以二乘二得四于乙位减之〈六于甲位减则四当于乙位减故初开而减及次开之廉位也〉则减乙六为二此初开也再开倍前商二得四并纵得五十二〈倍商是四十也　倍商不倍纵〉为廉法先以五除甲之二〈倍商之四当于乙位除因带纵首之一而成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位也此五只作五若倍商四纵首六并成一十乃当进一位耳〉则改甲二为四为次商次以二乘四得八于丙位减之〈五于乙位除则二当于丙位除故廉法而减及隅位也〉则减乙二为一加丙四为六又以隅四自乘得一十六减乙丙两位实尽得广二十四〈并较得长三十六〉
　　又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位〈戊己为虚位〉带纵七百二十初商得二〈若商三则并纵首之七为一十又与商乘得三十而实首只二十三不足除故用二〉列甲左〈不列甲位者带纵故也〉而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乘商以九乘二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乘二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为廉法先以一除乙之四〈倍商之四当于丙位除因并纵首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也〉则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乘四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乘四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乘得一十六减丙丁实并尽得广二百四十〈并较得长九百六十〉又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乘商以一乘一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为廉法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣〈倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也〉三开倍前商一十得二十〈此一与二皆百也谓之十者依常法〉并纵得二百七十二为廉法仍先以二除乙之二〈倍商之二十当于丙位除乙位有实故以除丙之法除乙也〉则改乙二为九加丙二为四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而加丙四为六次以七乘八得五十六于丙丁两位减之则去丙之六加丁四为八次以二乘八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以隅八自乘得六十四减丁戊实并尽得广一百零八〈并较得长一百八十〉
　　又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之〈若初商一则并纵得一百七十二而乙丙两位无七与二可除也〉初商得九〈此当借列实首甲位〉而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乘商以一乘九得九于乙位减之〈初商之九当于丙位减因并纵首之七而成一十六则此一当进而于乙位减〉则去甲之一加乙六为七次以六乘九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙一为七次以二乘九得一十八于丙丁两位减之则减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九得一十八并纵得二百五十二为廉法先以二除乙之一〈倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之法除乙也〉则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二存三于乙加一为六为次商次以五乘六得三十于丙位减之则去丙之三次以二乘六得一十二于丁戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自乘得三十六减丁戊实并尽得广九十六〈并较得长一百六十八〉
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千零八十八初商得一〈初商是百而纵乃至千故只可用一〉列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方法乃以方法乘商以一乘一仍得一于甲位减之〈方一百之一当于乙位减此是纵首一千之一故进一位〉则去甲之一次一仍得一于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍前商一得二并纵得一千二百八十八为廉法先以一除乙之四〈倍商之二当于丙位减此是纵首之一故进一位也下三开仿此〉则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乘三得六于丙位减之则减丙七为一次以八乘三得二十四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁六为二次以八乘三得二十四于丁戊两位减之则去丁之二减戊六为二又以隅三自乘得九于丁位减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为廉法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位列六为三商次以三乘六得一十八于丙丁两位减之则去丙之二加丁一为三次以四乘六得二十四于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八乘六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加己四为六又以隅六自乘得三十六减戊己实并尽得广一百三十六〈并较得长一千二百二十四〉
　　带纵减积开平方法　长方积较求广或于实内减长积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为带纵初开亦稍朒其商先以带纵乘商减实乃以商自乘减实再开倍前商为廉法约计当得次商若干亦先以带纵乘商减实乃以廉法除实合次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得二列甲左而先以纵乘商以一乘二得二于甲位减之〈此纵之一商之二皆十也依常法商二自乘于甲位减今以纵一乘商二亦同葢凡十与十百与百相乘皆于本位减必相乘又得十乃进一位若商系十而乘纵之百则当进一位商系百而乘纵之十则当退一位次商三商其理不殊各以所商应除之位为本位而进退之也负纵益积仿此〉则减甲八为六次以二乘二得四于乙位减之则减乙六为二乃以商二自乘得四于甲位减之则又减甲六为二此初开也再开倍前商二得四为廉法约计次商当得四〈约计减积之馀尚有商廉相乘及隅自乘之数也〉亦先以纵乘商以一乘四得四于乙位减之〈次商即再开之隅隅本位在丙然隅四只是四数而所与乘之纵一则是一十故进一位也若以比初开所除之位则为退一位至三开即比再开又退一位矣〉则减甲二为一加乙二为八次以二乘四得八于丙位减之则减乙八为七加丙四为六乃以廉四除甲之一则改甲一为二加乙七为九又以四除乙之九则于乙减八存一于甲加二为四为次商又以隅四自乘得一十六减乙丙实并尽得广二十四
　　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而先以纵乘商以七乘一仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二乃以商一自乘得一于甲位减之则去甲之一此初开也再开倍前商一得二为廉法约计次商不足除知再开值空位〈乙位实二试拟一为次商而以纵首之七相乘当比初开退一位于丙位减之则丙实只有二必减及于乙而廉已不足除未暇论其他矣故知再开值空位也〉三开倍前商一十得二十为廉法约计三商当得八亦先以纵乘商以七乘八得五十六于丙丁两位减之则减乙二为一加丙二为六丁四为八次以二乘八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四乃以廉二除乙之一则改乙一为五又以二除丙之六则去丙之六于乙加三为八为三商又以隅八自乘得六十四减丁戊实并尽得广一百零八　按积较求广虽有二法只如一法耳前法并纵于方廉以除实此法分纵与方廉先后减实异而不异也分作两度减固不如并作一度除之便然必备识诸法而后可以尽其变化之用不容废云
　　负纵减方廉开平方法　长方以积与较求长者其广之积少于长当损其法之长名负纵减方廉开平方列实定开位以较为负纵初开稍盈其商以负纵减之为方法乃以乘商减实再开倍前商亦以负纵减之为廉法以除实得次商其隅法如常　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二求长者初商得三列甲左而以负纵减商得一十八为方法乃以方法乘商以一乘三得三于甲位减之则减甲八为五次以八乘三得二十四于甲乙两位减之则减甲五为三乙六为二此初开也再开倍前商三得六减负纵得四十八为廉法先以四除甲之三则改甲三为七于乙加二为四而其下实不足除即又于甲减一存六为次商而于乙加四为八次以八乘六得四十八于乙丙两位减之则减乙八为三加丙四为六又以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得长三十六〈减较得广二十四〉
　　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位负纵七十二初商得一列甲左而以负纵减商得二十八为方法乃以方法乘商以二乘一仍得二于乙位减之〈商系百而乘方之十故退一位也〉则减乙九为七次八仍得八于丙位减之则减乙七为六加丙四为六此初开也再开倍前商一得二减负纵得一百二十八为廉法先以一除甲之一则改甲一为九于乙加一为七而其下实不足除即又于甲减一存八为次商而于乙加一为八次以二乘八得一十六于乙丙两位减之则减乙八为七去丙之六次以八乘八得六十四于丙丁两位减之则减乙七为六加丙空为四去丁之四又以隅八自乘得六十四减乙丙实并尽得长一百八十〈减较得广一百零八〉
　　负纵益积开平方法长方积较求长或益积以补广而就其方名负纵益积开平方列实定位以较为负纵初开亦稍盈其商先以负纵乘商益实乃以商自乘减实再开倍前商为廉法约计当得次商若干亦先以负纵乘商益实乃以廉法除实合次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得三〈此当列甲左第二位因有益积故也初开毕不妨从甲左第二位移入甲左凡纵方诸例其商位每不可拘善算者自了然于心手之间耳〉而先以负纵乘商以一乘三得三于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为一次以二乘三得六于乙位加之则加甲一为二减乙六为二乃以商三自乘得九于甲位减之则去甲左之一加甲二为三此初开也再开倍前商三得六为廉法约计次商当得六亦先以负纵乘商以一乘六得六于乙位加之则加乙二为八次以二乘六得一十二于乙丙两位加之则加乙八为九丙四为六乃以廉六除甲之三则改甲三为五又以六除乙之九则于乙减六存三于甲加一为六为次商又以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得长三十六又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位负纵一千零八十八此当增一开〈负纵至千而依实位初商只是百数无是理也〉初商得一列甲左第二位而先以负纵乘商以一乘一仍得一于甲左空位加之〈甲左空位是商千应除之本位也商千乘纵千当于本位加〉则列一于甲左次八仍得八于乙位加之则加甲一为二减乙六为四次八仍得八于丙位加之则加乙四为五减丙六为四乃以商一自乘得一于甲左空位减之则去甲左之一此初开也再开倍前商一得二为廉法约计次商当得二亦先以负纵乘商以一乘二得二于甲位加之则加甲二为四次以八乘二得一十六于乙丙两位加之则加乙五为七去丙之四次以八乘二得一十六于丙丁两位加之则加丙空为二去丁之四乃以廉二除甲之四则去甲之四于甲左空位列二为次商又以隅二自乘得四于乙位减之则减乙七为三此再开也三开倍前商一十二得二十四为廉法约计三商当得二亦先以负纵乘商以一乘二得二于乙位加之则加乙三为五次以八乘二得一十六于丙丁两位加之则加丙二为三丁空为六次以八乘二得一十六于丁戊两位加之则加丁六为八减戊六为二乃以廉二除乙之五则于乙减四存一于甲空位列二为三商次以四乘二得八于丙位减之则去乙之一加丙三为五又以隅二自乘得四于丁位减之则减丁八为四此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四为廉法约计四商当得四亦先以负纵乘商以一乘四得四于丙位加之则加丙五为九次以八乘四得三十二于丁戊两位加之则加丁四为七戊二为四次以八乘四得三十二于戊己两位加之则加戊四为七己四为六乃以廉二除丙之九则于丙减八存一于乙空位列四为四商次以四乘四得一十六于丙丁两位减之则去丙之一减丁七为一次以四乘四得一十六于丁戊两位减之则去丁之一减戊七为一又以隅四自乘得一十六减戊己实并尽得长一千二百二十四　按积较求长二法不同论负纵以并方廉为便而使负纵多初商少乃宜用益积也别拟取捷之术凡负纵减商而商不足则以所负商数为负方〈亦可称馀负纵也〉以负方乘商益积即初开毕矣自再开以后减廉固无碍耳
　　带纵负隅益积开平方法　长方以积与和求广者用和为带纵〈此与用较为带纵又别用较为带纵者以纵并方廉而乘商减实用和为带纵者直以纵乘商减实耳然且患纵多积少而须益积及减纵二法矣〉则已兼长广而积有长广相乘无广自乘故置负隅法以益积而以带纵开之名带纵负隅益积开平方列实定开位以和为带纵别置一算为负隅初开稍朒其商以乘负隅〈一为负隅则可不必置算亦不必乘而必言置算言乘者此法施之他处即负隅或不止于一也观后各例自见〉为方法先以方法乘商益实乃以带纵乘商减实再开倍前商以乘负隅为廉法约计当得次商若干以乘负隅为隅法先以廉法乘商益实又以隅法乘商〈隅乘商云者因有负隅之乘故又分隅与商为二也然负隅若止于一则直云商自乘或隅自乘亦可耳〉益实乃以带纵除实合次商
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广和六十求广者初商得二〈此当列甲左第二位〉而以乘负隅仍得二为方法先以方二乘商二得四于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为二乃以纵六乘商二得一十二于甲左及甲两位减之则去甲左之一甲之二此初开也再开倍前商二得四以乘负隅仍得四为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法先以廉四乘商四得一十六于甲乙两位加之则加甲空为二减乙六为二又以隅四乘商四得一十六于乙丙两位加之则加乙二为四去丙之四乃以纵六除甲之二〈以纵除与以廉除其位同此纵之六与廉之四皆十也以十随十当于廉本位乙位除之除得次商当在甲位今甲位有实则甲乙同除也　至此宜将初商仍移入甲左矣〉则改甲二为三于乙加二为六又以六除乙之六则去乙之六于甲加一为四为次商得广二十四
　　带纵负隅减纵开平方法　长方积和求广或减负隅于纵而以馀纵开之名带纵负隅减纵开平方列实定位以和为带纵别置一算为负隅初开亦稍朒其商以乘负隅为方法以方法减纵乃以馀纵乘商减实再开倍前商以乘负隅为廉法约计当得次商若干以乘负隅为隅法以廉法减纵又以隅法减纵乃以馀纵除实合次商
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乘负隅仍得二为方法以方法减纵馀四十乃以纵四乘商二得八于甲位减之则去甲之八此初开也再开倍前商二得四以乘负隅仍得四为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法以廉法减纵馀二十又以隅法减纵馀一十六乃以纵一除乙之六则于乙减四存二于甲空位列四为次商次以六乘四得二十四减乙丙实并尽得广二十四
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十初商得一列甲左而以乘负隅仍得一为方法以方法减纵馀一千二百六十乃以纵乘商以一乘一仍得一于甲位减之则去甲之一次二仍得二于乙位减之则减乙六为四次六仍得六于丙位减之则去丙之六此初开也再开倍前商一得二以乘负隅仍得二为廉法约计次商当得三以乘负隅仍得三为隅法以廉法减纵馀一千一百六十又以隅法减纵馀一千一百三十乃以纵一除乙之四则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以一乘三得三于丙位减之则去乙之一加丙空为七次以三乘三得九于丁位减之则减丙七为六加丁四为五此再开也三开倍前商一十三得二十六以乘负隅仍得二十六为廉法约计三商当得六以乘负隅仍得六为隅法以廉法减纵馀一千一百又以隅法减纵馀一千零九十四乃以纵一除丙之六则去丙之六于乙空位列六为三商次以九乘六得五十四于丁戊两位减之则去丁之五减戊六为二又以四乘六得二十四减戊己实并尽得广一百三十六　按积和求广二法以减纵法为优葢初开以后欲约得续商之数比益积为差易但先以廉减纵而以馀纵求之如第一例馀实六十四且作四与十六相乘之数而馀纵二十析之亦得四与十六两数即四为次商为隅法以再减馀纵得一十六而以纵除实正得次商矣如第二例直以廉减馀之纵约馀实得次商三商虽得商后须再以隅减纵而纵多商少隅减之馀与廉减之馀当不至大相悬也然此特谓积和求广之本法止以一为负隅者若施之他处负隅不止于一则因续商有负隅之乘理当小异不得仅如右二说且开除往往遇负积更须参用下文翻法耳
　　带纵负隅减纵翻法开平方法　长方以积与和求长者积有长广相乘无长自乘法当损广以益长故以和为带纵别置一算为负隅初开稍盈其商以乘负隅为方法以方法减纵以馀纵乘商减积而积常不足则翻以所负积数为积再开倍前商以乘负隅为廉法以廉法减纵而纵又常不足亦翻以所负纵数为纵既隅积纵三者俱负乃以负纵除负积得次商又以次商乘负隅为隅法以乘商减负积名带纵负隅减纵翻法开平方
　　假如长方积三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求长者初商得七〈此虽列甲左而除得次商乃在乙位则又当借列甲位也〉而以乘负隅仍得七为方法以方法减纵馀五十乃以纵五乘商七得三十五于甲乙两位减之而积不足四十四则去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四于丙列四于丁为负积此初开也再开倍前商七得一十四以乘负隅仍得一十四为廉法以廉法减纵而纵不足二十即以负纵二除丙之四则去丙之四于乙空位列二为次商又以次商乘负隅仍得二为隅法以乘商二得四减丁位负积适尽得长七十二
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一〈若初商九百或八百商愈少则负积且愈多故知当为一千也〉列甲左第二位而以乘负隅仍得一为方法以方法减纵馀三百六十乃以纵乘商以三乘一仍得三于甲位减之〈商千之位在甲左商千乘纵百则退一位故当于甲位减〉以六乘一仍得六于乙位减之而积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为负积此初开也再开倍前商一得二以乘负隅仍得二为廉法以廉法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一〈倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商应列之位特因负纵数朒故耳〉则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商〈此当于再开毕后移列甲左葢三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣〉次以四乘二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乘负隅仍得二为隅法以乘商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乘负隅仍得二十四为廉法以廉法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乘二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乘负隅仍得二为隅法以乘商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乘负隅仍得二百四十四为廉法以廉法减纵而纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙之四于乙空位列四为四商次以八乘四得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四商乘负隅仍得四为隅法以乘商四得一十六减戊己负积并尽得长一千二百二十四　按积和求广初开后必有馀积〈若遇负积即初商是长非广也此亦指一为负隅者而言〉求长则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开所负之积不妨于再开所益积内减之〈再开所负于三开所益减〉但欲约次商患其茫然无绪可寻故只仿减纵法葢减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于左
　　一求长而初开后乃有馀积此其初商必与求广相同者也既有馀积则以廉减纵亦必有馀纵〈若积馀纵负乃是商数过盈非所求之长当改商就朒〉且如实一万九千四百四十和二百八十八初商得一百〈求广求长同〉而馀积六百四十再开以廉减纵馀八十八约馀积为八与八十相乘之数而馀纵析之亦得八与八十两数此若求广即再开为空位以八为三商以再减馀纵得八十而以除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为次商以再减馀纵得八而以除积正得次商为长一百八十葢只用减纵法而广长皆得可不须翻法也又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一百而馀积一千九百四十四再开以廉减纵馀九十约馀积一千九百〈其下小数且置不算也〉为四十与五十相乘之数则朒为三十与六十相乘之数则盈而馀纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若求广则取盈数〈宜有馀积也〉以三十为次商〈广不合有一百六十故不用六〉以再减馀纵得六十而以除积一千八百得次商仍馀积一百四十四三开以廉减纵馀三十约馀积为六与二十四相乘之数而馀纵析之亦得六与二十四两数即以六为三商以再减馀纵得二十四而以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒数〈宜负积也〉以五十为次商〈长不合止一百四十故不用四〉以再减馀纵得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以廉减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商而以隅四自乘得一十六减负积尽为长一百五十四葢始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以得长非可执一云〈右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅之乘取省文便览也又自此以下凡积纵商廉诸数百则曰百千则曰千而不复著甲乙之位非前后互异正取参观以相发明耳〉
　　一负积当以负纵除而以廉减纵适尽者约负积得次商以乘负隅为隅法以乘商减负积〈既无负纵则独用隅法减负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可〉如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以廉减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乘得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以廉减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乘得四百减负积三开以廉减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乘得二十五减负积尽为长一百二十五〈负积六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开廉法之四十犹翻法三开负纵之四十也葢纵廉相减负纵即是馀廉而在负隅法中方廉隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是馀负廉也〉
　　一以廉减纵有馀纵不可以除负积者约计当得次商若干以乘负隅为隅法再减馀纵纵负则以负纵除负积合次商〈负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有馀纵则以隅法相减〉如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以廉减纵馀三即约九为次商以再减馀纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也
　　一以廉减纵有馀纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除〈隅与纵相减并尽既无负纵即无馀隅矣无可用以除负积者也〉而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以廉减纵馀八十即以八十为次商〈若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也〉以再减馀纵适尽无可除三开以廉减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乘得二十五减负积尽为长二百八十五一以廉减纵有馀纵再以隅减纵仍有馀纵者以馀纵乘商益负积〈馀纵以减积负纵以减负积然则馀纵当以益负积矣〉而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以廉减纵馀六十四即以六十为次商〈不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也〉以再减馀纵仍馀四则以馀纵乘商得二百四十以益负积得五百一十二三开以廉减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乘得六十四减负积尽为长一百六十八
　　右自带纵并方廉开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商廉相乘与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也〈若以一为隅算则与无隅算同商廉固即是隅算之一也〉以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云
　　平方以斜径求方　法以斜径自乘为实以二为隅算开方　假如方田斜径七十步求方者以斜径自乘得四千九百为实以二为隅算初商四十以乘隅算得八十为方法以方法乘商得三千二百减实再开倍前商得八十以乘隅算得一百六十为廉法以廉法除实一千四百四十得九为次商又以次商乘隅算得一十八为隅法以隅法乘商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乘隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜径自乘之实倍方积故以二为隅算开之〈或不用隅算以斜径实半之开方亦得〉旧说率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也
　　平方以方求斜径　法倍方积开方
　　大小两方以共积及两方互乘数求大小方　法倍两方互乘数减共积开方得两方较乃以两方互乘数为实以较为带纵用带纵并方廉开之〈言并方廉而或用减积可知不待言也他仿此〉得小方或以较为负纵用负纵减方廉开之得大方
　　又法倍两方互乘数并共积开方得两方和乃以两方互乘数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方〈按此葢以句股法通之大方股也小方句也共积实也两方互乘数句股相乘长方积也故倍互乘数则与共积相并减而开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乘数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较以见大小方不用纵方之法亦可耳〉
　　大小两方以共积及两方较求大小方　法以较实减共积馀为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方廉开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方廉开之得大方　假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乘得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乘隅算得一百四十为方法先以负纵乘商得三千九百二十益实乃以方法乘商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乘隅算得二百八十为廉法约计次商当得四以乘隅算得八为隅法先以负纵乘商得二百二十四益实乃以廉法除实一千一百二十合次商又以隅法乘商得三十二减实尽得大方七十四〈此以隅算负纵益积法为例馀可类推〉
　　大小两方以共积及两方和求大小方　法以和实减共积馀为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方〈按右二条但倍共积以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也〉
　　大小三方以共积及三方之两较求各方　法以两较实减共积馀为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方廉开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方廉开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较〈可知中方近小方也〉则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方廉开之大与中之较朒于中与小之较〈中方近大方也〉则倍较较为负纵用隅算负纵减方廉开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方
　　大小三方以共积及三方之两和求各方　法以两和实减共积馀为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方〈按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有馀实矣并两和又倍之其数亦复不少以此为纵则减之常有馀纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳〉
　　右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积馀为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方廉开之求甲方者用负纵〈若四较皆以甲方为主即先求甲方也　甲大戊小〉并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有说假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之馀则较较也葢以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣〈乙下于甲一等似近大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也并三较与一较之数等者但用隅算开之〉丙丁仿此其以和求者只如
　　右法云
　　三广田以积与三广之两较及长广较求长广　法以中广与长之较为带纵〈必以中广为主此算三广之定法　既称长广则中广必朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳〉以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵〈长既有纵广不当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵〉而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方廉兼减积开之〈带纵法以并方廉为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故兼用减积法至再开或减积或并廉者廉固统长广两边不妨并两纵也〉旁负纵者用带纵并方廉兼负纵益积减廉开之〈带纵既用并方廉法而两纵分属长廉两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减廉者廉统长广两边不妨且并且减也〉得中广　假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乘旁带纵得八百四十七减积乃以方法乘商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为廉法约计次商当得八为隅法先以隅法乘旁带纵得八十八减积乃以廉法除积六百九十六合次商又以隅八自乘得六十四减积尽得中广一十八〈各加较得南广二十六北广五十四长八十五〉或再开以旁带纵并入廉法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷
　　又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方法乘旁负纵得四百八十益积乃以方法乘商得二千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一十为廉法约计次商当得五为隅法先以隅法乘旁负纵得三十益积乃以廉法除积五百五十合次商又以隅五自乘得二十五减积尽得中广三十五〈各加减较得南广二十北广二十六长八十五〉或再开以旁负纵减廉法得一百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减积尽尤便〈按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下文各条例中其法更加隅算及负隅者纵与旁纵断不可移易也〉
　　方长带偏斜田以积及四边之三较求长广　法以一边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所馀盈朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三广田法　假如偏斜田积四千一百四十八步东长盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负纵得五十七为方法先以方法乘旁带纵得二百二十八减积乃以方法乘商得三千四百二十减积再开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁带纵得一百二十一为廉法以廉法除积四百八十四得四为次商而以隅四自乘得一十六减积尽得东长六十四〈各加减较得南广五十四北广六十八西长七十二〉
　　又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百〈此因负纵多而初商少兼用益积法〉先以负纵乘旁带纵得一千二百益积〈凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积葢以方法相乘则减积耳方法之中有商有带纵方也商也带纵也皆正也两正相乘宜减积一正一负相乘宜益积也〉次以商乘旁带纵得一千减积又以负纵乘商得一万二千益积乃以商自乘得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十并旁带纵得九十为廉法以廉法除积七千二百得八十为次商而以隅八十自乘得六千四百减积尽得东长一百八十〈南广五十北广七十西长二百〉
　　又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百先以负纵乘旁负纵得九百六十减积〈凡负纵皆用之益积此旁负纵何以减积葢一正一负相乘宜益积则两负相乘又宜减积也两负如无负也〉次以商乘旁负纵得八百益积又以负纵乘商得一万二千益积乃以商自乘得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十又减旁负纵得七十二为廉法以廉法除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乘得四千九百减积尽得东长一百七十〈南广四十五北广五十五西长一百五十四〉　按右三例第一例以负纵减方廉兼带纵减积并廉也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二十为负方第二例以负方乘旁带纵得二百益积又以负方乘商得二千益积第三例以负方乘旁负纵得一百六十减积又以负方乘商得二千益积即初开各毕矣前著例颇详者欲使其中条理显然而捷径自出也
　　三广田以积与三广和两广较及长广较求长广　法以四乘积为实以和为带纵一为隅算〈凡三广必倍中广并边两广而四除之以为广今四乘积则可以当四除矣乃以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵隅算固所求之中广也〉以中广与长之较为旁带纵〈如中广反盈于长则为负也〉用隅算双带纵并方廉兼减积开之得中广〈以加长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可以次第推也　按此以长广较为旁纵者和不得为旁纵也凡和为带纵必加隅算及负隅而隅算负隅势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可移耳〉
　　方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广法以二乘积为实以和为带纵一为负隅〈以三边和为带纵非有二长即有二广故以二乘积而有二长者一为负隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以求长因以减纵中之长〉以长较或广较半之为旁纵〈求长则取长较求广则取广较〉其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广　假如偏斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求各长广者以二乘积得八千二百九十六为实以一为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十以乘负隅仍得六十为方法以方法减纵馀一百二十六先以馀纵乘旁带纵得五百零四减实乃以馀纵乘商得七千五百六十减实再开倍前商得一百二十以乘负隅仍得一百二十为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法以廉法减纵馀六十六又以隅法减纵馀六十二乃先以隅法乘旁带纵得一十六益实〈在负隅法中方廉隅皆负也旁带纵以正而与负乘故宜益实也〉而以馀纵减实二百四十八合次商得东长六十四〈以减和更以广较推之得南广五十四北广六十八以长较见西长七十二〉或再开以旁带纵乘负隅仍得四〈凡纵不与隅算及负隅二者相乘而旁纵自再开以后欲与廉纵相并减则必与二者相乘也前以隅法乘之而益积隅法固已先乘负隅矣〉以减纵馀五十八〈带纵而乘负隅故以减纵〉而以除实二百三十二合次商亦便
　　又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六步此须用带纵负隅减纵翻法〈倍积为实则除实宜有馀实一长二广为纵则减纵宜有馀纵而或须用翻法者必其田狭长之甚也〉而兼旁纵开之以二乘积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百〈若商八十或九十则负积愈多而八十且有馀纵无以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故定商一百〉以乘负隅仍得一百为方法以方法减纵馀七十四先以馀纵乘旁带纵得四百四十四减实乃以馀纵乘商得七千四百减实实负一千三百四十四再开倍前商得二百以乘负隅仍得二百为廉法以廉法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乘负隅仍得二十为隅法先以隅法乘旁带纵得一百二十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以隅法乘商得四百减负实三开倍前商得二百四十以乘负隅仍得二百四十为廉法以廉法减纵纵负六十六约计三商当得四以乘负隅仍得四为隅法先以隅法乘旁带纵得二十四减负实乃以负纵除负实二百六十四合三商又以隅法乘商得一十六减负实尽得东长一百二十四〈南广二十二北广二十八西长一百三十六〉或再开以旁带纵乘负隅仍得六以并负纵得三十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法减负实四百三开以旁带纵乘负隅仍得六以并负纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而以隅法减负实尽尤便　按算术固不能尽言即如偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以四乘积为实以东西和除之得南北和而并东南和东北和以南北和减之半其馀得东长如三广田举积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其说凡诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉
　　长方以重长重广共步及积求长广　法以共步为带纵而求长则以长数〈重几长则为几数也下广数同〉为负隅以广数乘积为实求广则以广数为负隅以长数乘积为实用带纵负隅减纵及翻法开之〈不论求长求广但负隅数少乘积数多者积与纵常有馀往往用带纵负隅减纵法负隅数多乘积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭长之甚者则不然临算当自知之不可预定耳〉　假如长方积八百六十四步二长五广共一百九十二步为带纵以五乘积得四千三百二十为实〈五乘积则得长乘广之数五而可以五广为带纵也〉以二为负隅〈实中无长自乘之数而带纵有二长故以二为负隅不益实即减纵也〉用带纵负隅减纵开之得长三十六或以二乘积得一千七百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十四　更有重长重广重和重较共步及积求长广者如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前求之若重较数多既益广尽为长而尚有馀较者此则不可求长但可求广〈原积无长乘较之数故不可求长原积有广自乘及广乘较之数各一故可求广〉且如积八百六十四步一和六较三长四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五广又以六较之五益广为长共得九长而馀一较则以九长减较为广乃得九广十较而以十乘积得八千六百四十为实以一为隅算〈十乘积则得广自乘及广乘较之数各十而带纵少一广故以一为隅算并纵也〉以共步为带纵用隅算带纵并方廉开之得广二十四
　　长方以长广母子分数之共步及积求长广　法以长母乘广子为广率为广数以广母乘长子为长率为长数以两母相乘为总率以乘共步为带纵乃如前重长重广例求之　假如长方积八百四十步五分长之二四分广之一共二十步求长广者以五乘一得五为广率为五广以四乘二得八为长率为八长以五与四乘得二十为总率以乘共步得四百为带纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乘积得六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵开之得广二十四或以五乘积得四千二百为实以八为负隅用翻法开之得长三十五
　　长方匿原积以长乘重长重广积步及较或以广乘重长重广积步及较求长广　法以乘积为实并长广数为隅算而长乘求长则以广数乘较为负纵用隅算负纵减方廉开之广乘求广则以长数乘较为带纵用隅算带纵并方廉开之若广乘求长则以广数乘较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方廉兼益积开之长乘求广则以长数乘较为带纵又以较为旁带纵用隅算双带纵并方廉兼减积开之假如长方匿其原积而以广乘六长三广得六千
　　九百一十二步其长广较一十二步求长者以乘积六千九百一十二为实以九为隅算以三乘较得三十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以乘隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法先以方法乘旁负纵得二千八百零八益实乃以方法乘商得七千零二十减实再开倍前商得六十以乘隅算得五百四十减负纵得五百零四为廉法约计次商当得六以乘隅算得五十四为隅法先以隅法乘旁负纵得六百四十八益实乃以廉法除实三千零二十四合次商又以隅法乘商得三百二十四减实尽得长三十六或再开以旁负纵乘隅算得一百零八以减廉法得三百九十六以除实二千三百七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷　右法更有以长乘重长重广重和重较或以广乘之而以其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言矣若以较益广尽为长而尚有馀较如前九长一较之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而长乘求长则以一乘较为带纵广乘求广则以十乘较为带纵〈九广十较也〉广乘求长则以一乘较为带纵又以较为旁负纵长乘求广则以十乘较为带纵又以较为旁带纵依例开之
　　长方匿原积以长乘重长重广积步及和或以广乘重长重广积步及和求长广　此与前一条相似而不同以长乘者但可求长以广乘者但可求广〈隅算及负隅无旁加者势不能也故长乘不便于求广广乘不便于求长矣〉法亦以乘积为实而长乘求长则以广数乘和为带纵广乘求广则以长数乘和为带纵又以长广数相减馀数为隅算不足数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵并方廉或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三广长乘求长则以三乘和为带纵以三为隅算〈六长三广相减长馀三以为隅算之数葢并三长于带纵得六长三广也〉广乘求广则以六乘和为带纵以三为负隅〈六长三广相减广不足三以为负隅之数葢减三广于带纵亦得六长三广也〉开之是也　右法长广所乘若更兼重和重较者先约和较为长广而约得馀较如前九长一较之比亦别有法且如九长一较长乘求长则以一乘和为负纵以十一为隅算〈减一长一广于隅算得九长一较也〉广乘求广则以十乘和为带纵以十一为负隅〈减十一广于带纵亦得九长一较也〉依例开之

　　九章录要卷六
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>

　　钦定四库全书
　　九章录要卷七
　　松江屠文漪撰
　　商功法
　　古九章五曰商功以御功程积实
　　堑堵求积尺　凡筑城墙堤堑之类上下广不等者法并上下广折半以髙乘之复以长乘之得积
　　堑堵求积又法　堤堑之类亦有两头之上广之下广之髙各不等者法倍东髙加入西髙以东头上下广并而乘之折半又倍西髙加入东髙以西头上下广并而乘之折半并二数以长乘之以六除之或不用两度折半者则以十二除之〈右一条新订〉
　　方台求积　法同粟米章方窖
　　长方台求积法同长方窖
　　员台求积　法同员窖
　　长员台求积法同长员窖
　　方锥求积　法同粟米方尖堆
　　方锥改方台求各数法　假如方锥下方二十四尺髙三十二尺今改方台上方六尺问髙几何
　　一率　二十四〈原下方尺数无减〉
　　二率　三十二〈原髙尺数〉
　　三率　一十八〈今上下方较尺数〉
　　四率　二十四〈今髙尺数〉
　　又如前例问截去几何
　　一率　二十四〈下方〉
　　二率　三十二〈原髙〉
　　三率　六〈今台上方即今截下方〉
　　四率　八〈今所截之髙〉
　　右二例若求今髙以减原髙亦得所截之髙求截髙以减原髙亦得今髙而必备其法者庶各得所求不须借径也又如前例今髙二十四尺问上方几何
　　一率　三十二〈原髙〉
　　二率　二十四〈下方〉
　　三率　八〈今髙减原髙为所截之髙〉
　　四率　六〈今截下方即今台上方〉
　　右例亦可以今髙列三率求得四率为今上下方较以减下方而得上方也
　　员台改员锥求各数　假如员台下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改员锥问髙㡬何
　　一率　五十四〈原上下周较〉
　　二率　二十四〈原髙〉
　　三率　七十二〈今下周无减〉
　　四率　三十二〈今髙〉
　　又如前例问增髙㡬何
　　一率　五十四〈原上下周较〉
　　二率　二十四〈原髙〉
　　三率　一十八〈原台上周即今增下周〉
　　四率　八〈今所增之髙〉
　　又如前例今髙三十二尺问上周
　　一率　二十四〈原髙〉
　　二率　五十四〈原上下周较〉
　　三率　三十二〈今髙〉
　　四率　七十二〈今上下周较以减下周适尽知为员锥也〉
　　右例亦可以今所增之髙列三率求得四率为所增上下周较以减原上周适尽而知为员锥也
　　又右六法方减员增特互举以见例而法则相通且方或以周算员或以径算亦皆同耳
　　堑堵增减求数法　假如筑墙上广二尺下广六尺髙二十尺今已筑至上广三尺六寸问髙㡬何
　　一率　四十〈原上下广较化寸数〉
　　二率　二十〈原高尺数〉
　　三率　二十四〈今上下广较化寸数〉
　　四率　一十二〈今高尺数〉
　　又如前例今欲筑至髙二十四尺问上广㡬何一率　二十〈原高尺数〉
　　二率　四十〈原上下广较化寸数〉
　　三率　二十四〈今高尺数〉
　　四率　四十八〈今上下广较寸数以减下广得一十二寸为今上广〉
　　堑堵以直高求斜高以斜高求直高　法以上下广较半之为勾直高为股斜高为以勾股法互求之〈右一条新増〉
　　功程迟速例　假如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须㡬日法以十八日减四十五日得二十七日为乙匠未毕之工知甲匠十八日当乙二十七日也列率求之
　　一率　二十七
　　二率　一十八
　　三率　四十五
　　四率　三十
　　又如甲匠制造六十日而毕乙匠则百日而毕问两匠并营须㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之工当乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一为并营日数或以百日除六十日得乙匠一日之工当甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一〈右一条新增〉
　　方尖堆物求积〈自此以下皆隙积之法隙积谓积之有隙者如累棋及积酒罂之类与前积尺法不同〉　假如方尖堆下广十二问积㡬何法置下广十二别以下广加一枚为十三而乘之得一百五十六又以下广加半枚为十二有半而乘之得一千九百五十以三除之得积六百五十
　　方平堆物求积　法以下广依尖堆法求积别以上广减一枚为下广依尖堆法求积两尖堆积相减得平堆积〈此以平堆先作尖算乃减上虗尖成平也〉
　　长方平尖堆求积〈既云尖又云平者上广只一故谓之尖上长不止于一故又谓之平也〉假如长方平尖堆下广十长十二问积㡬何法以
　　长广较半之得一又加半枚得一有半并长得十三有半以广乘之得一百三十五又以广加一枚为十一而乘之得一千四百八十五以三除之得积四百九十五　又法先以广长较加一枚得上长而算之〈上广只一不必言〉假如平尖堆下广八长十三问积几何此可知上广一而长六也乃倍下长加上长得三十二以下广乘之得二百五十六又以下广乘之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得积三百八十四
　　长方平堆求积　法倍上长加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之并二数加上下长较〈上下广较同〉以髙乘之〈上下长较加一数得髙上下广较亦同〉以六除之得积按此法长方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之盖一法而兼四法可云居要者也
　　三角尖堆求积　假如三角尖堆下广八问积㡬何法置下广八别以下广加一枚为九而乘之得七十二又以下广加二枚为十而乘之得七百二十以六除之得积一百二十
　　三角平堆求积　法以上广自乘又以下广自乘又以上广乘下广又倍下广加上广并四数以髙乘之〈上下广较加一数得髙〉以六除之得积　按此法亦可用之三角尖堆








　　九章录要卷七

　　钦定四库全书
　　九章录要卷八
　　松江屠文漪撰
　　均输法
　　古九章六曰均输以御逺近劳费
　　均输例　假如有粮二万石令甲乙丙丁戊五县依戸口多少道里逺近价値上下而均输之每车载五十石行一里僦値一钱甲县三万零五百二十戸米石价二两乙县一万二千三百一十二戸米石价一两四钱逺输二百里丙县七千一百八十二户米石价一两六钱逺输一百五十里丁县一万三千三百四十三户米石价一两七钱逺输二百五十里戊县一万五千三百一十戸米石价一两三钱逺输三百五十里问五县各㡬何五县每戸各几何法以僦价并入米价以除各县户数而求各县之衰惟甲县自输本县无僦价以米价化为二十钱除户数得一千五百二十六为甲衰其乙丙丁戊四县俱有僦价各以所输里数乘僦一钱而以每载五十石除之得各运价乙县行二百里乘除得四钱并米价共一十八钱以除戸数得六百八十四为乙衰丙县行一百五十里乘除得三钱并米价共一十九钱以除戸数得三百七十八为丙衰丁县行二百五十里乘除得五钱并米价共二十二钱以除戸数得六百零六又二之一为丁衰戊县行三百五十里乘除得七钱并米价共二十钱以除戸数得七百六十五又二之一为戊衰并五衰共三千九百六十为总衰
　　一率　　三千九百六十
　　二率　　二万
　　三率　〈二千五百　六百八十　三百七十　六百零六　七百六十五二十六　　四　　　　八　　　　又二之一　又二之一
　　甲　　乙　　丙　　丁　　戊〉
　　四率　〈七千七百　三千四百　一千九百三千零六三千八百零七石零　五十四石　零九石零十三石一六十六石七升又九　五斗四升　九升又十一　斗三升又一斗六升十九分升　又十一分　分升之一　九十九分又九十九
　　之七　　升之六　　　　升　　　　分升之三　　　　十六〉
　　右已得各县米数次以各县戸数除之即得每戸数
　　逺近劳费杂例　假如僦车运货原议行路二千里载重二千四百斤给値一十五两今重三千斤行二千六百里问値㡬何
　　一率　四百八十万〈原路及重相乘数约为四十八〉
　　二率　一十五〈原値两数〉
　　三率　七百八十万〈今路及重相乘数约为七十八〉
　　四率　二十四又八分之三〈今値两数〉
　　右亦可用重测法
　　一率　二千〈原行里数〉
　　二率　一十五〈原値两数〉
　　三率　二千六百〈今行里数〉
　　四率　一十九又二之一〈今行路仍载原重僦值两数〉
　　又
　　一率　二千四百〈今行路载原重斤数〉
　　二率　一十九又二之一〈原重须僦价两数〉
　　三率　三千〈今重斤数〉
　　四率　二十四又八之三
　　右重测法或先以载重列率次以行路列率求之一率　二千四百〈原重〉
　　二率　一十五〈原値〉
　　三率　三千〈今重〉
　　四率　一十八又四之三〈今重仍行原路僦値两数〉
　　又
　　一率　二千〈今重行原路〉
　　二率　一十八又四之三〈原路僦价〉
　　三率　二千六百〈今行路〉
　　四率　二十四又八之三
　　又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今载三千二百斤给値一十二两问当行路㡬何一率　二千四百〈原重〉
　　二率　一十五〈原値〉
　　三率　三千二百〈今重〉
　　四率　二十〈今重仍行原路僦値〉
　　又
　　一率　二十〈今重行原路値〉
　　二率　二千〈原路〉
　　三率　一十二〈今値〉
　　四率　一千二百〈今路〉
　　右亦可用并测法求得四率今重兼行路之数再以今重除之得行路数〈下同〉
　　又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今路一千七百里给值七两六钱五分问当载重㡬何一率　二千〈原路〉
　　二率　一十五〈原値两数　或化为一千五百分〉
　　三率　一千七百〈今路〉
　　四率　一十二又四之三〈今路仍载原重僦値　或化一千二百七十五分〉又
　　一率　一十二又四之三〈今路载原重値　或化一千二百七十五分〉二率　二千四百〈原重〉
　　三率　七又二十之一十三〈今值　或化七百六十五分〉
　　四率　一千四百四十〈今重〉
　　又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须㡬日可及一率　一又二之一〈先发日减较日为追上日数〉
　　二率　二又二之一〈驰追日数〉
　　三率　一十一又二之一〈较日数〉
　　四率　一十九又六之一〈追及日数右一条新订〉
　　又如行程二千七百里十八人同行止有马七匹更换骑之十里一换问骑行歩行各㡬何法以马数乘行程得数以人数除之得每人骑行一千零五十里减行程馀为歩行数
　　又如空车日行七十里若重载即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺㡬何法并空车重车日行数以三返乘之为日数列一率以空车重车日行数相乘为里数列二率知以三百六十日行三千五百里而三返也乃以五日列三率求之
　　一率　三百六十
　　二率　三千五百
　　三率　五
　　四率　四十八又一十八之一十一〈所求里数〉







　　九章录要卷八

　　钦定四库全书
　　九章录要卷九
　　松江屠文漪撰
　　盈朒法
　　古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隐杂互见
　　盈不足例　假如众人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹问人数帛数各㡬何法以盈不足数相并为人实以分数互乘盈不足数相并为帛实乃以分数相减之较为法除人实得人数八除帛实得帛数五十五　按盈不足数及分数互乘盈不足数俱相并若遇两盈两不足即相减惟以分数相减之较为法则诸例皆同都不用并也
　　又按右例若止求人数以乘分数而以盈不足数加减算之亦得帛数即不用互乘之法可也以下诸例仿此
　　又如田形长方欲于中截分一段截长七歩不足七歩截长九歩盈十一歩问原阔歩及所截积歩各㡬何法以盈不足数相并为原阔之实以截长数互乘盈不足数相并为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔歩九截积歩七十
　　又如绢一匹作帐折成六幅比旧帐长六寸折成七幅比旧帐短四寸问旧帐幅新绢各长㡬何法先以幅数各乘长短数以为盈不足数〈六幅共盈三十六寸七幅共朒二十八寸不以六寸四寸为盈朒数也〉然后以盈不足数相并为旧帐幅实以幅数互乘盈不足数相并为新绢实俱以幅数之较为法除之得旧帐幅长六尺四寸新绢长四丈二尺
　　又如井不知深〈谓水面以上至井口非谓水深也〉将绳折作三股入井汲水馀绳四尺折作四股入井馀绳一尺问井深绳长各㡬何法先以股数各乘馀绳数以为两盈数〈与上帐幅例同〉然后以两盈数相减为井实以股数互乘两盈数相减为绳实俱以股数之较为法除之得井深八尺绳长三丈六尺
　　又如官米不知其数甲乙二等户并输乙户所输当甲户十之八令甲等八户乙等五戸输之不足三石令甲等六户乙等八戸输之不足一石问二等户输米则例及官米总数各㡬何法先以甲乙二等衰各乘户数依问所列并之以为输数〈此兼用衰分之法甲衰十乘八户乙衰八乘五户并得一百二十甲衰十乘六户乙衰八乘八户并得一百二十四为输数不以原户数为输数也〉然后以两不足数相减为则例之实以输数互乘两不足数相减为总米之实乃以输数之较为法除则例实以二等衰各乘之得二等戸输米则例甲每户五石乙每户四石〈按以法除则例之实当得则例之数而此条乃不同者前既以甲户乘衰作十数乙户乘衰作八数则此除得之数仅得甲户十之一乙户八之一故须以二等衰各乘之而后二等则例皆得也〉又以输数之较为法除总米实得官米总六十三石
　　按右三条其法不异于前两条但中间复带细数须相乘者故微有不同耳若带分盈朒虽亦大略相类而自为一法别起例于后
　　又如长方田中欲截分一段截长三十八歩不足二十五歩截长四十歩适足问原阔歩及所截积歩各㡬何法以不足数为原阔之实以适足之截长数乘不足数为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔十二歩半截积五百歩〈一盈一适足者仿此〉
　　带分盈不足例　假如将银买物用银三分之二盈三两用五分之三不足一两问银数物价各㡬何法先以分子互乘分母以为用银数〈分子二乘分母五则以十为用数不以二为用数分子三乘分母三则以九为用数不以三为用数〉然后以盈不足数相并以两分母相乘之数乘之为银实〈分子既互乘分母以为用数则盈不足亦必累乘两分母以为银实也〉以用银数互乘盈不足数相并为物价实俱以用银数之较为法除之得总银六十两物价三十七两
　　又如众人买物每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两问人数物价各㡬何法如前先以银率互乘人率以为出银数然后以两盈数相减以两人率相乘之数乘之为人实以出银数互乘两盈数相减为物价实俱以出银数之较为法除之得人数一十二物价两数一十五
　　按右例似与带分有别而实则同也六人共银九两即是六分之九零分法原有子数多于母数者也所用算术既无少异宜附带分之条或别立名目重出一条徒滋学者之惑殆未深知其理之一耳　又按第一例既以用银数互乘盈不足得数若再以用银数与乘得之数又互换而乘之〈前用银数十互乘不足一两仍得十用银数九互乘盈三两得二十七今再以用银数十互乘二十七得二百七十用银数九互乘十得九十也〉相并以两分子相乘之数除之以为银实〈第二例亦然此姑就第一例言之〉于算亦通而叠用互乘数目纷纭非法之良宜从芟削者也〈右二条新订〉
　　又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各㡬何法先以分子互乘分母及石数以为用银数以两不足数互乘石数以为两不足数然后以两不足数相减以两分母相乘之数乘之为银实以用银数互乘两不足数相减以两石数相乘之数除之为米价实俱以用银数之较为法除之得总银三十六两米每石价一两五钱
　　按右例于带分之外更有石数不齐须用乘除故其法颇繁宜依所问列左右二行左分子一乘右分母又乘右石数得一百零八为左用银数左不足三乘右石数得三十六为左不足数右亦如之然后再用互乘庶无淆乱之患　按用银数互乘两不足得数即以为米价实〈不用两石数相乘之数除也〉以用银数之较为法除之却再以十石除之则得十二石之总价以十二石除之则得十石之总价
　　又按用银数既互乘两不足得数再与乘得数互换乘之相减以两石数相乘之数除之又以两分子相乘之数除之以为银实其法亦通然知之则可用之则迂矣〈右一条新増〉
　　又如谷不知数取三分之一卖银八两不足一石取九分之四卖银十两适足问总谷㡬何每银一两直榖㡬何法如前先以分子互乘分母及两数以为出榖数以适足之两数乘不足数以为不足数然后以不足数以两分母相乘之数乘之为谷实以适足之出谷数乘不足数以两两数相乘之数除之为银直实俱以出谷数之较为法除之得总谷四十五石每银一两之直谷二石
　　按右例既得总谷石数但取适足银数以原母乘之原子除之即得总谷所直之银而银一两所直之谷可知矣此法最捷〈右一条新订〉
　　又按此章诸例皆可以借征法求之别著一条于第十二篇中馀可反隅而得也
　　九章录要卷九

　　钦定四库全书
　　九章录要卷十
　　松江屠文漪撰
　　方程法
　　古九章八曰方程以御错揉正负
　　二色方程例　假如绫五匹纱八匹共价银二十四两又绫七匹纱四匹共价二十二两八钱问绫纱每匹价各㡬何法依所问列左右二行以绫五互乘绫七纱四及价所得数各注于其下〈绫得三十五纱得二十价得一百一十四〉亦以绫七互乘绫五纱八及价注所得数如前〈绫得三十五纱得五十六价得一百六十八〉两绫数相对减尽两纱数减馀〈三十六〉为法两价数减馀〈五十四〉为实以法除实得纱每匹价一两五钱乃就一行中以纱匹数乘价减共价馀以绫匹数除之得绫每匹价二两四钱
　　按右例若以纱互乘即先得绫价于法皆通以后各例仿此
　　又按例以绫互乘则两绫所得数必相对减尽矣立法之意正欲使两绫数等而后价数之不齐由于纱数之不齐显然可推也然既知此义则以后凡同物相乘如绫之比者直可省之故概不赘书惟于右一条具文见义云
　　又如七钗九钿共重九两四钱钗重钿轻于中互换其一则轻重适等问钗钿各重㡬何法依所问钗钿互换其一以六钗一钿一钗八钿左右对列而中分其总重之数系之两行如前求之得一钗之重七钱一钿之重五钱
　　二色方程兼正负例　假如卖米七石买麦三石米家得银九两六钱又卖米三石买麦九石米家出银三两六钱问米麦每石价各㡬何法以米为正麦为负米家所得之价为正米家所出之价为负列左右两行如前若以米互乘麦及价者〈麦负九得六十三价负得二十五两二钱麦负三得九价正得二十八两八钱〉而麦数减馀〈五十四〉为法两价数相并〈五十四〉为实以法除实得麦每石价一两乃以麦负九石乘价减负价馀以米三石除之或以麦负三石乘价并正价以米七石除之得米每石价一两八钱按负有背负之义谓正之反也亦有负欠之义此
　　例从米家卖米言之故卖米为正买麦为负米家所得之价为正所出之价为负若从麦家言者反是其并减之法此以两正及两负同名者相减一正一负异名者相并自互乘得数及已得一物之价而以其物数乘价与原正负价并减求第二物之价皆然
　　二色正负反用并减例　凡互乘所得数固以两正两负同名相减一正一负异名相并为常法而亦有反用之者假如卖米五石麦五石得银一十四两卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各㡬何此若以米互乘麦与价〈米系两正同名〉则两米相乘所得数自必相对减尽不待乘而可知矣两麦两价俱系正负异名其乘得数固宜相并如常法也〈麦正得二十麦负得三十五并得五十五价正得五十六价负得一十并得六十六〉若以麦互乘米与价〈麦系正负异名〉则两麦相乘所得数乃须相并殊非立法之意故变通其法反以两麦相减而两米俱正同名反相并〈米五得三十五米四得二十并得五十五〉两价正负异名亦反相减〈价正得九十八价负得一十减得八十八〉此其义何也卖米买麦而出银犹之买米卖麦而得银然则正可变为负负可变为正今不变其正负之名但变其并减之法此法之变生乎常而常变不殊其用者也且非特此也同名相减取其数之齐者以相比例而其馀之不齐可得而推故同减而异必并异名相减取其数之齐者以相偿补而其馀之不齐亦可得而推故异减而同必并此法之变反乎常而常变各成其用者也依法求之得米每石价一两六钱麦每石价一两二钱自三色正负以上凡互乘所得数则两法并用若已得一物之价而以其物数乘价与原正负价相并减求第二物之价者只依常法不在变通之例
　　按右所论同减异并异减同并明其所以然之故益见法之当然而不可易矣乃既经并减后所得之数谓之正乎谓之负乎此在二色方程但取其数为法实以相除犹不必深辨也若三色以上而不分正负后更与他数相并减其道何由故特剖而论之曰凡并减虽两行相对要以一行为主如以正并者〈为主之行系正也〉得数仍为正以负并者得数仍为负也以正减者减而有馀〈为主之行有馀也〉则为正减而不足则为负以负减者减而有馀则为负减而不足则为正也此一定之理断不容混耳更有为主之行无数而借相对之行所有数虚立于本行以为数者或遇应借而不知借或借而概称为负则非矣夫数岂可借盖实非借也试思两正相减而此少彼多犹谓之负则此无彼有得不谓之负乎〈两负相减亦然〉又试思以正并负而此有正数犹取彼负以益之则此无正数得不取彼负以实之乎〈以负并正亦然〉故借正为负借负为正凡以同名互乘相减者固宜如是也若以异名互乘则亦当借正为正借负为负此皆自然之理施之于算无往不合者其要则曰同减异借异减同借两言而已每见算家之书于已经并减之数及应借之数处之茫然莫能致辨于是误在毫厘失之千里纵复强为牵合究且于率难通则方程之法或㡬乎废矣兹因论并减异同而并畅其说然后以三色四色方程著例于左览者当如观火而自五色以上直可推之至于无穷也〈右一条新订〉
　　三色方程例　假如绫五匹纱三匹䌷五匹共价二十二两五钱又绫四匹纱二匹䌷七匹共价二十一两又绫八匹纱六匹䌷九匹共价三十九两问三物每匹价各㡬何法依所问列左右中三行乃以左行中行绫互乘纱䌷及价又以右行中行绫互乘纱䌷及价所得数各注于其下次以中行左行相减且如左行为主〈或以中行为主亦可〉减得纱正八䌷负二十价负一十二注左行之旁又以中行右行相减且如右行为主减得纱正二䌷负一十五价负一十五注右行之旁〈图式具后其左右中三行上中三层俱可互换耳〉






　　两旁所注数即是二色方程再依二色法求之得䌷每匹价一两二钱纱每匹一两五钱二价既得绫价易见每匹二两四钱〈按右例原数无正负因相减而有正负也若左例原数已兼正负则别为一条　又按方程章惟右一例不可用借徴法馀并可以借徴求之而条缕多者方程为便〉
　　三色方程兼正负例　假如绫五匹换纱三匹绫家得银七两五钱又绫四匹换纱二匹䌷七匹绫家出银一两八钱又绫八匹换䌷九匹绫家得银八两四钱问三物每匹价各㡬何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘馀物及价各注所得数空者阙之〈依后图以上乘下为便故第一层三行俱实而空位则在下诸层也〉次以中行左行相并减且如左行为主借得纱正一十六减得䌷正二十并得价正四十八又以中行右行相并减且如右行为主减得纱负二借得䌷正三十五并得价正三十九注于两旁






　　再以二色方程法求之〈物价同前例右一条新增〉
　　三色方程兼正负又例〈前法止于三色而已此法则四色五色所从出也〉　假如依前例绫正五纱负三价正七两五钱绫正四纱负二䌷负七价负一两八钱绫正八䌷负九价正八两四钱求各物价法列三行如后图式〈惟第一行第三层第三行第二层可虗可实馀必如图〉专以第三行为主先以第三行纱互乘第一行绫䌷及价以第一行纱互乘第三行绫及价各注所得数乃以第三行与第一行相并减借得䌷正二十一减得绫负二并得价正二十两零四钱次以第三行借䌷互乘第二行绫及价以第二行䌷互乘第三行绫及价〈就第一行互乘相并减之数而乘之非乘原数也〉各注所得数乃以第三行与第二行相并减减得绫正一百五十为法并得价正三百六十两为实以法除实得绫每匹价以次求各价





　　又如行程顾骡一匹马一匹共价钱七百又顾马二匹驴一匹共价八百四十又顾骡一匹驴三匹共价七百问三物每匹顾値各㡬何法列三行如前以第三行与第一行互乘乃相并减借得马负一驴无并减只用乘得之数价减尽不存次与第二行互乘第三行价已尽无乘阙之乃相并减并得驴正七为法借得价正八百四十为实以法除实得驴每匹价一百二十以次求各价驴每匹三百四十马每匹三百六十




　　按此例三物及价俱正而云正负者三物中缺其一是乃所谓负也算家就物强分正负则谬之甚者又如依前所问更置其位先求一骡之力




　　又更置其位先求一马之力〈此例算家误甚故反复以明之〉




　　〈右一条三式俱新订〉
　　四色方程兼正负例〈四色五色以上皆与三色一法聊著此以见例云〉假如绫二匹纱七匹共价一十五两三钱又纱　匹绢三匹共价九两又绢五匹䌷五匹共价一十一两又䌷四匹绫三匹共价一十二两问四物每匹价各㡬何法列四行如后图式乃依前法以第四行为主先与第一行互乘而并减之次第二行次第三行最后减得䌷负一百五十五为法价负一百八十六为实以法除实得䌷每匹价一两二钱馀价次第求之绫每匹二两四钱纱每匹一两五钱绢每匹一两






　　按自三色方程以上凡前诸行所有之物为末行所无者互乘后即借其乘得之数下层之价亦然如末行无价与第一行互乘而借其数或第一行亦无价则待至二三行互乘后有数而借之也若有数而减尽即彼此俱无数当于次行互乘后借之其末行所有之物为前诸行所无者无可并减末行只用互乘所得之数下层之价亦然〈右一条新订〉















　　九章录要卷十
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>

　　钦定四库全书
　　九章录要卷十一之一
　　松江屠文漪撰
　　句股法
　　古九章九曰句股以御髙深广逺
　　广曰句
　　修曰股
　　斜径曰
　　句股相减之差数曰句股较
　　句相减之差数曰句较
　　股相减之差数曰股较
　　与句股较相减之差数曰较较　〈句较和　股和较〉与句股和相减之差数曰和较　〈句较较　股较较〉
　　句股相并之通数曰句股和
　　句相并之通数曰句和
　　股相并之通数曰股和
　　与句股较相并之通数曰较和　〈句和较　股较和〉
　　与句股和相并之通数曰和和　〈句和和　股和和〉
　　句股求　法并句股实得实开方　又法并句股较实句股和实半之亦得实
　　句求股　法以句实减实得股实开方　又法以句较乘句和亦得股实
　　股求句　法以股实减实得句实开方　又法以股较乘股和亦得句实
　　句与股较求股　法以较除句实得股和〈和减较半之得股和并较半之得馀仿此〉　又法以句实减较实倍较而除之得股〈股并较得〉　又法以句实并较实倍较而除之得〈减较得股〉
　　股与句较求句　法以较除股实得句和　又法以股实减较实倍较而除之得句　又法以股实并较实倍较而除之得
　　句与股和求股　法以和除句实得股较　又法以句实减和实倍和而除之得股〈股减和得〉　又法以句实并和实倍和而除之得〈减和得股〉
　　股与句和求句　法以和除股实得句较　又法以股实减和实倍和而除之得句　又法以股实并和实倍和而除之得
　　句与较较求股　法以句减较较得股较股与较较求句　法以股并较较得句和句与和较求股　法以句减和较得股较股与和较求句　法以股减和较得句较句与较和求股　法以句并较和得股和股与较和求句　法以股减较和得句较句与和和求股　法以句减和和得股和股与和和求句　法以股减和和得句和与句股较求句股　法倍实减较实开方得句股和
　　与句股和求句股　法倍实减和实开方得句股较
　　句较股较求句股　法以两较相乘倍之开方得和较并股较得句并句较得股并两较得减句股和亦得
　　句和股和求句股　法以两和相乘倍之开方得和和减股和得句减句和得股减两和得减句股和亦得
　　句和股较求句股　法以和较相乘倍之开方得较较减股较得句减句和得股减一较一和得并句股较亦得
　　句较股和求句股　法以较和相乘倍之开方得较和减股和得句减句较得股减一和一较得减句股较亦得〈右二条新增〉
　　较较和较求句股　法以两较相减半之得股较相并半之得句　又法以两较相乘为实以两较相减为法除之得股并两较实半之以两较相减为法除之得
　　较和和和求句股　法以两和相并半之得股和相减半之得句　又法以两和相乘为实以两和相并为法除之得股并两和实半之以两和相并为法除之得
　　和较较和求句股　法以较和相减半之得句较相并半之得股　又法以较和相乘为实以较和相减为法除之得句并较和实半之以较和相减为法除之得
　　较较和和求句股　法以较和相并半之得句和相减半之得股　又法以较和相乘为实以较和相并为法除之得句并较和实半之以较和相并为法除之得〈右四条新增〉
　　较较较和求句股　法以较和相减半之得句股较相并半之得
　　和较和和求句股　法以较和相并半之得句股和相减半之得
　　句股求积法以句股相乘半之得积
　　〈后凡称积者皆指此其云句股矩者则句股相乘之幂乃少广章所称之积指长方积而言者也〉
　　与句股较求积　法以实减较实以四除之与句股和求积　法以实减和实以四除之积句求股　法倍积以句除之
　　积股求句　法倍积以股除之
　　积求句股　法以四乘积减实开方得句股较并实开方得句股和
　　积与句股较求句股　法以八乘积并较实开方得句股和以四乘积并较实开方得
　　积与句股和求句股　法以八乘积减和实开方得句股较以四乘积减和实开方得
　　〈右二则或倍积以少广章纵方法求句股亦得〉
　　积与较较求句股　法以四乘积以较较除之得较和
　　积与较和求句股　法以四乘积以较和除之得较较
　　积与和较求句股　法以四乘积以和较除之得和和
　　积与和和求句股　法以四乘积以和和除之得和较〈右四条新增〉
　　句股求容方　法以句股相乘以句股和除之得容方边
　　馀句馀股求容方求句股　法以馀句馀股相乘开方得容方边并馀句得句并馀股得股
　　容方与馀句求馀股与馀股求馀句　法以方自乘以馀句除之得馀股以馀股除之得馀句
　　容方与句求股与股求句法以句减容方得馀句乃以句乘容方以馀句除之得股以股减容方得馀股乃以股乘容方以馀股除之得句〈右一条新增〉
　　〈按句股容方有法而容长方无法者容方大小有一定之形容长方则无定形故也然长方之幂亦必等于馀句馀股相乘之幂而可以长方与馀句求馀股与馀股求馀句盖测望诸法多本于此若以馀句馀股求长方则必知其长乃可求广知其广乃可求长不然即难求矣又长方形在句股之中有纵有横设以长广并馀句股为句股减句股为馀句股及与句求股与股求句则非知其纵横不可假如句十股六十与句十四股五十六内容长方广八长十二馀句二馀股四十八皆同但有纵横之异耳〉
　　馀句与股馀股与句求容方　法以馀句乘股为实以馀句为带纵开平方除之得容方〈馀句乘股之积犹句乘容方之积故以馀句为较而用长方积与较求广法也〉以馀股乘句为实以馀股为带纵开平方除之亦得容方〈义与上同〉
　　两馀句与股求离股容方　前例容方其方一边切句一边切股一角切此则切句与而一边乃离股者也离股处有内馀句切处有外馀句法以外馀句乘股为实并两馀句为带纵开平方除之得容方按容方若更离句者如前以外馀句乘股为实并
　　两馀句为带纵又以离句数为旁带纵用双带纵开平方除之得容方　又按右例虽称离股称馀句然使句股互换者亦即以法互换而用之无异理也
　　句上容方〈方形半在句内半在句外而句当其中也股上容方仿此〉　法以句股相乘以股与半句和除之得方边
　　股上容方　法以句股相乘以句与半股和除之〈按句股容长方无法者以长方大小无一定之形若半方则有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上则纵横已见而凡容方与句股馀句股互求诸法皆可变通而用之　右二条新增〉
　　句股求容员　法以句股相乘倍之以和和除之得容员径〈即和较也〉
　　句外容员〈员在句外而从股直望之皆当员边也〉　法以句股相乘倍之以较和除之〈即较较也〉
　　股外容员　法以句股相乘倍之以较较除之〈即较和也〉
　　外容员　法以句股相乘倍之以和较除之〈即和和也〉
　　句上容员〈句当员径之中也〉　法以句股相乘倍之以股和除之
　　股上容员　法以句股相乘倍之以句和除之上容员　法以句股相乘倍之以句股和除之句股上容员〈句股角当员之中央也〉　法以句股相乘倍之以除之
　　句外容半员〈从股直望之当员径从直望之当员边也〉　法以句股相乘倍之以句较除之
　　股外容半员　法以句股相乘倍之以股较除之两句中夹容员〈于一股为大小二句而员在其间也〉　法以两句相乘倍之以两句和除之
　　两股中夹容员　法以两股相乘倍之以两股和除之两中夹容员　法以两相乘倍之以两较除之句与股率句和率求股〈如句三股四五则股得句和二之一是为股率一句和率二也〉　法以二率相乘为股准二率各自乘相减半之为句准相并半之为凖乃以句乘股准以句准除之得股以句乘准以句准除之得
　　股与句率股和率求句　法以二率相乘为句准二率各自乘相减半之为股准相并半之为准乃以股乘句准以股准除之得句以股乘准以股准除之得　假如与股率句和率及与句率股和率求句股则如右二例求各准乃以乘句准以准除之得句以乘股准以准除之得股
　　容方与股率句和率求句股与句率股和率求句股　法如右二例求各准乃以句准乘容方边以股准除之得馀句并容方边得句以股准乘容方边以句准除之得馀股并容方边得股〈右三条新订〉
　　句股比例用法　木长九尺围之三尺葛生其下围木四周上与木齐问葛长法以木长为句四周三尺相乘一十二尺为股句股求得一十五尺为葛长
　　又例　员木径二尺五寸当中为板厚七寸问板两面广法以木径为板厚为句句求股得二尺四寸为板广
　　又例员木不知其径锯深一寸锯道长一尺问木径法以锯道为句锯深倍之为股较〈一面锯深一寸若两面即深二寸故倍之〉句与股较求得二尺六寸为木径
　　又例　木不知髙索不知长木梢垂索委地二尺引索斜去离木八尺乃适到地问木髙与索长法以离木为句委地为股较句与股较求股得一十五尺为木高一十七尺为索长
　　又例户不知髙广竿不知长短持竿出户横之不出四尺竖之不出二尺斜之适出问户髙广与竿长法以横之不出为句较竖之不出为股较二较求句股得六尺为户广八尺为户髙十尺为竿长
　　又例　人不知数相与分帛帛总七百六十八匹每人分得帛数多于人数八问㡬人各分帛㡬匹法以帛总数为积分帛多于人数为句股较积与句股较求句股得二十四为人数三十二为各分帛数〈句股积乃句股相乘数之半故用八乘此只当用四乘〉
　　又例　方城不知大小四面正中开门东门外百歩有木出南门二百二十五歩斜见木问城方法以东门外为馀句南门外为馀股馀句馀股求容方得一百五十歩倍之为城方〈所求容方止城方之半故倍之也〉
　　又例　方城不知大小东北角直北八十歩有木从东南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜见木问城方法以直北为外馀句直南为内馀句西行为股两馀句与股求离股容方得二百五十歩为城方〈此已是城之全方故不用倍〉
　　又例　城方七百二十歩马歩二卒同发城中央率马行二里歩行一里令歩卒直南行马卒直东行又折而西南直行抹过城东南角与歩卒㑹问歩卒南行歩㡬何马卒东行西南行歩各㡬何法以南行为股东行为句西南行为歩行率为股率马行率为句和率城方之半为容方容方与股率句和率求句股得八百四十为歩卒南行歩六百三十为马卒东行歩一千零五十为马卒西南行歩













　　九章录要卷十一之一

　　钦定四库全书
　　九章录要卷十一之二
　　松江屠文漪撰
　　句股图说
　　句股及诸较和更互相求法已备载于前而其所以然之故非图说不显兹首列周髀三圗而取后人圗说删其繁复补其缺漏正其迂曲辑为一篇若容员非恒用之要术可得略云
　　周髀句股员方图








<子部,天文算法类,算书之属,九章录要,卷十一之二>
　　句股相求　左右圗幂中有句股二幂之实故句股三者举两数则其一可知也
　　句股较句股和积相求　圗外大方为句股和幂中有句股之积八句股较幂之实一〈黄实是也〉幂中有句股之积四句股较幂之实一故句股较句股和积四者举两数则其馀可知
　　句与股较求股　句实以股较为广股和为长〈谓在幂内股幂外者若股实则以句较为广句和为长也〉观左右图可见而后圗更显




　　全圗为幂内分一股幂即其馀皆为句实而黄实固股较幂也青实之广亦股较也则句实以股较为广审矣两青一黄三实并其内之长兼两股其外之长兼两法应并而半之则句实以股和为长又审矣故以较除之得和也若于三实内减黄实而半之则得一青实而其长为股于三实外更加一黄实而半之则得一青一黄两实并而其长为故句实较实相减倍较除之得股相并倍较除之得也倍较除犹之半其实也股与句较求句仿此不复为圗〈右圗说新订〉
　　句与股和求股　前以股较除句实得股和则以和除必得较即前圗可推矣而句实和实相并减以求句则非后圗不明




　　全图为股和幂于中四隅各分一股幂即中央黄实为股较幂青实之广皆股较而就一隅论之以一股幂旁加两青实一黄实之磬折形合而成一幂夫幂兼句股二幂者也可知两青一黄三实并固与一句幂之实等也且三实并作磬折形与并作长方形无以异则句实以股较为广股和为长审矣故以和除之得较也若于全圗幂内减两青实一黄实而半之则得两股幂一青实之长方形而其广为股于全图幂外更加两青实一黄实而半之则得两股幂三青实一黄实之长方形而其广为故句实和实相减倍和除之得股相并倍和除之得也倍和除犹之半其实也股与句和求句仿此〈右圗说新订〉
　　句较股较求和较　两较相乘之幂二当和较之幂一各为图以相比则明







　　此图以股和为广倍句和为长而于广边截二股分之则黄实朱实之广皆股较于长边截四句分之则黄实之长青实之广皆句较而黄实固两较相乘之幂且有二也总计全圗中有句股矩八朱实青实各四黄实二夫句股矩并朱实成句矩并青实成股矩然则此圗中并得句矩股矩各四而存黄实为两较相乘之幂者二也乃以第二圗参之




　　此圗为和和幂于其内分句矩股矩各四两纵两横列四隅即中央黄实为和较幂也夫此图大幂与第一圗大幂形异而实同则以此句矩股矩各四与第一图相当而此一黄实当第一圗两黄实无疑矣然何以见右两圗大幂之异形同实更以第三圗参之






　　此圗亦和和幂而纵横俱截一句一一股分之则一幂旁加一句股矩一句矩一股矩合为长方形固句和股和相乘之幂〈句和为广股和为长是两和相乘之幂也〉而当第一图半幂也长方形之外亦有句股矩句矩股矩各一又句幂股幂并之成幂一是亦一句和股和相乘之幂而当第一圗半幂也故知第一第二两圗大幂异形同实也〈右三圗并说新易〉
　　句和股和求和和　两和相乘之幂二当和和之幂一观前两较求和较第三圗已明不复赘〈右旧有圗说新删〉
　　句和股较求较较　一和一较相乘之幂二当较较之幂一




　　全圗为句和幂于中分一股幂一句幂则黄实之边青实朱实之广皆股较股较乘句和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且股减句和即较较〈原以一句一并今减股则句尽而内且减一句股较矣存者宜为较较也〉则两朱实一黄实一句幂并固较较之幂矣而两青实一黄实一股幂并乃成幂则两青实一黄实并又与句幂等而可代较较幂中之句幂矣故知较较幂亦得两青实两朱实两黄实也〈右图说新增〉
　　句较股和求较和　一较一和相乘之幂二当较和之幂一





　　全图为股和幂于中分一句幂一股幂则黄实之边青实朱实之广皆句较句较乘股和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且句减股和即较和〈原以一股一并今以句减股犹馀句股之较并入故为较和也〉则两朱实一黄实一股幂并固较和之幂矣而两青实一黄实一句幂并乃成幂则两青实一黄实并又与股幂等而可代较和幂中之股幂矣故知较和幂亦得两青实两朱实两黄实也〈右图说新増〉
　　句股求容方



　　句股和与容方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也容方既四边等试以容方外馀句言之馀句为小句而方边固小股也然则大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其幂宜等也又试以容方外馀股言之馀股为小股而方边固小句也然则大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其幂又宜等也故以句股和除句股矩得容方边也〈右图说新订〉
　　容方馀句馀股相求



　　全图为句股矩幂于中斜界一平分为两幂原无小异也然则两朱两青实各自相当而馀句馀股相乘之幂为长方黄实者不得不等于方黄实矣故容方馀句馀股可互求也〈右图说新订〉
　　容方与句求股



　　馀句与股相乘之幂犹容方邉与句相乘之幂何也馀句小句也方邉小股也以小句乘大股以小股乘大句其幂宜等也故以句乘容方以馀句除之得股也〈容方与股求句仿此　右图说新増〉又试以前三色之实言之黄与黄朱与朱青与青既皆等则长方黄实并两朱实与方黄实并两朱实亦宜等也长方黄实并两青实与方黄实并两青实亦宜等也故容方可与句求股与股求句也
　　句上容方



　　股及半句和与方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也方形半在句内则馀句为小句半方边为小股而若以方边为小股即馀句止为小句之半然则大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其幂宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方仿此不复为图〈右图说新增〉
　　九章录要卷十一之二

　　钦定四库全书
　　九章录要卷十一之三
　　松江屠文漪撰
　　句股测望法
　　句股法所以施之测望而髙深广逺所求不同且古人以表后人以矩其法亦小异也别详于左
　　表测髙　城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却后距表五尺望城头与表末齐人目髙四尺问城髙一率　五〈人足距表尺数　按若先知髙欲求逺者一二率互换而以城髙〉二率　六〈表减目髙尺数　减表为三率〉
　　三率　二十五〈表距城趾尺数〉
　　四率　三十〈求得尺数加表十尺得城髙〉
　　表式髙者约长十尺或八尺短者约长四尺或三尺其制薄而方广二寸厚半之首平体直二面中心界墨就墨路垂线以权镇之免令欹侧表趺凿空寸许铁趾实之以便竖立测髙则用髙表测深与广逺则用短表若测极逺立身髙处并用髙表至于人目至足尺寸不一且平视仰窥杪分辄移目足前后亦多难定酌用一身表约髙四尺其表端立一窥筒如荻管大长五六寸以竹与五金为之缀于表端设机仰俯目测更确
　　表测深　井不知深〈谓水面以上至井口非谓水深也〉量井径五尺以三尺表立井沿从表末俯望与下对面水际相参直人目入井径四寸问井深
　　一率　四〈目入井径寸数〉
　　二率　三十〈表髙寸数〉
　　三率　四十六〈井径减目入寸数〉
　　四率　三百四十五〈井深寸数〉
　　表测逺　江不知阔就江沿立表髙三尺八寸却后一丈六尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问江阔
　　一率　二〈人目减表寸数〉
　　二率　一百六十〈人足距表寸数〉
　　三率　三十八〈表髙寸数〉
　　四率　三千零四十〈江阔寸数〉
　　又如大湖不知阔㡬何里湖濵有石壁直髙六十五丈即边壁立表髙三尺八寸却后二丈五尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问湖阔
　　一率　二〈人目减表寸数〉
　　二率　二百五十〈人足距表寸数〉
　　三率　六千五百三十八〈壁表相并寸数〉
　　四率　八十一万七千二百五十〈湖阔寸数以里法三百六十歩歩法
　　五尺通之得四十五里一白四十五歩〉
　　两表测广　城墙不知东西之广于城东北隅直北四十歩立东表于东表正西三十歩立西表乃从东表直北行二歩望西表与城西北角相参直问城广一率　二〈人足距东表歩数〉
　　二率　三十〈两表相距歩数〉
　　三率　四十〈东表距城歩数〉
　　四率　六百〈求得歩数加两表间三十歩得广〉
　　四表测逺　山不知逺近指山趾一石或楼阁树木为标乃立左两表前后相距十二歩与所指标相参直次从左两表平行向右立右两表三面表间相距各十二歩却从右后表平行向右望右前表与所指标相参直人立处距右后表二尺问山石距前表逺一率　五之二〈立处距右后表尺数化为歩数〉二率　十二〈右两表间歩数　按右例四表中间正方或作长方形亦可〉三率　十二前〈两表间歩数　耳〉
　　四率　三百六十〈石逺歩数〉
　　按右诸例皆句股容方及容长方以馀句求馀股法亦以小句股比类求大句股也以下各例其理大略皆同惟重测为稍异耳
　　四表测逺又法　山不知逺指山趾一石测之先立甲表从甲表望山石为大股次于甲表之右〈或左亦同〉任意逺近立乙表甲乙表间为大句〈句股之角须令正方下小句股同〉次于乙表之右后任意逺近立丙表与乙表及山石相参直乙丙表间为小句又于丙表之右前立丁表与甲乙表相参直丙丁表间为小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩问山石去甲表逺
　　一率　三〈小句歩数〉
　　二率　二十四〈小股歩数〉
　　三率　四十〈大句歩数〉
　　四率　三百二十〈石逺歩数〉
　　两表重测广逺　方城隔水不知城东西广㡬何及去城多逺遥对城东北隅之直北立东表于东表正西四十歩立西表齐人目处以索连之乃从东表直北行去表十七歩遥望城西北隅入索东端十歩又直北行去表七十二歩遥望城西北隅与西表相参合问城广及去表逺法先求景差
　　一率　四十〈东西表相距歩数〉
　　二率　七十二〈后北行距表歩数〉
　　三率　一十〈入索歩数〉
　　四率　一十八〈景差歩数〉
　　次求城广
　　一率　一〈前北行距表减景差馀歩数〉
　　二率　三十〈东西表相距减入索馀歩数〉
　　三率　一十七〈前北行距表歩数〉
　　四率　五伯一十〈求得歩数加表间四十歩得城广〉次求城逺
　　一率　一〈同上〉
　　二率　五十四〈后北行距表减景差馀歩数〉
　　三率　一十七〈同上〉
　　四率　九伯一十八〈城逺歩数〉
　　重表测高逺　海中有岛不知高逺立二表各髙一丈二尺前后参直相距一百六十歩从前表退行六十九歩三尺望岛峰与前表端齐又从后表退行七十歩望岛峰与后表端齐人目高三尺问岛高
　　一率　二〈前后退行距表歩数相减馀尺数〉
　　二率　九〈表减人目髙尺数〉
　　三率　八百〈前后表相距歩数化为尺数〉
　　四率　三千六百〈求得尺数加表十二尺得岛高〉次求岛去前表逺
　　一率　二〈同上　按例若以后退行距表歩数为三率即得岛去后表逺也〉二率　八百〈同上〉
　　三率　三百四十八〈前退行距表歩数化为尺数〉四率　一十三万九千二百〈岛逺尺数〉
　　按右例与前两表测广逺其理本同前两表间横索以测广此竖表以测髙无以异也但前两表横索只如一表而距表或近或逺以再测之此用前后表两测之其法小异耳然前例若于前两表之北相距五十四歩更立后两表横索如前而北行距东后表十八歩望城西北隅亦当入索十歩则置东西表间四十歩不算竟以入索十歩为准而前北行十七歩后北行十八歩前后表间五十四歩与右例全无异矣所求景差即是移表向后通其意者法皆一贯也
　　矩测髙　城不知髙距城趾二丈四尺以矩测之目窥通光与城头相参直权线在直景八度人目高四尺问城高
　　一率　八〈直景度　按矩测与表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互换而以〉二率　十二〈矩度　城髙减目为三率也〉
　　三率　二十四〈距城尺〉数
　　四率　三十六〈求得尺〉数〈加目高四尺得城髙〉又如墙不知髙距墙址三丈如法测之权线在倒景八度人目髙四尺问墙高
　　一率　十二〈矩度〉
　　二率　八〈倒景度〉
　　三率　三十〈距墙尺数〉
　　四率　二十〈求得尺数加目高四尺得墙髙〉
　　矩式以铜版或坚木为四角正方形与楸枰相似甲角乙角立两耳各通一窍名曰通光以便窥望若不设两耳即立相等两小表或安一通光之管皆可甲角为矩极系线任其下垂以权镇之甲角至丙角斜界一墨路分矩面为两乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱从边起望矩极斜行毎度或更分为三分五分至十二分愈细则法愈宻矣用时甲昻乙低测髙目切乙角测深与逺目切甲角窥通光与所测物相参直任权线下垂値何度以算推之




　　共矩用手持未免动摇又目足游移不易审定宜制一表髙四尺或五尺置矩其上转动以机至测广别是一法以矩平置之若向南测物身在东偏则令通光与东角相参直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取准亦难宜更立一短表斜向前数尺与西角参直然后引矩极之线属之表端视线切何度方为精审　直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之两窍若权线适在两景中间是为句股平分即各物在地之景皆与其物之高等若在直景度则景必较短在倒景度则景必较长此二景之义也〈假如在直景四度为矩度三之一则凡物景皆当其物三之　在倒景四度则凡物皆当其景三之一故可量物景以测其髙亦可从物髙以测其景量景测髙略同前测髙例从髙测景略同后测逺例〉今以矩向所求物测望者则亦可前却其歩使权线适在两景中间既句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别两景算之如当以直景度为一率矩度为二率而遇倒景则以矩度为一率倒景度为二率也〈亦可变倒景为直景而仍为一率然不如一二率易位之便〉其当以倒景度为一率者仿此更有重测之术以前后测所値景度之较为一率而使当直得倒当倒得直则必须变倒为直或变直为倒其变之法以矩度自乘为实以所値度为法除之即得变度如倒景三度以矩度自乘得一百四十四为实以三为法除之得四十八为直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一为直景度也变直为倒亦如之
　　矩测深　井不知深量井径五尺以矩测之目窥通光与近身井沿及对面水际相参直权线在直景三度问井深
　　一率　三〈直景度〉
　　二率　十二〈矩度〉
　　三率　五〈井径尺数〉
　　四率　二十〈井深尺数〉
　　又如池不知深已知池径二丈四尺如法测之权线在倒景七度问池深
　　一率　十二〈矩度〉
　　二率　七〈倒景度〉
　　三率　二十四〈池径尺数〉
　　四率　一十四〈池深尺数〉
　　矩测逺　溪不知阔溪岸直髙八尺人立岸边以矩测之通光与对岸水际相参直权线在倒景三度人目髙四尺问溪阔
　　一率　三〈倒景度〉
　　二率　十二〈矩度〉
　　三率　十二〈人目溪岸并尺数〉
　　四率　四十八〈溪阔尺数〉
　　矩测广　城墙不知东西之广于城东北角直北相距三十歩以矩测之通光与城东北角相参直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一问城广
　　一率　六〈倒景度通为分数〉
　　二率　六十〈矩度通为分数〉
　　三率　三十〈距城歩数〉
　　四率　三百〈城广歩数〉
　　重矩测髙逺　山不知髙逺以矩测之通光与山顶相参直权线在倒景九度却后直行距前测处八十歩如前测之权线在倒景八度人目髙四尺问山高一率　二〈两倒度俱变直度相减馀度数〉
　　二率　十二〈矩度〉
　　三率　四百〈两测处相距歩数化为尺数〉
　　四率　二千四百〈求得尺数加目四尺得山髙〉次求山去前测处逺
　　一率　二〈同上〉
　　二率　四百〈同上〉
　　三率　十六〈前测倒度变为直度〉
　　四率　三千二百〈山逺尺数〉
　　按重矩测广逺者依前测广法而重之遇直景皆变为倒景其列率则与重表测髙逺同盖横为广竖为髙一理也知此可以通彼不复为例
　　重矩测深逺　石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺㡬何及石壁直下至水面㡬何深者边壁竖木木旁垂绳以取端直乃于石上附木用矩测之令通光与垂绳相并斜望对岸水际入矩倒景四度五分度之二却升髙去前测处一丈如前测之入倒景四度五分度之四问水逺
　　一率　二〈两倒景相减馀分数〉
　　二率　六十〈矩度通为分数〉
　　三率　一十〈两测处相去尺数〉
　　四率　三百〈水逺尺数〉
　　次求前测处至水面深
　　一率　二〈同上〉
　　二率　一十〈同上〉
　　三率　二十二〈前测倒度通为分数〉
　　四率　一百一十〈壁深尺数〉
　　按此乃以测广法测逺以测逺法测深也法无多端特用有变化耳〈右一条新订〉
　　半矩尺测逺　溪不知阔就溪沿立表髙五尺以矩尺缀表端矩角与表端齐从矩角望矩外端与对岸水际相参直乃回望矩内端所指处平地去表四寸问溪阔
　　一率　四〈尺指处距表寸〉数
　　二率　五十〈表高寸数〉
　　三率　五十〈同前〉
　　四率　六百二十五〈溪阔寸数〉
　　按半矩尺若于两端俱画分寸以测高深广逺亦与矩度及表相类而不如矩表之便故略而不论此特取其简易者附矩表之后云更有水景测高法置盂水〈或用镜亦同〉稍推移之令人目见所测物景正当水之中心乃以人目至足为小股人足至水心为小句水心距所测物之趾为大句以求大股又有日景测髙法量所测物景别立短表量其景乃以表高为小股表景为小句物景为大句以求大股二法若遇逺峰遥岛既不免于技穷而且目取水心之景则分寸易差日当阴晦之时则测量恐废俱非通术吾无取焉











　　九章录要卷十一之三

　　钦定四库全书
　　九章录要卷十二
　　松江屠文漪撰
　　借徴法
　　衰分盈朒方程之外更有借徴之法盖借衰原于衰分叠借原于盈朒而触类通之可以穷难知之数此九章法外之巧也故以次九章之后
　　借衰互徴　借衰者本无正衰而借立虚数为衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦从其便假如商贩不知其母初往获息当母十之三以并入母再往获息当母五之三以并入母又往折阅四之一又往获倍息〈母一子亦一也〉以并入母又往折阅六之一亦不知实在总银㡬何只云更须银十两即所获子银为原母数者二问原母及总银其法任意借一数为原母且如原母十两如前计之当得总银二十六两若论母一子二则不足四两以四两之原母及总银推之而不足十两者可知也
　　一率　四〈借衰不足两数〉
　　二率　十〈借衰原母两数〉　二十六〈借衰总银两数〉
　　三率　十〈所问不足两数〉
　　四率　二十五〈所问原母两数〉六十五〈所问总银两数〉
　　又如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各㡬只试借大小各六为船衰计总载兵一千四百五十名以一千四百五十名所须之船推之而四千三百五十名所用船可知也
　　一率　一千四百五十〈借衰兵数〉
　　二率　六〈借衰船数〉
　　三率　四千三百五十〈所问兵数〉
　　四率　一十八〈所问船载〉
　　按右例用借衰法较之衰分章用互乘者倍捷〈右一条新增〉
　　又如漏壶注水三时而满泄水八时而尽问且注且泄㡬时满一壶即借十二时推之凡注四壶泄一壶半相减得二壶半
　　一率　二壶又二分壶之一
　　二率　十二时
　　三率　一壶
　　四率　四时又五分时之四
　　又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满㡬何亦借十二时推之注泄相减得二壶半
　　一率　十二时
　　二率　二壶又二分壶之一
　　三率　五时又三分时之一
　　四率　一壶又九分壶之一
　　又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母㡬何即任意借一数算之且如借银二两加三度倍息得一十六两为用银之衰于十六两内减母二两馀十四两为母银之衰
　　一率　十六两
　　二率　十四两
　　三率　三百两
　　四率　二百六十二两五钱
　　右例说见衰分章参观自解其意也〈若四度五度而尽者即加四度五度倍息如法算之　以上四条并已见衰分章〉
　　叠借互徴盈数最难知则两借虚数以徴之盖仿佛盈朒之法然原数初无盈朒而盈朒生于借数乃因其盈朒推求真数立法尤为奇巧假如米每石价二两麦一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各㡬何试借米三十石用价六十两则麦一十石当用价一十六两计价总七十六两以比原总盈二两列左又借米十五石用价三十两则麦二十五石当用价四十两计价总七十两以比原总不足四两列右盈不足相并为法米麦各以所借石数及所借用价数左右互乘盈不足数相并以法除之即各得所求正数若两盈两不足者为法之数及互乘得数皆相减〈与盈朒章同〉
　　右例借衰或据价原总数算之而以总石数较原总以得盈朒如法乘除亦合
　　又如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫多于罗每匹六钱罗多于绢每匹八钱问三物各价㡬何试借二两为绫价一两四钱为罗价六钱为绢价计价总六百两比原总不足二百列左又借三两为绫价二两四钱为罗价一两六钱为绢价计价总一千一百两比原总盈三百列右三物各以所借价数互乘盈不足数如前法求之即各得正价又如赏军每马兵五名给䌷三匹每歩兵四名给布六匹总马歩共八千一百名给䌷布共九千匹问马歩各㡬何䌷布各㡬何试借马兵四千给䌷二千四百则歩兵四千一百应给布六千一百五十计总䌷布八千八百五十比原总不足四百五十列左又借马兵五千给䌷三千则歩兵三千一百应给布四千六百五十计总䌷布七千六百五十比原总不足一千三百五十列右马歩䌷布各以所借数互乘两不足数如法求之即各得正数右例借衰或据䌷布原总数算之而以马歩总数较原总以得盈朒如法乘除皆合〈右一条新増〉
　　又如大船四橹四小船二橹八今但见总作橹一百张二百零八张问大小船各㡬何试借大船二十橹八十小船一十橹二十则大船桨八十小船桨八十总一百六十比原总不足四十八列左又借大船十五橹六十小船二十橹四十则大船桨六十小船一百六十总二百二十比原总盈十二列右大小船及大小船橹桨各以所借数互乘盈不足数如法求之即各得正数〈右一条新增〉
　　右例借衰或据桨原总数算之而以橹总数较原总得盈朒如法乘除亦同
　　又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母㡬何即借三百为母三度后当用六百固盈三百列左又借二百五十为母三度后止应用二百又不足一百列右乃以借母互乘盈不足数如法求之得原母〈右一条新增〉右例已见借衰互徴既可单借而得则不须叠借矣举此以见法之无穷耳凡单借可得者亦可叠借而得若须叠借而得者往往非单借所能得也〈以上五条并已见衰分章〉
　　又如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须㡬日法先推乙匠十八日所成为四十五日内五分之二则甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之当成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之当成十五分之十三则全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足数如法求之得甲日〈右一条已见商功章〉
　　又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须㡬日追及法以先发日减较日知二日半追上一日半则一日追上五分日之三也因借二十日推之当追上五分日之六十减较日二分日之二十三为盈二之一列左又借十五日推之当追上五分日之四十五比较日不足二之五列右乃以借日互乘盈不足数如法求之得追及日
　　又如空车日行七十里若载重即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺㡬何试借五十里推之重行三日则空行七分日之十五而五日减三日馀二日止七分日之十四为盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半则重行十分日之二十一而五日减一日半馀三日半固十分日之三十五为不足十之十四列右乃以借日互乘盈不足数如法求之得路逺〈右二条已见均输章俱新增〉
　　又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各㡬何试借二十七两为银总数内以三之一九两买十石不足三两则米价当为一两二钱而以九之四一十二两买十二石不足二两四钱比原数不足四钱列左又借五十四两为银总数内以三之一一十八两买十石不足三两则米价当为二两一钱而以九之四二十四两买十二石不足一两二钱比原数盈八钱列右银总数与三之一九之四及米价各以所借数互乘盈不足数如法求之即各得正数右例或据九分之四算之而以三分之一较原不足数以得盈朒如法乘除亦同〈右一条已见盈朒章新增〉
　　又如卖米五石麦五石得银一十四两又卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各㡬何试借二两为米价八钱为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二两四钱比原数盈四两四钱列左又借一两八钱为米价一两为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二钱比原数盈二两二钱列右米麦价各以所借数互乘两盈数如法求之即各得正数　右例或据卖米买麦数算之而以总卖价较原价以得盈朒如法乘除亦同〈右一条已见方程章新增〉
　　又如甲乙银各不知数别有银八十两以与甲则甲为乙数者三以与乙则乙为甲数者二问原数各㡬何试借四十为甲数加八十得一百二十而以其三之一四十为乙数加八十得一百二十则倍甲外盈四十列左又借七十为甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十为乙数加八十得一百三十则欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借数及所借又加八十之数互乘盈不足数如法求之即各得所问数〈甲原六十四乙原四十八〉
　　又如甲乙银不知数乙以十六两与甲则乙当甲三之一甲以二十四两与乙则甲当乙七之五问各实数㡬何试借二十九两为甲数〈减二十四与乙则馀五故借此数且得乙十六成四十五又为三倍乙之地也〉又得乙十六两则成四十五两而乙居三之一应是一十五两并未与甲十六两共三十一两为乙数又得甲二十四两则成五十五两乃甲减二十四止馀五两论甲五乙七乙止应七两固盈四十八两列左再借四十四两为甲数〈以二十四与乙则馀二十为五数者四又得十六成六十为三倍乙之地也〉又得乙十六两则成六十两而乙居三之一应是二十两并未与甲十六两共三十六两为乙数又得甲二十四两则成六十两乃甲减二十四止馀二十两论甲五乙七乙止应二十八两亦盈三十二两列右甲乙各以所借数及所借加减得失之数互乘两盈数如法求之即各得所问数〈甲原七十四乙原四十六〉
　　又如出师有中上下三军中军四万上军为中下二军二分之一下军为中上二军三分之一问上下军各㡬何试借三万为上军则中下二军应六万而下军止应二万若为中上三分之一中上止应六万而实七万固盈一万列左又借二万四千为上军则中下二军应四万八千而下军止应八千若为中上三分之一中上止应二万四千而实六万四千又盈四万列右上军下军中上二军中下二军各以所借数互乘两盈数如法求之即各得正数〈上军三万二千下军二万四千〉又如甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两问各原母㡬何试借一百两为甲母内减四之一二十五两与丙应存七十五两又赢乙二之一而为七百两是得乙六百二十五两而乙母当为一千二百五十两内既减二之一应存六百二十五两又赢丙三之一而为七百两是得丙七十五两而丙母应为二百二十五两内既减三之一应存一百五十两加入得甲二十五两共一百七十五两欲满七百则不足五百二十五列左又借二百两为甲母内减四之一五十两与丙应存一百五十两又赢乙二之一而为七百两是得乙五百五十两而乙母应为一千一百两内既减二之一应存五百五十两又赢丙三之一而为七百两是得丙一百五十两而丙母应为四百五十两内既减三之一应存三百两加入得甲五十两共三百五十两欲满七百亦不足三百五十列右甲乙丙各以所借母数及所借加减得失之数互乘两不足数如法求之即各得所问数〈甲母四百乙母八百丙母九百〉又如甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四问各原数㡬何此因三数牵连难析必以前法再三推求而得之先借一为甲衰甲加七十三当兼乙丙而倍之因以减半得三十七为乙丙数而乙丙又衰分焉且如借二为乙数则丙系三十五矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合数三十六若乙欲为甲丙数者三〈应一百零八〉固不足三十三列左〈只列乙二丙三十五及不足三十三其甲衰且置之下仿此〉又借五为乙数则丙系三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合数三十三若乙欲为甲丙数者三〈应九十九〉亦不足二十一列右乙丙各以所借数互乘两不足数如法求之得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借三为甲衰加七十三以其半三十八为乙而数而乙丙又衰分之为法如前焉即借二为乙数则丙系三十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合数三十九若乙欲为甲丙数者三〈应一百一十七〉固不足四十二列左又借二十为乙数则丙系一十八矣乃以乙二十加七十三得九十三而甲丙合数二十一若乙欲为甲丙数者三〈应六十三〉又盈三十列右乙丙各以所借数互乘盈不足数如法求之得乙衰一十二零二之一丙衰二十五零二之一于是更以前所借甲衰一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三别为图列左而以后所借甲衰三所得乙衰一十二零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所问察之左甲衰及所加已得为乙丙数者二乙衰及所加〈八十三又四之一〉亦得为甲丙数者三〈甲丙共二十七又四之三〉惟丙衰及所加共得九十九零四之三而甲乙合数一十一零四之一若丙欲为甲乙数者四〈应四十五〉则盈五十四零四之三随列于左又审右甲衰及所加已得为乙丙数者二乙衰及所加〈八十五又二之一〉亦得为甲丙数者三〈甲丙共二十八又二之一〉惟丙衰及所加共得九十八零二之一而甲乙合数一十五零二之一若丙欲为甲乙数者四〈应六十二〉亦盈三十六零二之一随列于右甲乙丙各以衰互乘两盈数如法求之得七为甲数一十七为乙数二十三为丙数















　　九章录要卷十二
<子部,术数类,数学之属,太玄经>