元史/卷057 中华文库

步交会术

交终分，一十四万二千三百一十九，秒九千三百六，微二十。

交终日，二十七，馀一千一百九，秒九千三百六，微二十。

交中日，一十三，馀三千一百六十九，秒四千六百五十三，微一十。

交朔日，二，馀一千六百六十五，秒六百九十三，微八十。

交望日，一十四，馀四千二，秒五千。

秒母，一万。

微母，一百。

交终度，三百六十三，分七十九，秒三十六。

交中度，一百八十一，分八十九，秒六十八。

交象度，九十，分九十四，秒八十四。

半交象度，四十五，分四十七，秒四十二。

日食既前限，二千四百。定法，二百四十八。

日食既后限，三千一百。定法，三百二十。

月〔食〕限，^[1]五千一百。

月食既限，一千七百。定法，三百四十。

分秒母，皆一百。

求朔望入交〈先置里差，半之，如九而一，所得依其加减天正朔积分，然后求之。〉

置天正朔积分，以交终分去之，不尽，如日法而一，为日，不满为馀，即得天正十一月中朔入交汎日及馀秒。〈便为中朔加时入交汎日及馀。〉交朔加之，得次朔；交望加之，得望；再加交望，亦得次朔；各为朔望入交汎日及馀秒。〈凡称馀秒者，微亦从之，馀仿此。〉

求定朔及每日夜半入交

各置入交汎日及馀秒，减去中朔望小馀，即为定朔望夜半入交汎日及馀秒。若定朔望有进退者，亦进退交日，否则因中为定，大月加二日，小月加一日，馀皆〔加〕四千一百二十，^[2]秒六百九十三，微八十，即次朔夜半入交；累加一日，满交终日及馀秒，去之，即每日夜半入交汎日及馀秒。

求定朔望加时入交

置中朔望加时入交汎日及馀秒，以入气入转朓朒定数朓减朒加之，即得定朔望加时入交汎日及馀秒。

求定朔望加时入交积度及阴阳历

置定朔望加时入交汎日，以日法通之，内馀进二位，如三万九千一百二十一而一，为度，不满，退除为分秒，即得定朔望加时月行入交积度；以定朔望加时入转迟疾度迟减疾加之，即为月行入（定交）〔交定〕积度；^[3]如交中度以下，为入阳历积度，以上，去之，为入阴历积度。〈每日夜半准此求之。〉

求月去黄道度

视月入阴阳历积度及分，交象以下，为少象；以上，覆减交中，馀为老象。置所入老少象度于上位，列交象〔度〕于下，^[4]相减，相乘，倍之，退位为分，分满百为度，用减所入老少象度及分；馀，又与交中度相减、相乘，八因之，以一百一十除之，为分，分满百为度，即得月去黄道度及分。

求朔望加时入交常日及定日

置朔望入交汎日，以入气朓朒定数朓减朒加，为入交常日。又置入转朓朒定数，进一位，以一百二十七而一，所得，朓减朒加交常日，为入交定日及馀秒。

求入交阴阳历交前后分

视入交定日，如交中以下，为阳历；以上，去之，为阴历。如一日上下，以日法通日内分，内馀为交后分；十三日上下，覆减交中日，馀为交前分。

求日月食甚定馀

置朔望入气入转朓朒定数，同名相从，异名相消，以一千三百三十七乘之，以定朔望加时入转算外转定分除之，所得，以朓减朒加中朔望小馀，为汎馀。日食，视汎馀，如半法以下，为中前，半法以上，去之，为中后。置中前后分，与半法相减、相乘，倍之，万约为分，曰时差。中前以时差减汎馀，为定馀；覆减半法，馀为午前分；中后以时差加汎馀，为定馀；减去半法，馀为午后分。月食，视汎馀，在日入后夜半前，如日法四分之三以下，减去半法，为酉前分；四分之三以上，覆减日法，馀为酉后分。又视汎馀，在夜半后日出前者，如日法四分之一以下，为卯（酉）〔前〕分；^[5]四分之一以上，覆减半法，馀为卯后分。其卯酉前后分，自相乘，四因，退位，万约为分，以加汎馀，为定馀。各置定馀，以发敛加时法求之，即得日月食甚辰刻及分秒。

求日月食甚日行积度

置定朔望食甚大小馀，^[6]与中朔〔望〕大小馀相减之，^[7]馀以加减中朔望入气日馀，〈以中朔望少加多减。〉即为食甚入气；以加其气中积，为食甚中积。又置食甚入气馀，以所入气〔日〕损益率〈盈缩之损益。〉乘之，^[8]如日法而一，以损益其日盈缩积，盈加缩减食甚中积，即为食甚日行积度及分。先以食甚中积经分为约分，然后加减之，馀类此者，依而求之。

求气差

置日食食甚日行积度及分，满中限去之，馀在象限以下，为初限；以上，覆减中限，为末限；皆〔自〕相乘，^[9]进二位，以四百七十八而一，所得，用减一千七百四十四，馀为气差恒数；以午前后分乘之，半昼分除之，所得，以减恒数，为定数。〈如不及减者，覆减为定数，应加者减之，应减者加之。〉春分后，阳历减阴历加；秋分后，阳历加阴历减。〈春分前秋分后，各二日二千一百分为定气，于此宜加减之。〉

求刻差

置日食食甚日行积度及分，满中限去之，馀与中限相减、相乘，进二位，如四百七十八而一，所得，为刻差恒数；以午前后分乘之，日法四分之一除，所得，为定数。〈若在恒数以上者，倍恒数，以所得之数减之，为定数，依其加减。〉冬至后，午前阳加阴减，午后阳减阴加；夏至后，午前阳减阴加，午后阳加阴减。

求日食去交前后定分

置气刻二差定数，同名相从，异名相消，为食差；依其加减〔去〕交前后分，为去交前后定分。^[10]视其前后定分，如在阳历，即不食；如在阴历，即有食之。如交前阴历不及减，反减之，反减食差。为交后阳历；交后阴历不及减，反减之，为交前阳历；即不食。交前阳历不及减，反减之，为交后阴历；交后阳历不及减，反减之，为交前阴历；即日有食之。

求日食分

视去交前后定分，如二千四百以下，为既前分；以二百四十八除，为大分；二千四百以上，覆减五千五百，〈不足减者不食。〉为既后分；以三百二十除，为大分，〔不尽〕，退〔除〕为秒。^[11]〈其一分以下者，涉交太浅，太阳光盛，或不见食。〉

求月食分

视去交前后分，〈不用气刻差者。〉一千七百以下者，食既；以上，覆减五千一百，〈不足减者不食。〉馀以三百四十除之，为大分；不尽，退除为秒，即月食之分秒。去交分在既限以下，覆减既限，亦以三百四十除之，为既内之大分。

求日食定用分

置日食之大分，与三十分相减、相乘，又以二千四百五十乘之，如定朔入转算外转定分而一，所得，为定用分；减定馀，为初亏分；加定馀，为复圆分；各以发敛加时法求之，即得日食三限辰刻也。

求月食定用分

置月食之大分，与三十五分相减、相乘，又以二千一百乘之，如定望入转算外转定分而一，所得，为定用分；加减定馀，为初亏复圆分。各如发敛加时法求之，即得月食三限辰刻。

月食既者，以既内大分，以一十五分相减相乘，又以四千二百乘之，如定望入转算外转定分而一，所得为既内分；用减定用分，为既外分。置月食定馀，减定用分，为初亏分；因加既外分，为食既分；又加既内分，为食甚分；〈即定馀分是也。〉再加既内分，为生光分；复加既外分，为复圆分。各以发敛加时法求之，即得月食五限辰刻及分。〈如月食既者，以十分并既内大分，如其法而求其定用分也。〉

求月食所入更点

置食甚所入日晨分，倍之，五约之，为更法；又五约之，为点法。乃置月食初末诸分，昏分以上者，减昏分；晨分以下者，加晨分；如不满更法，为初更；不满点法，为一点。依法以次求之，即得更点之数。

求日食所起

食在既前，初起西南，甚于正南，复于东南。食在既后，初起西北，甚于正北，复于东北。其食八分以上者，皆起正西，复正东。〈此据正午地而论之。〉

求月食所起

月在阳历，初起东北，甚于正北，复于西北。月在阴历，初起东南，甚于正南，复于西南。其食八分以上，皆起正东，复正西。〈此亦据正午地而论之。〉

求日月出入带食所见分数

各以食甚小馀，与日出入分相减，馀为带食差；以乘所食之分，满定用分而一，〈月食既者，以既内分减带食差，馀乘所食分，如既外分而一，不及减者，为带食既出入。〉以减所食分，即日月出入带食所见之分。〈其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退；食甚在夜，晨为已退，昏为渐进也。〉

求日月食甚宿次

置日月食甚日行积度，〈望即更加望度。〉以天正冬至加时黄道日度加而命之，依黄道宿次去之，即各得日月食甚宿度及分秒。

步五星术

木星

周率，二百八万六千一百四十二，秒九。

历率，二千二百六十五万五百五十七。

历度法，六万二千一十四。

周日，三百九十八日八十八分。

历度，三百六十五度二十四分九十秒。

历中，一百八十二度六十二分四十五秒。

历策，一十五度二十一分八十七秒。

伏见，一十三度。

火星

周率，四百七万九千四十二，秒一十四半。

历率，三百五十九万二千七百五十七，秒四十四少。

历度法，九千八百三十六半。

周日，七百七十九日九十三分一十六秒。

历度，三百六十五度二十四分七十五秒。

历中，一百八十二度六十二分三十七秒半。

历策，一十五度二十一分八十六秒。

伏见，一十九度。

土星

周率，一百九十七万七千四百一十一，秒六十九。

历率，五千六百二十二万三千二百四十八半。

历度法，一十五万三千九百二十八。

周日，三百七十八日九分二秒。

历度，三百六十五度二十五分六十八秒。

历中，一百八十二度六十二分八十四秒。

历策，一十五度二十一分九十秒。

伏见，一十七度。

金星

周率，三百五万三千八百四，秒六十三太。

历率，一百九十一万二百四十，秒七十六半。

历度法，五千二百三十。

周日，五百八十三日九十分一十四秒。

合日，二百九十一日九十五分七秒。

历度，三百六十五度二十四分六十八秒。

历中，一百八十二度六十二分三十四秒。

历策，一十五度二十一分八十六秒。

伏见，一十度半。

水星

周率，六十万六千三十一，秒七十七半。

历率，一百九十一万二百四十二，秒一十三半。

历度法，五千二百三十。

周日，一百一十五日八十七分六十秒。

合日，五十七日九十三分八十秒。

历度，三百六十五度二十四分七十秒。

历中，一百八十二度六十二分三十五秒。

历策，一十五度二十一分八十五秒。

晨伏夕见，一十四度。

夕伏晨见，一十九度。

求五星天正冬至后平合及诸段中积中星

置通积分，先以里差加减之。各以其星周率去之，不尽，为前合分；覆减周率，馀为后合分；如日法而一，不满，退除为分秒，即得其星天正冬至后平合中积中星。〈命为日，日中积；命为度，日中星。〉以段日累加中积，即为诸段中积；以平度累加中星，经退则减之，即为〔诸〕段中星。^[22]

求五星平合及诸段入历

置通积分，各加其星后合分，以历率去之，不尽，各以其历度法除为度，不满，退除为分秒，即为其星平合入历度及分秒；以诸段限度累加之，即得诸段入历度及分秒。

求五星平合及诸段盈缩定差

各置其星段入历度及分秒，如在历中以下，为盈；以上，（为）减去历中，^[23]馀为缩。以其星历策除之，为策数；不尽，为入策度及分。命〔策〕数算外，^[24]以其策损益率乘之，如历策而一，为分，以损益其下盈缩积度，即为其星段〔盈〕缩定差。^[25]

求五星平合及诸段定积

各置其星段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即得其段定积日及分；加天正冬至大馀及约分，满纪法，去之，不满，命壬戌算外，即得日辰也。

求五星平合及诸段所在月日

各置其段定积，^[26]以加天正闰日及约分，以朔策及约分除之，为月数；不尽，为入月以来日数及分。其月数，命天正十一月算外，即得其段入月中朔日数及分；乃以日辰相距，为所在定朔月日。

求五星平合及诸段加时定星

各置中星，以盈缩定差盈加缩减，〈金星倍之，水星三之，然后加减。〉即为五星诸段定星；以加天正冬至加时黄道日度，依宿次命之，即其（日）〔星〕其段加时所在宿度及分秒。^[27]

求五星诸段初日晨前夜半定星

各以其段初行率，乘其段定积日下加时分，百约之，乃顺减（即）〔退〕加其日加时定星，^[28]即其段初日晨前夜半定星所在宿度及分秒。

求诸段日率度率

各以其段日辰，距后段日辰为日率。以其段夜半宿次，与后段夜半宿次相减，馀为度率。

求诸段平行分

各置其段度率及分秒，以其段日率除之，即得其段平行度及分秒。

求诸段总差及日差

本段前后平行分相减，为其段汎差；〈假令求木星次疾汎差，乃以顺疾顺迟平行分相减，馀为次疾汎差，他皆仿此。〉倍而退位，为增减差；加减其〔段〕平行分，^[29]为初末日行分；〈前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。〉倍增减差，为总差；以日率减一除之，为日差。

求前后伏迟退段增减差

前伏者，置后段初日行分，加其日差之半，为末日行分；后伏者，置前段末日行分，加其日差之半，为初日行分；以减伏段平行分，馀为增减差。前迟者，置前段末日行分，倍其日差减之，为初日行分；后迟者，置后段初日行分，倍其日差减之，为末日行分；以迟段平行分减之，馀为增减差。前后近留迟段。木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，为增减差。金星，前后伏退者，三因平行分，半而退位，为增减差。前退者，置后段初日之行分，以其日差减之，为末日行分。后退者，置前段末日之行分，以其日差减之，为初日行分；以本段平行分减之，馀为增减差。水星，〔半〕平行分为增减差，^[30]皆以增减差加减平行分，为初末日行分。〈前多后少，加初减末；前少后多，减初加末。〉又倍增减差为总差，以日率减一，除之，为日差。

求每日晨前夜半星行宿次

各置其段初日行分，以日差累损益之，〈后少则损之，后多则益之。〉为每日行度及分秒；乃顺加退减之，满宿次去之，即得每日晨前夜半星行宿次。〈视前段末日后段初日行分相较之数，不过一二日差为妙；或多日差数倍，或颠倒不伦，当类同前后增减差稍损益之，使其有伦，然后用之。或前后平行分俱多俱少，则平注之；或总差之秒不盈一分，亦平注之；若有不伦而平注得伦者，亦平注之。〉

求五星平合及见伏入气

置定积，以气策及约分除之，为气数；不满，为入气日及分秒；命天正冬至算外，即得所求平合及见伏入气日及分秒。

求五星平合及见伏行差

各以其段初日星行分与太阳行分相减，馀为行差。若金在退行、水在退合者，相并为行差。如水星夕伏晨见者，直以太阳行分为行差。

求五星定合及见伏汎积

木火土三星，各以平合晨疾夕伏定积，为定合定见定伏汎积。金水二星，置其段盈缩定差，水星倍之。各以行差除之，为日，不满，退除为分秒；若在平合夕见晨伏者，盈减缩加；如在退合夕伏晨见，盈加缩减；皆以加减定积为定合定见定伏汎积。

求五星定合定积定星

木火土三星，各以平合行差除其日太阳盈缩差，为距合差日；以太阳盈缩差减之，为距合差度；日在盈（缩）〔历〕，以差日差度减之；^[31]在缩历，加之；加减其星定合汎积，为定合定积定星。金水二星，顺合退合，各以平合退合行差，除其日太阳盈缩差，为距合差日；顺加退减太阳盈缩差，为距合差度；顺在盈历，以差日差度加之；在缩历，减之；退在盈历，以差日减之，差度加之；在缩历，以差日加之，差度减之；皆以加减其定星定合再定合汎积，为定合再定合定积定星；以冬〔至〕大馀及约分加定积，^[32]满纪法，去之，命得定合日辰；以冬至加时黄道日度加定星，满宿次，去之，即得定合所在宿次。〈其顺退所在盈缩，即太阳盈缩。〉

求木火土三星定见伏定日

各置其星定见伏汎积，晨加夕减象限日及分秒；半中限为象限。如中限以下，自相乘；以上，覆减岁周日及分秒，馀亦自相乘，满七十五而一，所得，以其星伏见度乘之，一十五除之，为差。其差，如其段行差而一，为日，不满，退除为分秒；见加伏减汎积，为定积；加命如前，即得日辰。

求金水二星定见伏定日

各以伏见日行差，除其日太阳盈缩差，为日。若晨伏夕见，日在盈历，加之；在缩历，减之；如夕伏晨见，日在盈历，减之，在缩历，加之；加减其星汎积，为常积。视常积，如中限以下，为冬至后；以上，去之，馀为夏至后。其二至后，如象限以下，自相乘；以上，覆减中限，馀亦自相乘；各如法而一〔为分〕，^[33]〈冬至后晨，夏至后夕，以一十八为法；冬至后夕，夏至后晨，以七十五为法。〉以伏见度乘之，一十五除之，为差。其差，满行差而一，为日，不满，退除为分秒；加减常积，为定积；〈冬至后，晨见夕伏，加之；夕见晨伏，减之。夏至后，晨见夕伏，减之；夕见晨伏，加之。〉加命如前，即得定见伏日辰。

其水星，夕疾在大暑气初日至立冬气九日三十五分以下者，不见；晨留在大寒气初日至立夏气九日三十五分以下者，不见。春不晨见，秋不夕见者，亦旧历有之。

1. ↑ 月〔食〕限　据上下文及金大明历补。
2. ↑ 馀皆〔加〕四千一百二十　据宋纪元历、金大明历补。
3. ↑ 即为月行入（定交）〔交定〕积度　据上下文及宋纪元历、金大明历改正。
4. ↑ 列交象〔度〕于下　据上文及宋纪元历、金大明历补。
5. ↑ 为卯（酉）〔前〕分　北监本与上下文及金大明历合，从改。
6. ↑ 置〔定〕朔望食甚大小馀　据金大明历补。
7. ↑ 与中朔〔望〕大小馀相减之　据上下文及宋纪元历、金大明历补。
8. ↑ 以所入气〔日〕损益率〈盈缩之损益〉乘之　据宋纪元历、金大明历补。
9. ↑ 皆〔自〕相乘　据宋纪元历、金大明历补。
10. ↑ 依其加减〔去〕交前后分为去交前后定分　据上下文与金大明历补。
11. ↑ 为大分〔不尽〕退〔除〕为秒　据宋纪元历、金大明历补。
12. ↑ （四）〔五〕度〈一十四〉　此系盈积度数，乃该策前各策盈损益率累加减〈益加损减〉之积。宋纪元历、金大明历与验算合，据改。以下算法同。
13. ↑ 七十（二）〔一〕　按本历五星段目表伏、顺各段数字系袭用宋纪元历各数，惟初行率秒数七十以上进位，以下舍除。但实际运算时，仍用纪元历原数。顺行之时以本段初行率加下段初行率，半之，乘段日，得平度。如晨顺疾初行率在纪元历为七十一分三十六秒，下段晨次疾初行率为七十分二十四秒，相加，半之，乘六十三日，得平度四十四度六十分。故晨顺疾之初行率舍去秒数，当为七十一。金大明历与验算合，据改。以下算法同。
14. ↑ 一十〔一〕度〈六十〉　宋纪元历、金大明历与验算合，据补。
15. ↑ 一十九度〈〔六十〕〉　此系缩积度数，乃该策前各策缩损益率累加减〈益加损减〉之积。殿本与宋纪元历、金大明历及验算合，从补。以下算法同。
16. ↑ 一十〔一〕度〈六十〉　宋纪元历、金大明历与验算合，据补。
17. ↑ （四）〔二〕度〈四十八〉　宋纪元历、金大明历与验算合，据改。
18. ↑ 八度〈二十（二）〉　宋纪元历、金大明历与验算合，据删。
19. ↑ 二十三度〈七十（二）〔三〕〉　宋纪元历、金大明历与验算合，据改。
20. ↑ 四十九度〈七十（六）〔五〕〉四十七度〈七十（五）〔六〕〉　金大明历与验算合，据改。
21. ↑ 益四十（八）〔一半〕　殿本与宋纪元历、金大明历及验算合，从改。
22. ↑ 即为〔诸〕段中星　据本段标题与金大明历补。
23. ↑ 以上（为）减去历中　据宋纪元历、金大明历删。
24. ↑ 命〔策〕数算外　据上文与宋纪元历、金大明历补。
25. ↑ 即为其星段〔盈〕缩定差　殿本与本段标题及宋纪元历、金大明历合，从补。
26. ↑ 各置其〔段〕定积　据上下文及宋纪元历、金大明历补。
27. ↑ 即其（日）〔星〕其段加时所在宿度及分秒　据本段标题、宋纪元历、金大明历及本书卷五五授时历经改。
28. ↑ 乃顺减（即）〔退〕加其日加时定星　殿本与宋纪元历、金大明历及授时历经合，从改。
29. ↑ 加减其〔段〕平行分　据宋纪元历、金大明历及授时历经补。
30. ↑ 〔半〕平行分为增减差　据金大明历及授时历经补。
31. ↑ 日在盈（缩）〔历〕以差日差度减之　据金大明历及授时历经改。
32. ↑ 以冬〔至〕大馀及约分加定积　殿本与宋纪元历、金大明历及授时历经合，从补。
33. ↑ 各如法而一〔为分〕　据宋纪元历、金大明历及授时历经补。