新唐书/卷028上 中华文库

开元大衍历演纪上元阏逢困敦之岁，距开元十二年甲子，积九千六百九十六万一千七百四十算。

一曰步中朔术

通法三千四十。

策实百一十一万三百四十三。

揲法八万九千七百七十三。

灭法九万一千二百。

策馀万五千九百四十三。

用差万七千一百二十四。

挂限八万七千一十八。

三元之策十五，馀六百六十四，秒七。

四象之策二十九，馀千六百一十三。

中盈分千三百二十八，秒十四。

朔虚分千四百二十七。

爻数六十。^[1]

象统二十四。

以策实乘积算，曰中积分。盈通法得一，为积日。爻数去之，馀起甲子算外，得天正中气。凡分为小馀，日为大馀。加三元之策，得次气。〈凡率相因加者，下有馀秒，皆以类相从。而满法迭进，用加上位。日盈爻数去之。〉

以揲法去中积分，不尽曰归馀之挂。以减中积分，为朔积分。如通法为日，去命如前，得天正经朔。加一象之日七、馀千一百六十三少，得上弦。倍之，得望。参之，得下弦。四之，是谓一揲，得后月朔。〈凡四分，一为少，三为太。〉综中盈、朔虚分，累益归馀之挂，每其月闰衰。〈凡归馀之挂五万六千七百六十以上，其岁有闰。^[2]因考其闰衰，满挂限以上，其月合置闰。或以进退，皆以定朔无中气裁焉。〉

凡常气小馀不满通法、如中盈分之半已下者，以象统乘之，内秒分，参而伍之，以减策实；不尽，如策馀为日。命常气初日算外，得没日。凡经朔小馀不满朔虚分者，以小馀减通法，馀倍参伍乘之，用减灭法；不尽，如朔虚分为日。命经朔初日算外，得灭日。

二曰发敛术

天中之策五，馀二百二十一，秒三十一；秒法七十二。

地中之策六，馀二百六十五，秒八十六；秒法百二十。

贞悔之策三，馀百三十二，秒百三。

辰法七百六十。

刻法三百四。

各因中节命之，得初候。加天中之策，得次候。又加，得末候。因中气命之，得公卦用事。以地中之策累加之，得次卦，若以贞悔之策加侯卦，得十有二节之初外卦用事。因四立命之，得春木、夏火、秋金、冬水用事。以贞悔之策减季月中气，得土王用事。〈凡相加减而秒母不齐，当令母互乘子，乃加减之；母相乘为法。〉

各以通法约其月闰衰，为日，得中气去经朔日算。求卦、候者，各以天、地之策，累加减之。凡发敛加时，各置其小馀，以六爻乘之，如辰法而一，为半辰之数。不尽者，三约为分。^[3]〈分满刻法为刻。若令满象积为刻者，即置不尽之数，十之，十九而一，为分。〉命辰起子半算外。^[4]

三曰步日躔术

干实百一十一万三百七十九太。

周天度三百六十五，虚分七百七十九太。

岁差三十六太。

以盈缩分盈减、缩加三元之策，为定气所有日及馀。乃十二乘日，又三其小馀，辰法约而一，从之，为定气辰数。不尽，十之，又约为分。以所入气并后气盈缩分，倍六爻乘之，综两气辰数除之，为末率。又列二气盈缩分，皆倍六爻乘之，各如辰数而一；以少减多，馀为气差。至后以差加末率，分后以差减末率，为初率。倍气差，亦倍六爻乘之，复综两气辰数除，为日差。半之，以加减初末，各为定率。以日差至后以减、分后以加气初定率，为每日盈缩分。乃驯积之，随所入气日加减气下先后数，各其日定数。其求朓朒仿此。〈冬至后为阳复，在盈加之，在缩减之；夏至后为阴复，在缩加之，在盈减之。距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并，皆因前末为初率。以气差至前加之，分前减之，为末率。馀依前术，各得所求。其分不满全数，母又每气不同，当退法除之。以百为母，半已上，收成一。〉冬至、夏至偕得天地之中，无有盈缩。馀各以气下先后数先减、后加常气小馀，满若不足，进退其日，得定大小馀。〈凡推日月度及轨漏、交蚀，依定气；注历，依常气；〉以减经朔、弦、望，各其所入日算。若大馀不足减，加爻数，乃减之。减所入定气日算一，各以日差乘而半之；前少以加、前多以减气初定率，以乘其所入定气日算及馀秒。〈凡除者，^[5]先以母通全，内子，乃相乘；母相乘除之。〉所得以损益朓朒积，各其入朓朒定数。〈若非朔望有交者，以十二乘所入日算；三其小馀，辰法除而从之；以乘损益率，如定气辰数而一。所得以损益朓朒积，各为定数。〉

南斗二十六，牛八，婺女十二，虚十，〈虚分七百七十九太。〉危十七，营室十六，东壁九，奎十六，娄十二，胃十四，昴十一，毕十七，觜觿一，参十，东井三十三，舆鬼三，柳十五，七星七，张十八，翼十八，轸十七，角十二，亢九，氐十五，房五，心五，尾十八，箕十一，为赤道度。其毕、觜觿、参、舆鬼四宿度数，与古不同。依天以仪测定，用为常数。纮带天中，仪极攸凭，以格黄道。

推冬至岁差所在，每距冬至前后各五度为限，初数十二，每限减一。尽九限，数终于四。当二立之际，一度少强，依平。乃距春分前、秋分后，初限起四，每限增一，尽九限，终于十二，而黄道交复。计春分后、秋分前，亦五度为限。初数十二，尽九限，数终于四。当二立之际，一度少强，依平。乃距夏至前后，初限起四，尽九限，终于十二。皆累裁之，以数乘限度，百二十而一，得度。不满者，十二除，为分。〈若以十除，则大分，十二为母，命太、半、少及强、弱。〉命曰黄赤道差数。二至前后各九限，以差减赤道度，二分前后各九限，以差加赤道度，各为黄道度。

开元十二年，南斗二十三半，牛七半，婺女十一少，虚十，〈六虚之差十九太。〉危十七太，营室十七少，东壁九太，奎十七半，娄十二太，胃十四太，昴十一，毕十六少，觜觿一，参九少，东井三十，舆鬼二太，柳十四少，七星六太，张十八太，翼十九少，轸十八太，角十三，亢九半，氐十五太，房五，心四太，尾十七，箕十少，为黄道度，以步日行。月与五星出入，循此。〈求此宿度，皆有馀分，前后辈之成少、半、太，准为全度。若上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，各依术算，使得当时度分，然后可以步三辰矣。〉

以干实去中积分；不尽者，盈通法为度。命起赤道虚九，宿次去之，经虚去分，至不满宿算外，得冬至加时日度。〈以三元之策累加之，得次气加时日度。〉

以度馀减通法；馀以冬至日躔距度所入限数乘之，为距前分。置距度下黄赤道差，以通法乘之，减去距前分；馀满百二十除，为定差。不满者，以象统乘之，复除，为秒分。乃以定差减赤道宿度，得冬至加时黄道日度。

又置岁差，以限数乘之，满百二十除，为秒分。不尽为小分。以加三元之策，因累裁之。命以黄道宿次，各得定气加时日度。

置其气定小馀，副之。以乘其日盈缩分，满通法而一，盈加、缩减其副。用减其日加时度馀，得其夜半日度。因累加一策，以其日盈缩分盈加、缩减度馀，得每日夜半日度。

四曰步月离术

转终六百七十万一千二百七十九。

转终日二十七，馀千六百八十五，秒七十九。

转法七十六。

转秒法八十。

以秒法乘朔积分，盈转终去之；馀复以秒法约，为入转分；满通法，为日。命日算外，得天正经朔加时所入。因加转差日一、馀二千九百六十七、秒一，得次朔。以一象之策，循变相加，得弦、望。盈转终日及馀秒者，去之。各以经朔、弦、望小馀减之，得其日夜半所入。

各置朔、弦、望所入转日损益率，并后率而半之，为通率。又二率相减，为率差。前多者，以入馀减通法，馀乘率差，盈通法得一，并率差而半之；前少者，半入馀，乘率差，亦以通法除之：为加时转率。乃半之，以损益加时所入，馀为转馀。其转馀，应益者，减法；应损者，因馀：皆以乘率差，盈通法得一，加于通率，转率乘之，通法约之，以朓减、朒加转率，为定率。乃以定率损益朓朒积，为定数。〈其后无同率者，亦因前率。应益者，以通率为初数，半率差而减之；应损者，即为通率。其损益入馀进退日，分为二日，随馀初末，如法求之。所得并以损益转率。此术本出皇极历，以究算术之微变。若非朔望有交者，直以入馀乘损益率，如通法而一，以损益朓朒，为定数。〉

七日：〈初数二千七百一，末数三百三十九。〉十四日：〈初数二千三百六十三，末数六百七十七。二十一日：初数二千二十四，末数千一十六。〉二十八日：〈初数千六百八十六，末数千三百五十四。〉以四象约转终，均得六日二千七百一分。就全数约为九分日之八。各以减法，馀为末数。乃四象驯变相加，各其所当之日初末数也。视入转馀，如初数已下者，加减损益，因循前率。如初数以上，则反其衰，归于后率云。

各置朔、弦、望大小馀，以入气、入转朓朒定数，朓减、朒加之，为定朔、弦、望大小馀。定朔日名与后朔同者，月大；不同者，小；无中气者，为闰月。〈凡言夜半，皆起晨前子正之中。若注历，观弦、望定小馀，不盈晨初馀数者，退一日。其望有交、起亏在晨初已前者，亦如之。又月行九道迟疾，则有三大二小。以日行盈缩累增损之，则容有四大三小，理数然也。若俯循常仪，当察加时早晚，随其所近而进退之，使不过三大三小。^[6]其正月朔有交、加时正见者，消息前后一两月，以定大小，令亏在晦、二。〉定朔、弦、望夜半日度各随所直日度及馀分命之。乃列定朔、望小馀，副之。^[7]以乘其日盈缩分，如通法而一，盈加、缩减其副。以加夜半日度，各得加时日度。

凡合朔所交，冬在阴历、夏在阳历，月行青道；〈冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，当黄道东南。至所冲之宿，亦如之。〉冬在阳历，夏在阴历，月行白道；〈冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西。立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北。至所冲之宿，亦如之。〉春在阳历，秋在阴历，月行朱道；〈春分、秋分后，朱道半交在夏至之宿，当黄道南。立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南。至所冲之宿，亦如之。〉春在阴历，秋在阳历，月行黑道。〈春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，当黄道北。立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北。至所冲之宿，亦如之。〉四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月有九行。各视月交所入七十二候距交初中黄道日度，每五度为限，亦初数十二，每限减一，数终于四，乃一度强，依平。更从四起，每限增一，终于十二，而至半交，其去黄道六度。又自十二，每限减一，数终于四，亦一度强，依平。更从四起，每限增一，终于十二，复与日轨相会。各累计其数，以乘限度，二百四十而一，得度。不满者，二十四除，为分，〈若以二十除之，则大分，以十二为母。〉为月行与黄道差数。距半交前后各九限，以差数为减；距正交前后各九限，以差数为加。〈此加减出入六度，单与黄道相较之数。若较之赤道，则随气迁变不常。〉计去冬至、夏至以来候数，乘黄道所差，十八而一，为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行宿度，入春分交后行阴历、秋分交后行阳历，皆为同名。若入春分交后行阳历、秋分交后行阴历，皆为异名。其在同名，以差数为加者，加之；减者，减之。若在异名，以差数为加者，减之；减者，加之。皆以增损黄道度，为九道定度。

各以中气去经朔日算，加其入交汎，乃以减交终，得平交入中气日算。满三元之策去之，馀得入后节日算。〈因求次交者，以交终加之，满三元之策去之，得后平交入气日算。〉

各以气初先后数先加、后减之，得平交入定气日算。倍六爻乘之，三其小馀，辰法除而从之；以乘其气损益率，如定气辰数而一；所得以损益其气朓朒积，为定数。

又置平交所入定气馀，加其日夜半入转馀，以乘其日损益率，满通法而一，以损益其日朓朒积，交率乘之，交数而一，为定数。乃以入气入转朓朒定数，朓减、朒加平交入气馀，满若不足，进退日算，为正交入定气日算。其入定气馀，副之，乘其日盈缩分，满通法而一，以盈加、缩减其副，以加其日夜半日度，得正交加时黄道日度。以正交加时度馀减通法，馀以正交之宿距度所入限数乘之，为距前分。置距度下月道与黄道差，以通法乘之，减去距前分，馀满二百四十除，为定差。不满者一退为秒。以定差及秒加黄道度、馀，仍计去冬至、夏至已来候数乘定差，十八而一；所得依名同异而加减之，满若不足，进退其度，得正交加时月离九道宿度。

各置定朔、弦、望加时日度，从九道循次相加。凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是谓离象。〈先置朔、弦、望加时黄道日度，以正交加时所在黄道宿度减之；馀以加其正交九道宿度，命起正交宿度算外，即朔、弦、望加时所当九道宿度也。其合朔加时，若非正交，则日在黄道，月在九道，各入宿度虽多少不同，考其去极，若应绳准。故云：月行潜在日下，与太阳同度。〉以一象之度九十一、馀九百五十四、秒二十二半为上弦，兑象。倍之，而与日冲，得望，坎象。参之，得下弦，震象。各以加其所当九道宿度，秒盈象统从馀，馀满通法从度，得其日加时月度。〈综五位成数四十，以约度馀，为分。不尽者，因为小分。〉

视经朔夜半入转，若定朔大馀有进退者，亦加减转日。否则因经朔为定。累加一日，得次日。各以夜半入转馀乘列衰，如通法而一；所得以进加、退减其日转分，为月转定分。满转法，为度。

视定朔、弦、望夜半入转，各半列衰以减转分。退者，定馀乘衰，以通法除，并衰而半之；进者，半馀乘衰，亦以通法除：皆加所减。乃以定馀乘之，盈通法得一，以减加时月度，为夜半月度。各以每日转定分累加之，得次日。若以入转定分，乘其日夜漏，倍百刻除，为晨分。以减转定分，馀为昏分。望前以昏、望后以晨加夜半度，各得晨昏月。

各视每日夜半入阴阳历交日数，以其下屈伸积，月道与黄道同名者，加之；异名者，减之。各以加减每日晨昏黄道月度，为入宿定度及分。

五曰步轨漏术

爻统千五百二十。

象积四百八十。

辰八刻百六十分。

昏、明二刻二百四十分。

各置其气消息衰，依定气所有日，每以陟降率陟减、降加其分，满百从衰，各得每日消息定衰。其距二分前后各一气之外，陟降不等，皆以三日为限。雨水初日，降七十八。初限，日损十二。次限，日损八。次限，日损三。次限，日损二。次限，日损一。清明初日，陟一。初限，日益一。次限，日益二。次限，日益三。次限，日益八。末限，日益十九。处暑初日，降九十九。初限，日损十九。次限，日损八。次限，日损三。次限，日损二。末限，日损一。寒露初日，陟一。初限，日益一。次限，日益二。次限，日益三。次限，日益八。末限，日益十二。各置初日陟降率，依限次损益之，为每日率。乃递以陟减、降加气初消息衰，各得每日定衰。

南方戴日之下，正中无晷。自戴日之北一度，乃初数千三百七十九。自此起差，每度增一，终于二十五度，计增二十六分。又每度增二，终于四十度。又每度增六，终于四十四度，增六十八。又每度增二，终于五十度。又每度增七，终于五十五度。又每度增十九，终于六十度，增百六十。又每度增三十三，终于六十五度。又每度增三十六，终于七十度。又每度增三十九，终于七十二度，增二百六十。又度增四百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。又度增五千三百四十。各为每度差。因累其差，以递加初数，满百为分，分十为寸，各为每度晷差。又累其晷差，得戴日之北每度晷数。

各置其气去极度，以极去戴日度五十六及分八十二半减之，得戴日之北度数。各以其消息定衰所直度之晷差，满百为分，分十为寸，得每日晷差。乃递以息减、消加其气初晷数，得每日中晷常数。

以其日所在气定小馀，爻统减之，馀为中后分。不足减，反相减，为中前分。以其晷差乘之，如通法而一，为变差。以加减中晷常数，〈冬至后，中前以差减，中后以差加。夏至后，中前以差加，中后以差减。冬至一日，有减无加。夏至一日，有加无减。〉得每日中晷定数。

又置消息定衰，满象积为刻，不满为分。各递以息减、消加其气初夜半漏，得每日夜半漏定数。其全刻，以九千一百二十乘之，十九乘刻分从之，如三百而一，为晨初馀数。

各倍夜半漏，为夜刻。以减百刻，馀为昼刻。减昼五刻以加夜，即昼为见刻，夜为没刻。半没刻加半辰，起子初算外，得日出辰刻。以见刻加而命之，得日入。〈置夜刻，五而一，得每更差刻。又五除之，得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻，得甲夜初刻。又以更筹差加之，得五夜更筹所当辰。其夜半定漏，亦名晨初夜刻。〉

又置消息定衰，满百为度，不满为分。各递以息减、消加气初去极度，各得每日去极定数。

又置消息定衰，以万二千三百八十六乘之，如万六千二百七十七而一，为度差。差满百为度。各递以息加、消减其气初距中度，得每日距中度定数。倍之，以减周天，为距子度。

置其日赤道日度，加距中度，得昏中星。倍距子度，以加昏中星，得晓中星。命昏中星为甲夜中星，加每更差度，得五夜中星。

凡九服所在，每气初日中晷常数不齐。使每气去极度数相减，各为其气消息定数。因测其地二至日晷，〈测一至可矣，不必兼要冬夏。〉于其戴日之北每度晷数中，较取长短同者，以为其地戴日北度数及分。每气各以消息定数加减之，〈因冬至后者，每气以减。因夏至后者，每气以加。〉得每气戴日北度数。各因所直度分之晷数，为其地每定气初日中晷常数。〈其测晷有在表南者，亦据其晷尺寸长短与戴日北每度晷数同者，因取其所直之度，去戴日北度数。反之，为去戴日南度。然后以消息定数加减之。〉

二至各于其地下水漏以定当处昼夜刻数。乃相减，为冬夏至差刻。半之，以加减二至昼夜刻数，为定春秋分初日昼夜刻数。乃置每气消息定数。以当处差刻数乘之，如二至去极差度四十七分，八十而一，所得依分前后加减初日昼夜漏刻，各得馀定气初日昼夜漏刻。

置每日消息定衰，亦以差刻乘之，差度而一，所得以息减、消加其气初漏刻，得次日。〈其求距中度及昏明中星日出入，皆依阳城法求之。仍以差刻乘之，差度而一，为今有之数。〉若置其地春秋定日中晷常数与阳城每日晷数，较其同者，因其日夜半漏亦为其地定春秋分初日夜半漏。求馀定气初日，亦以消息定数依分前后加减刻分，〈春分后以减，秋分后以加。〉满象积为刻。求次日，亦以消息定衰，依阳城术求之。〈此术究理，大体合通。然高山平川，视日不等。较其日晷，长短乃同。考其水漏，多少殊别。以兹参课，前术为审。〉

校勘记