律吕精义/内篇卷二 中华文库

内篇卷二

○不取围径皆同第五之上

旧律围径皆同，而新律各不同。《礼记》《注疏》曰“凡律空围九分”，《月令章句》曰“围数无增减”，及《隋志》安丰王等说，皆不足取也，故著此论。论曰：琴瑟不独徽柱之有远近，而弦亦有巨细焉；笙竽不独管孔之有高低，而簧亦有厚薄焉。弦之巨细，若一但以徽柱远近别之，不可也；簧之厚薄，若一但以管孔高低别之，不可也。譬诸律管，虽有修短之不齐，亦有广狭之不等。先儒以为，长短虽异，围径皆同，此未达之论也。今若不信，以竹或笔管制黄锺之律一样二枚，截其一枚，分作两段；全律半律，各令一人吹之，声必不相合矣，此昭然可验也。又制大吕之律一样二枚，周、径与黄锺同，截其一枚，分作两段；全律半律，各令一人吹之，则亦不相合。而大吕半律，乃与黄锺全律相合，略差不远。是知所谓半律者，皆下全律一律矣。大抵管长则气隘，隘则虽长而反清；管短则气宽，宽则虽短而反浊。此自然之理，先儒未达也。要之，长短广狭皆有一定之理，一定之数在焉。置黄锺倍律九而一，以为外周，用弦求句股术得其内周。又置倍律四十而一，以为内径，用句股求弦术得其外径。盖律管两端形如环田，有内外周、径焉。外周内容之方，即内径也；内周外射之斜，即外径也。方圆相容，天地之象，理数之妙者也。黄锺通长八十一分者，外周九分，是为八十一中之九，即约分法九分中之一也。若约黄锺八十一分作为九寸，则其外周当云一寸。旧以九十分为黄锺，而云空围九分者，误也。况又穿凿，指为面幂九方分，则误益甚矣。方圆相容，有图如左。

新法密率算术：周、径、幂、积相求。

周求径者，置周全数，九因，四十除之，所得自乘，倍之为实，开平方法除之，得径。径求周者，置径全数，自乘，半之为实，开平方法除之，所得四十乘之，九归，得周。周求积者，置周全数，九因，四十除之，所得自乘，倍之为实；径求积者，置径全数，自乘为实：二项各又自乘，以一百乘之，一百六十二除之，所得为实，阴平方法除之，得积。积求周、径者，置积全数，自乘，所得以一百六十二乘之，一百除之为实，开平方法除之，所得副置之：其一折半为实，开平方法除之，所得四十乘之，九归，得周；其一不须折半，但以开平方法除之，得径。所谓积者，面幂平圆积也。以其通长乘之，各得其实积也。

旧法平圆周、径、积互相求，但系围三径一术者，皆疏舛不可用；惟周、径相乘，四归得积，及半周半径相乘得积，二者可用。先求三十六律通常真数

黄锺倍律通长二尺，容黍二合，称重二两，律度量衡无非倍者。此自然全数也，故算法皆从倍律起。若夫正律于度虽足，于量于衡则皆不足，只容半合，只重半两，比诸倍律似非自然全数。故算法不从正律起，亦不从半律起。倍律、正律、半律，各有十二，共为三十六律。

置黄锺倍律通长二尺为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六微二纤，为大吕。

置大吕倍律通长一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四微三纤，为太蔟。

置太蔟倍律通长一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八微三纤，为夹锺。

置夹锺倍律通长一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纤，为姑洗。置姑洗倍律通长一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纤，为仲吕。

置仲吕倍律通长一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤，为蕤宾。置蕤宾倍律通长一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八微五纤，为林锺。

置林锺倍律通长一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺二寸五分九厘九毫二丝一忽○四纤，为夷则。

置夷则倍律通长一尺二寸五分九厘九毫二丝一忽○四纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤，为南吕。置南吕倍律通长一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纤，为无射。置无射倍律通长一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纤，为应锺。置应锺倍律通长一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺，为黄锺。

置黄锺正律通长一尺为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤，为大吕。

置大吕正律通长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得八寸九分○八毫九丝八忽七微一纤，为太蔟。

置太蔟正律通长八寸九分○八毫九丝八忽七微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤，为夹锺。

置夹锺正律通长八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得七寸九分三厘七毫○○五微二纤，为姑洗。

置姑洗正律通长七寸九分三厘七毫○○五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纤，为仲吕。

置仲吕正律通长七寸四分九厘一毫五丝三忽五微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得七寸○七厘一毫○六忽七微八纤，为蕤宾。

置蕤宾正律通长七寸○七厘一毫○六忽七微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纤，为林锺。

置林锺正律通长六寸六分七厘四毫一丝九忽九微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得六寸二分九厘九毫六丝○五微二纤，为夷则。

置夷则正律通长六寸二分九厘九毫六丝○五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸九分四厘六毫○三忽五微五纤，为南吕。

置南吕正律通长五寸九分四厘六毫○三忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸六分一厘二毫三丝一忽○二纤，为无射。

置无射正律通长五寸六分一厘二毫三丝一忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纤，为应锺。

置应锺正律通长五寸二分九厘七毫三丝一忽五微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得五寸，为黄锺。

置黄锺半律通长五寸为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸七分一厘九毫三丝七忽一微五纤，为大吕。

置大吕半律通长四寸七分一厘九毫三丝七忽一微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸四分五厘四毫四丝九忽三微五纤，为太蔟。

置太蔟半律通长四寸四分五厘四毫四丝九忽三微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸二分○四毫四丝八忽二微○，为夹锺。

置夹锺半律通长四寸二分○四毫四丝八忽二微○为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸九分六厘八毫五丝○二微六纤，为姑洗。

置姑洗半律通长三寸九分六厘八毫五丝○二微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸七分四厘五毫七丝六忽七微六纤，为仲吕。

置仲吕半律通长三寸七分四厘五毫七丝六忽七微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸五分三厘五毫五丝三忽三微九纤，为蕤宾。

置蕤宾半律通长三寸五分三厘五毫五丝三忽三微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸三分三厘七毫○九忽九微六纤，为林锺。

置林锺半律通长三寸三分三厘七毫○九忽九微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得三寸一分四厘九毫八丝○二微六纤，为夷则。

置夷则半律通长三寸一分四厘九毫八丝○二微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得二寸九分七厘三毫○一忽七微七纤，为南吕。

置南吕半律通长二寸九分七厘三毫○一忽七微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得二寸八分○六毫一线五忽五微一纤，为无射。

置无射半律通长二寸八分○六毫一丝五忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之，得二寸六分四厘八毫六丝五忽七微七纤，为应锺。

次求三十六律外周真数

先置黄锺倍律通长二尺为实，九归得二寸二分二厘二毫二丝二忽二微二纤为其外周。就置所得为实，依后项乘除之。

置黄锺倍律外周二寸二分二厘二毫二丝二忽二微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二寸一分五厘八毫九丝五忽九微八纤，为大吕。

置大吕倍律外周二寸一分五厘八毫九丝五忽九微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二寸○九厘七毫四丝九忽八微四纤，为太蔟。

置太蔟倍律外周二寸○九厘七毫四丝九忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二寸○三厘七毫七丝八忽六微七纤，为夹锺。

置夹锺倍律外周二寸○三厘七毫七丝八忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸九分七厘九毫七丝七忽四微九纤，为姑洗。

置姑洗倍律外周一寸九分七厘九毫七丝七忽四微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸九分二厘三毫四丝一忽四微五纤，为仲吕。

置仲吕倍律外周一寸九分二厘三毫四丝一忽四微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸八分六厘八毫六丝五忽八微七纤，为蕤宾。

置蕤宾倍律外周一寸八分六厘八毫六丝五忽八微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸八分一厘五毫四丝六忽一微六纤，为林锺。

置林锺倍律外周一寸八分一厘五毫四丝六忽一微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸七分六厘三毫七丝七忽八微九纤，为夷则。

置夷则倍律外周一寸七分六厘三毫七丝七忽八微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸七分一厘三毫五丝六忽七微五纤，为南吕。

置南吕倍律外周一寸七分一厘三毫五丝六忽七微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸六分六厘四毫七丝八忽五微六纤，为无射。

置无射倍律外周一寸六分六厘四毫七丝八忽五微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸六分一厘七毫三丝九忽二微四纤，为应锺。

置应锺倍律外周一寸六分一厘七毫三丝九忽二微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纤，为黄锺。

置黄锺正律外周一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸五分二厘六毫六丝一忽五微一纤，为大吕。

置大吕正律外周一寸五分二厘六毫六丝一忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分八厘三毫一丝五忽五微三纤，为太蔟。

置太蔟正律外周一寸四分八厘三毫一丝五忽五微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分四厘○九丝三忽二微八纤，为夹锺。

置夹锺正律外周一寸四分四厘○九丝三忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分九厘九毫九丝一忽二微二纤，为姑洗。

置姑洗正律外周一寸三分九厘九毫九丝一忽二微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分六厘○○五忽九微四纤，为仲吕。

置仲吕正律外周一寸三分六厘○○五忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分二厘一毫三丝四忽一微二纤，为蕤宾。

置蕤宾正律外周一寸三分二厘一毫三丝四忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分八厘三毫七丝二忽五微二纤，为林锺。

置林锺正律外周一寸二分八厘三毫七丝二忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分四厘七毫一丝八忽○○，为夷则。

置夷则正律外周一寸二分四厘七毫一丝八忽○○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分一厘一毫六丝七忽五微二纤，为南吕。

置南吕正律外周一寸二分一厘一毫六丝七忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分七厘七毫一丝八忽一微二纤，为无射。

置无射正律外周一寸一分七厘七毫一丝八忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分四厘三毫六丝六忽九微一纤，为应锺。

置应锺正律外周一寸一分四厘三毫六丝六忽九微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纤，为黄锺。

置黄锺半律外周一寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○七厘九毫四丝七忽九微九纤，为大吕。

置大吕半律外周一寸○七厘九毫四丝七忽九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○四厘八毫七丝四忽九微二纤，为太蔟。

置太蔟半律外周一寸○四厘八毫七丝四忽九微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○一厘八毫八丝九忽三微三纤，为夹锺。

置夹锺半律外周一寸○一厘八毫八丝九忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分八厘九毫八丝八忽七微四纤，为姑洗。

置姑洗半律外周九分八厘九毫八丝八忽七微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分六厘一毫七丝○七微二纤，为仲吕。

置仲吕半律外周九分六厘一毫七丝○七微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分三厘四毫三丝二忽九微三纤，为蕤宾。

置蕤宾半律外周九分三厘四毫三丝二忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分○七毫七丝三忽○八纤，为林锺。

置林锺半律外周九分○七毫七丝三忽○八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分八厘一毫八丝八忽九微四纤，为夷则。

置夷则半律外周八分八厘一毫八丝八忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分五厘六毫七丝八忽三微七纤，为南吕。

置南吕半律外周八分五厘六毫七丝八忽三微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分三厘二毫三丝九忽二微八纤，为无射。

置无射半律外周八分三厘二毫三丝九忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分○八毫六丝九忽六微二纤，为应锺。

次求三十六律外径真数

周求径术：置黄锺倍律外周二寸二分二厘二毫二丝二忽二微二纤，九因得二尺，以四十除之，得五分，自乘得二十五分，加倍得五十分为实，开平方法除之，得七分○七毫一丝○六微七纤，是为外径。就置所得为实，依后项乘除之。

径求周术：置黄锺倍律外径七分○七毫一丝○六微七纤，自乘得五十分，折半得二十五分为实，开平方法除之，得五分，以四十乘之，得二尺，九归，得二寸二分二厘二毫二丝二忽二微二纤，是为外周。周、径互相求，即还原法也。

置黄锺倍律外径七分○七毫一丝○六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分八厘六毫九丝七忽六微八纤，为大吕。

置大吕倍律外径六分八厘六毫九丝七忽六微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分六厘七毫四丝一忽九微九纤，为太蔟。

置太蔟倍律外径六分六厘七毫四丝一忽九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分四厘八毫四丝一忽九微七纤，为夹锺。

置夹锺倍律外径六分四厘八毫四丝一忽九微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分二厘九毫九丝六忽○五纤，为姑洗。

置姑洗倍律外径六分二厘九毫九丝六忽○五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分一厘二毫○二忽六微七纤，为仲吕。

置仲吕倍律外径六分一厘二毫○二忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分九厘四毫六丝○三微五纤，为蕤宾。

置蕤宾倍律外径五分九厘四毫六丝○三微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分七厘七毫六丝七忽六微三纤，为林锺。

置林锺倍律外径五分七厘七毫六丝七忽六微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分六厘一毫二丝三忽一微○，为夷则。

置夷则倍律外径五分六厘一毫二丝三忽一微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分四厘五毫二丝五忽三微八纤，为南吕。

置南吕倍律外径五分四厘五毫二丝五忽三微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分二厘九毫七丝三忽一微五纤，为无射。

置无射倍律外径五分二厘九毫七丝三忽一微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分一厘四毫六丝五忽一微一纤，为应锺。

置应锺倍律外径五分一厘四毫六丝五忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分，为黄锺。

置黄锺正律外径五分为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分八厘五毫七丝六忽五微九纤，为大吕。

置大吕正律外径四分八厘五毫七丝六忽五微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分七厘一毫九丝三忽七微一纤，为太蔟。

置太蔟正律外径四分七厘一毫九丝三忽七微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分五厘八毫五丝○二微○，为夹锺。

置夹锺正律外径四分五厘八毫五丝○二微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分四厘五毫四丝四忽九微三纤，为姑洗。

置姑洗正律外径四分四厘五毫四丝四忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分三厘二毫七丝六忽八微二纤，为仲吕。

置仲吕正律外径四分三厘二毫七丝六忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分二厘○四丝四忽八微二纤，为蕤宾。

置蕤宾正律外径四分二厘○四丝四忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分○八毫四丝七忽八微八纤，为林锺。

置林锺正律外径四分○八毫四丝七忽八微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分九厘六毫八丝五忽○二纤，为夷则。

置夷则正律外径三分九厘六毫八丝五忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分八厘五毫五丝五忽二微七纤，为南吕。

置南吕正律外径三分八厘五毫五丝五忽二微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分七厘四毫五丝七忽六微七纤，为无射。

置无射正律外径三分七厘四毫五丝七忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分六厘三毫九丝一忽三微二纤，为应锺。

置应锺正律外径三分六厘三毫九丝一忽三微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分五厘三毫五丝五忽三微三纤，为黄锺。

置黄锺半律外径三分五厘三毫五丝五忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分四厘三毫四丝八忽八微四纤，为大吕。

置大吕半律外径三分四厘三毫四丝八忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分三厘三毫七丝○九微九纤，为太蔟。

置太蔟半律外径三分三厘三毫七丝○九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分二厘四毫二丝○九微八纤，为夹锺。

置夹锺半律外径三分二厘四毫二丝○九微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分一厘四毫九丝八忽○二纤，为姑洗。

置姑洗半律外径三分一厘四毫九线八忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三纤，为仲吕。

置仲吕半律外径三分○六毫○一忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分九厘七毫三丝○一微七纤，为蕤宾。

置蕤宾半律外径二分九厘七毫三丝○一微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八厘八毫八丝三忽八微一纤，为林锺。

置林锺半律外径二分八厘八毫八丝三忽八微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八厘○六丝一忽五微五纤，为夷则。

置夷则半律外径二分八厘○六丝一忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分七厘二毫六丝二忽六微九纤，为南吕。

置南吕半律外径二分七厘二毫六丝二忽六微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分六厘四毫八丝六忽五微七纤，为无射。

置无射半律外径二分六厘四毫八丝六忽五微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分五厘七毫三丝二忽五微五纤，为应锺。

次求三十六律内径真数

先置黄锺倍律通长二尺为实，四十除之，得五分，是为内径。就置所得为实，依后项乘除之。

置黄锺倍律内径五分为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分八厘五毫七丝六忽五微九纤，为大吕。

置大吕倍律内径四分八厘五毫七丝六忽五微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分七厘一毫九丝三忽七微一纤，为太蔟。

置太蔟倍律内径四分七厘一毫九丝三忽七微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分五厘八毫五丝○二微○，为夹锺。

置夹锺倍律内径四分五厘八毫五丝○二微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分四厘五毫四丝四忽九微三纤，为姑洗。

置姑洗倍律内径四分四厘五毫四丝四忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分三厘二毫七丝六忽八微二纤，为仲吕。

置仲吕倍律内径四分三厘二毫七丝六忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分二厘○四丝四忽八微二纤，为蕤宾。

置蕤宾倍律内径四分二厘○四丝四忽八微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分○八毫四丝七忽八微八纤，为林锺。

置林锺倍律内径四分○八毫四丝七忽八微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分九厘六毫八丝五忽○二纤，为夷则。

置夷则倍律内径三分九厘六毫八丝五忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分八厘五毫五丝五忽二微七纤，为南吕。

置南吕倍律内径三分八厘五毫五丝五忽二微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分七厘四毫五丝七忽六微七纤，为无射。

置无射倍律内径三分七厘四毫五丝七忽六微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分六厘三毫九丝一忽三微二纤，为应锺。

置应锺倍律内径三分六厘三毫九丝一忽三微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分五厘三毫五丝五忽三微三纤，为黄锺。

置黄锺正律内径三分五厘三毫五丝五忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分四厘三毫四丝八忽八微四纤，为大吕。

置大吕正律内径三分四厘三毫四丝八忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分三厘三毫七丝○九微九纤，为太蔟。

置太蔟正律内径三分三厘三毫七丝○九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分二厘四毫二丝○九微八纤，为夹锺。

置夹锺正律内径三分二厘四毫二丝○九微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分一厘四毫九丝八忽○二纤，为姑洗。

置姑洗正律内径三分一厘四毫九丝八忽○二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三纤，为仲吕。

置仲吕正律内径三分○六毫○一忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分九厘七毫三丝○一微七纤，为蕤宾。

置蕤宾正律内径二分九厘七毫三丝○一微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八厘八毫八丝三忽八微一纤，为林锺。

置林锺正律内径二分八厘八毫八丝三忽八微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分八厘○六丝一忽五微五纤，为夷则。

置夷则正律内径二分八厘○六丝一忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分七厘二毫六丝二忽六微九纤，为南吕。

置南吕正律内径二分七厘二毫六丝二忽六微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分六厘四毫八丝六忽五微七纤，为无射。

置无射正律内径二分六厘四毫八丝六忽五微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分五厘七毫三丝二忽五微五纤，为应锺。

置应锺正律内径二分五厘七毫三丝二忽五微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分五厘，为黄锺。

置黄锺半律内径二分五厘为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分四厘二毫八丝八忽二微九纤，为大吕。

置大吕半律内径二分四厘二毫八丝八忽二微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分三厘五毫九丝六忽八微五纤，为太蔟。

置太蔟半律内径二分三厘五毫九丝六忽八微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分二厘九毫二丝五忽一微○，为夹锺。

置夹锺半律内径二分二厘九毫二丝五忽一微○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分二厘二毫七丝二忽四微六纤，为姑洗。

置姑洗半律内径二分二厘二毫七丝二忽四微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分一厘六毫三丝八忽四微一纤，为仲吕。

置仲吕半律内径二分一厘六毫三丝八忽四微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分一厘○二丝二忽四微一纤，为蕤宾。

置蕤宾半律内径二分一厘○二丝二忽四微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得二分○四毫二丝三忽九微四纤，为林锺。

置林锺半律内径二分○四毫二丝三忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分九厘八毫四丝二忽五微一纤，为夷则。

置夷则半律内径一分九厘八毫四丝二忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分九厘二毫七丝七忽六微三纤，为南吕。

置南吕半律内径一分九厘二毫七丝七忽六微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分八厘七毫二丝八忽八微三纤，为无射。

置无射半律内径一分八厘七毫二丝八忽八微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分八厘一毫九丝五忽六微六纤，为应锺。

次求三十六律内周真数

径求周术：置黄锺倍律内径五分，自乘得二十五分，折半得一十二分半为实，开平方法除之，得三分五厘三毫五丝五忽三微三纤九尘，以四十乘之，得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤，九归得一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纤，是为内周。就置所得为实，依后项乘除之。

周求径术：置黄锺倍律内周一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纤，九因得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤，以四十除之，得三分五厘三毫五丝五忽三微三纤九尘，自乘得一十二分半，加倍得二十五分为实，开平方法除之，得五分，是为内径。周、径互相求，即还原法也。

置黄锺倍律内周一寸五分七厘一毫三丝四忽八微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸五分二厘六毫六丝一忽五微一纤，为大吕。

置大吕倍律内周一寸五分二厘六毫六丝一忽五微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分八厘三毫一丝五忽五微三纤，为太蔟。

置太蔟倍律内周一寸四分八厘三毫一丝五忽五微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸四分四厘○九丝三忽二微八纤，为夹锺。

置夹锺倍律内周一寸四分四厘○九丝三忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分九厘九毫九丝一忽二微二纤，为姑洗。

置姑洗倍律内周一寸三分九厘九毫九丝一忽二微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分六厘○○五忽九微四纤，为仲吕。

置仲吕倍律内周一寸三分六厘○○五忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸三分二厘一毫三丝四忽一微二纤，为蕤宾。

置蕤宾倍律内周一寸三分二厘一毫三丝四忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分八厘三毫七丝二忽五微二纤，为林锺。

置林锺倍律内周一寸二分八厘三毫七丝二忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分四厘七毫一丝八忽○○，为夷则。

置夷则倍律内周一寸二分四厘七毫一丝八忽○○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸二分一厘一毫六丝七忽五微二纤，为南吕。

置南吕倍律内周一寸二分一厘一毫六丝七忽五微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分七厘七毫一丝八忽一微二纤，为无射。

置无射倍律内周一寸一分七厘七毫一丝八忽一微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分四厘三毫六丝六忽九微一纤，为应锺。

置应锺倍律内周一寸一分四厘三毫六丝六忽九微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纤，为黄锺。

置黄锺正律内周一寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○七厘九毫四丝七忽九微九纤，为大吕。

置大吕正律内周一寸○七厘九毫四丝七忽九微九纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○四厘八毫七丝四忽九微二纤，为太蔟。

置太蔟正律内周一寸○四厘八毫七丝四忽九微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸○一厘八毫八丝九忽三微三纤，为夹锺。

置夹锺正律内周一寸○一厘八毫八丝九忽三微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分八厘九毫八丝八忽七微四纤，为姑洗。

置姑洗正律内周九分八厘九毫八丝八忽七微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分六厘一毫七丝○七微二纤，为仲吕。

置仲吕正律内周九分六厘一毫七丝○七微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分三厘四毫三丝二忽九微三纤，为蕤宾。

置蕤宾正律内周九分二厘四毫三丝二忽九微三纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分○七毫七丝三忽○八纤，为林锺。

置林锺正律内周九分○七毫七丝三忽○八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分八厘一毫八丝八忽九微四纤，为夷则。

置夷则正律内周八分八厘一毫八丝八忽九微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分五厘六毫七丝八忽三微七纤，为南吕。

置南吕正律内周八分五厘六毫七丝八忽三微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分三厘二毫三丝九忽二微八纤，为无射。

置无射正律内周八分三厘二毫三丝九忽二微八纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得八分○八毫六丝九忽六微二纤，为应锺。置应锺正律内周八分○八毫六丝九忽六微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分八厘五毫六丝七忽四微二纤，为黄锺。

置黄锺半律内周七分八厘五毫六丝七忽四微二纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分六厘三毫三丝○七微五纤，为大吕。

置大吕半律内周七分六厘三毫三丝○七微五纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分四厘一毫五丝七忽七微六纤，为太蔟。

置太蔟半律内周七分四厘一毫五丝七忽七微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得七分二厘○四丝六忽六微四纤，为夹锺。

置夹锺半律内周七分二厘○四丝六忽六微四纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分九厘九毫九丝五忽六微一纤，为姑洗。

置姑洗半律内周六分九厘九毫九丝五忽六微一纤为实，以十亿承之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分八厘○○二忽九微七纤，为仲吕。

置仲吕半律内周六分八厘○○二忽九微七纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分六厘○六丝七忽○六纤，为蕤宾。

置蕤宾半律内周六分六厘○六丝七忽○六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分四厘一毫八丝六忽二微六纤，为林锺。

置林锺半律内周六分四厘一毫八丝六忽二微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分二厘三毫五丝九忽○○，为夷则。

置夷则半律内周六分二厘三毫五丝九忽○○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得六分○五毫八丝三忽七微六纤，为南吕。

置南吕半律内周六分○五毫八丝三忽七微六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分八厘八毫五丝九忽○六纤，为无射。

置无射半律内周五分八厘八毫五丝九忽○六纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得五分七厘一毫八丝三忽四微五纤，为应锺。