新法算书_(四库全书本)/卷091 中华文库

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　　钦定四库全书
　　新法算书卷九十一　　　　明　徐光启等　撰测量全义卷五
　　圆面求积
　　凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古髙士亚奇黙徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题
　　圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等
　　论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所馀又减其大半末所馀以比较形亥必能为小矣〈十卷首题〉如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末馀丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角
　　形等必小于午申酉三边形何者
　　未午乙甲也小于圏半径乙庚先
　　设午申酉三边形及亥较形始与
　　圏等今午未戌三边形及八两角
　　杂形适与圏等夫午申酉三角形
　　大于午未戌三角形亥形又大于
　　八两角杂形是合两大形〈即午申酉及亥
　　较形〉与圏等者复谓合两小形〈即午未戌
　　及八两角杂形〉与圏等有是理乎
　　次论曰若言圏形为小句股形大
　　者索其较为亥形即于圏外作子
　　寅丑己正方形又作卯辰八角形
　　夫寅己方形大于午申酉三角形
　　者方形之周线大于圎形之周线
　　也内减其大半〈即元圈〉又减其大半
　　〈即卯辰子等四三角形也〉末馀丙卯庚庚辰丁
　　等三角杂形八必小于较形亥又
　　作午申亢三角形与丙卯辰八角
　　形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角杂形八〈即丙卯庚等八杂形也〉反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎
　　第二题
　　凡圏周三倍圏径有奇〈二支〉
　　此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三〈任设此数以便推算〉午子或午戊弦必三百○六各自之股方得二万三千四百○九弦方得九万三千六百三十六相减馀七万○二百二十七为句方开得二百六十五有奇为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有奇与一五
　　三次平分午戊甲角作戊庚
　　线任分午甲于庚则午戊与
　　戊甲若午庚与甲庚〈六卷三题〉合
　　之戊午偕戊甲而与戊甲若
　　午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲〈即午庚偕甲庚〉若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有奇午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五
　　九一又八之一不尽为庚戊
　　线〈戊甲甲庚之弦〉则庚戊与甲庚之
　　比例若五九一又八之一不
　　尽与一五三次平分庚戊甲
　　角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一　一六二又八之一有奇两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线〈甲戊甲辛之弦〉则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有奇两数各自之并而开方得二三三九又四之一有奇为寅戊线〈戊甲甲寅之弦〉则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有奇与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有奇与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有奇
　　论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二
　　午戊甲其半则三之一庚戊
　　甲其半则六之一辛戊甲其
　　半则十二之一寅戊甲其半
　　则二十四之一未戊甲其半
　　则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申⿰弓𤓰 -- 弧为象限⿰弓𤓰 -- 弧二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有奇则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎
　　二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等〈四卷十五〉从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角〈三卷三十一题〉设甲丙句七百八十○乙丙弦一千五百六十○两数自
　　之相减开方得一千三百五十
　　一不足为乙甲股则乙甲与甲
　　丙之比例为一三五一与七八
　　○次平分甲乙丙角作乙丁线
　　又作丁丙线成乙丁丙丙丁己
　　两直角形相似盖同用丁直角
　　在半圏内甲丁丁丙两所乘之
　　⿰弓𤓰 -- 弧等则丁丙己丁乙丙两⿰弓𤓰 -- 弧之
　　角必等〈三卷二十一〉夫两形有两角
　　等者各腰俱相似则乙丁〈大形之股〉与丁丙〈大形之句〉若丁丙〈小形之股〉与丁己〈小形之句〉又乙丙〈大形之弦〉与丁丙〈大形之句〉若己丙〈小形之弦〉与丁己〈小形之句〉更之乙丙与己丙〈两弦〉若丁丙与丁己〈两句〉是乙丁与丁丙〈两股〉丁丙与丁己〈两句〉乙丙与己丙〈两弦〉三比例皆等又乙丙与己丙〈两弦〉若乙丙并乙甲〈两腰〉与甲丙底之两分〈见前解〉则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又
　　四之一弱为乙丙〈乙丁丁丙之弦〉则乙
　　丙与丁丙之比例为三○一三
　　又四之一弱与七八○次平分
　　丁乙丙角作辛乙线因前比例
　　论得乙辛与辛丙比例之数盖
　　丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与
　　辛丙先定乙丙三○一三又四
　　之一乙丁二九一一弱并为五
　　九二四又四之一弱今丙丁为
　　七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有奇今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线〈乙辛辛丙之弦〉则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得
　　一○○九弱则六六与一○○
　　九为壬丙与乙丙两线之比例
　　末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
　　两线乙庚与庚丙若壬乙并乙
　　丙二○一六又六之一与丙壬
　　六六两数自之开方得二○一
　　七又四之一弱为乙丙〈乙庚庚丙之弦〉则庚丙与乙丙两线之比例为
　　六六与二○一七又四之一弱
　　论曰丙甲⿰弓𤓰 -- 弧为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乘六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎
　　第三题
　　圜容积与径上方形之比例
　　解曰一为十一与十四而朒一为二
　　百二十三与二百八十四而盈先解
　　朒者乙戊辛圈甲丙戊方引长甲丙
　　边为甲丁其大于甲丙为三倍又七
　　之一则与周等为句甲乙边圈之半
　　径也为股成甲乙丁角形其积与圈
　　积略等〈不甚差故〉又乙甲丙直角形因丙
　　甲与甲丁若七与二十二则甲乙丙
　　与甲乙丁两形之积亦若七与二十
　　二〈六卷一题〉甲乙丁与圏等则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二夫甲乙丙为方形四之一四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四
　　一题之系　半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何〈六卷二题〉曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系　设圏径求周求容　凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周　用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周求径亦然
　　二系　圈之径与径若周与周子之径与径亦若母之周与周假如一圏之径为七周为二十二他圏大于元圏四倍其径二十八则其周八十八亦四倍大于元圏之周
　　三系　周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径　周线上方与他周上方若径上方与他径上方〈十二卷二题〉径方与他径方若圏与圏则周方与他周方亦若圏与圏更之周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积如设周一用一系之法则八九二一率也七十一二率也所设一三率也所得之径为二二三之七十一其容积为八九二之七十一周之方一全数也通之为八九二圏之积零数也为七十一是谓周方与圏为八九二与七十一而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八八之七周之方一全数也通之为八八圏积为零数则周方与圏为八八与七也三题之系　设径求圏积则比例之母十四为一率子十一为二率径之方数为三率所得为圏之积而盈或三八三为一率二二三为二率径之方数为三率所得为圏之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜容与某数其方根为径
　　又设周求圏之容因一系之法八九二与七十一若周之方数与圏之容而盈或一八八与七若周之方数与圏之容而朒反之设圏求周则七与八八若圏容与某数其方根为周
　　径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施用○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
　　〈大周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七
　　〈小周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六
　　约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百之十四
　　再约得七之一又朒如前
　　论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即外切线缩即内弦也皆非周也
　　古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围三较之径七围二十二者尤疏也故不合
　　古设径问积法以径自乘三之四而一如设径一自之得一三之得三四而一则四之三为圏之积全数〈即母数〉为径上之方形则知径上之方与圏之积为四与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形必小于三角杂形安得合乎
　　量撱圆法　撱圆形者斜截圆柱所成两面形也形有长短二径古士黙徳本论曰两径之中比例线为径作圏
　　与撱圆等则两
　　径为第一第三
　　率相乘所得方
　　数为第二率又同线上之正方与圏容为一四与一一今两率相乘者即中率正方之数〈此比例法见几何六卷三十三题之第十增〉故以两径相乘得数以一一乘之以一四除之得撱圆之积也
　　量圈之一分
　　第一图〈名两半径⿰弓𤓰 -- 弧形〉
　　设半径及⿰弓𤓰 -- 弧用全与全若分与分之比例　法曰以半径乘⿰弓𤓰 -- 弧得积半之为本形积盖全周与全圈积若周之分与圈积之分如半径六⿰弓𤓰 -- 弧十二相乘得七十
　　二半之三十六为本形积
　　第二图〈名两弦内⿰弓𤓰 -- 弧形〉
　　设两弦两⿰弓𤓰 -- 弧丙戊为径从心作甲乙甲丁线成甲乙丙甲丁戊各两半径⿰弓𤓰 -- 弧形依前法各求积又甲乙丁直线形两腰
　　等有丁乙弦求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积第三图
　　即第二图之半同理

　　第四图〈名⿰弓𤓰 -- 弧形〉
　　有本圈径设弦求其积法先求半圈积次求两弦形之积两数相减馀为设形之积如丙乙巳戊圈其径丙戊设乙丁弦求乙已丁⿰弓𤓰 -- 弧之积置乙巳丁⿰弓𤓰 -- 弧一一又七之六
　　圈径十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八又七之六内减设形之⿰弓𤓰 -- 弧一一又七之六馀七为丁戊乙丙两⿰弓𤓰 -- 弧之数半之为三半丁戊⿰弓𤓰 -- 弧也作丁甲乙甲两线因前法求丁戊乙丙两弦形之积得二十八又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两弦形之积二十八又九之八得二十七又六十三之四十二为设形之积若不知弦因丁甲乙形有丁甲乙甲两边有丁甲乙
　　角得丁乙边为设形之弦
　　若⿰弓𤓰 -- 弧形大于半圈者以两弦之积加于半圈之积
　　若不知本圈之径则先求径其法丁乙弦半之作巳辛垂线量其度得数为法弦之半数自之为实而一得本圏之径〈㡬何三卷五十五〉如量己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也若辛己不可得量是属无法之形
　　第五图
　　设小半⿰弓𤓰 -- 弧形如甲乙丙则以甲丙句甲
　　乙股各自之并而开方得乙丙弦成乙
　　丙小⿰弓𤓰 -- 弧形有乙丙弦依前法求积次求
　　甲乙丙句股形之积并之即得〈一图〉若止设一直线为径之一分〈甲丙也〉而知
　　本圏之径法先求丁戊丙象限积次求
　　丁乙甲戊两弦形之积相减馀为甲乙
　　丙形之积〈二图〉
　　若所设乙甲丙非直角而知本圏之径
　　法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句
　　股积盖形有甲辛两角甲乙边可得馀
　　边即得其积末用前法求乙辛丙半⿰弓𤓰 -- 弧
　　形之积内减甲乙辛句股积馀为设形
　　之积〈三图〉
　　若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之内则以甲乙辛形之积加于半⿰弓𤓰 -- 弧形积〈四图〉
　　或设本圏之径作戊乙线法以半径乘⿰弓𤓰 -- 弧得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊直线形之积则乙戊半径也乙甲设形之边也戊甲为丙甲与半径之较依法得积以减戊乙丙两半径形之积馀为设形积〈五图〉
　　或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙丙馀如前〈六图〉
　　若半⿰弓𤓰 -- 弧形之边如甲乙甲丙大于半径即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之积次求甲戊乙三边形之积并之如前若不知本圏之径则属无法形之法〈七图〉或依三角形法以甲乙甲丙两线及甲
　　角求乙丙边求积次求乙丙⿰弓𤓰 -- 弧形之积如前法〈八图〉第六图〈名两⿰弓𤓰 -- 弧之形〉
　　若知各⿰弓𤓰 -- 弧之径者法与一⿰弓𤓰 -- 弧形等
　　若设两⿰弓𤓰 -- 弧亦设中长线则分元形为两
　　⿰弓𤓰 -- 弧形　若不知本圏之径亦不知中长
　　线属无法之形
　　第七图
　　以弦分之成直线形者一成⿰弓𤓰 -- 弧形
　　者三四以上各以前法量之
　　若为球体撱圆体圆角体之外面法见量体法中〈第六卷〉古法设长阔问积见长方又设长阔总数长阔较等问见句股义
　　量面用法
　　以木造矩锥平
　　者为盘直者为
　　干盘径五六寸
　　厚二寸面画两径辏心成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干之末施鐡锸焉别具望竿数事略与干等器成先试之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以望先立诸竿仍作直线则为如法之器第一题
　　直线内一㸃上求作垂线〈㡬何一卷十一〉
　　法曰设㸃上卓锥转器令一径合于设线次从他径卓数竿题言诸竿所作直线与元线为直角与盘上直角
　　等



　　第二题
　　直线外一㸃上求作垂线
　　法曰设㸃上卓一竿持器循设线上㳺移迁就令一径合于元线一径与望竿为直线次从㸃至锥下作线则元线之垂线也
　　凡设田形量其歩亩前法足矣然未知直线形之是否直角曲线形之是否中⿰弓𤓰 -- 弧且高下之数非目营可得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图中断线所作线也聨线元形线也边上有○卓锥之处也
　　三边田法从大边用器㳺移迁就向对
　　角立垂线分元形为两句股形〈一图〉


　　四边田先用器试各角是否直角直者用正方量之不
　　直依图
　　分句股
　　形令分
　　馀者各
　　两对边为平行线用正方长方法量之〈二三四图〉
　　多边形田从大边如甲上作
　　甲乙垂线从大边两界如丙
　　如丁作丙戊丁己两垂线丁
　　己线上立乙辛垂线又立庚
　　寅己午两垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用元度作新立诸线各如数𥮅之并之得元形之积〈五图〉
　　若田形以曲线为边宜先
　　求直线形法取一线为径
　　径上宻宻卓锥作诸平行
　　线末各直角上加器成诸
　　长方形亦成诸三边形曲
　　线为边者大圏之⿰弓𤓰 -- 弧也即依直线法量之所差甚微〈六七图〉
　　或田中为房舍林木等物所隔难作
　　中长线法于田外依一边作大方形
　　形边上向田之各角作线是元形之
　　外方形之内有若干句股形并诸句
　　股积以减方形积馀为元形之积〈八图〉
　　增题　多𫟪无法形量法从田心如癸加象限邉向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向
　　辛各定其癸角之度次以公量法量癸
　　乙癸丙等线元形内有三边形七每形
　　有一角两邉因法求馀邉求毎形之积
　　并而得元形之积
　　中空田法先求大形之积次求空形
　　之积如方田一假各边十丈中为圆
　　池径七丈则方形之积一百丈池之
　　积三十八丈半减馀六十一丈半为
　　设形之积
　　求环田积用两圏之径或周以次求
　　大小圆积相减馀为环田之积如设
　　环之外周为四十四内周为二十二
　　则大圆积一百五十四小圆积三十
　　八半减馀一百一十五半环田之积也
　　变形法
　　其一设三角形求变为等底等积方形
　　凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成
　　丁丙戊方形与元形等底等积
　　如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求
　　如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交
　　角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊〈形并戊庚如所求〉




　　如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与卯等即甲与乙卯癸与卯各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚卯次并卯乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线〈丙非角故不名对角〉引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取
　　己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法
　　若所设线甚小几倍之得为元形边则平分
　　元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所
　　求
　　如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三
　　角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求
　　其三设矩内形变为正方形
　　如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界㸃作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线

　　其四设多边形变为正方形
　　先以直线分元形为若干三边形
　　次依第一法变各三边形为矩内形
　　三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形
　　四并各等边形成一大矩形
　　五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形
　　以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之
　　矩内形是也
　　其五两正方形变为一正方〈㡬何原本一卷四十七题备论其理此则用法〉置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其弦聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁
　　矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形
　　等次截取癸实形移补丙丁虚形次取
　　丙子实形移补甲虚形次取壬实形移
　　补庚虚形次取庚丑实形移补戊〈己庚〉虚
　　形次取戊实形移补辛虚形
　　成卯辰午未正方形
　　其六设矩形求变为他矩形
　　其边各有比例如设一形欲
　　作他形等积而两边之比例
　　若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形
　　第四题
　　截形法
　　借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形
　　之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲
　　角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形
　　为四三角形求其比例法曰从各角向
　　各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向
　　壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂
　　线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙
　　两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两
　　垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙
　　两形同用甲丙线为底即丁子乙丑
　　两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率〈即第三线〉则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚〈元数〉与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑〈元数〉与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙
　　又命分四之一而其截线求与命角之对边〈如丙乙〉平行法四平分甲乙腰四乘三〈命分数内减得分以其馀乘命分〉得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
　　丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三
　　二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本
　　形为若干三边形又如前次第求各形
　　之比例线〈因形求线〉合之成一直线如图为
　　乙丙丁戊己若命分为四之一即四平
　　分之若第一分在乙丙线内则分甲乙
　　丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分
　　所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为
　　元形四之一若命分之界不在元形之
　　角如甲乙边内取庚㸃为界法从庚向
　　各角作线求各形之比例线如前
　　上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图
　　甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之
　　三设方形命截几分之几法任分一边
　　如命分数取得数作平行线或正方或
　　斜方或矩形皆同理若以角为截界则
　　与上文多边形同法
　　四设梯田命截几分之几如四分
　　之一法上下两〈边各四平分而取其一作直线聨之〉
　　或用角为截界则与前多边形同法
　　若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之㡬分得全形之几分随用前第
　　一设截三角形之法得所求
　　假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有奇为母五有奇〈减一得子〉为子相乘开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求〈或取三十二而取二十九〉
　　若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六略约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乘得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求〈或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线〉凡梯田在平行线内但底等即其积等
　　不论角大小
　　若两梯田截法先求各形之积次算此
　　形所截之分为彼形之㡬分其用法如
　　前

　　〈有本法本论于法算诸书中详之此不及备着〉
　　〈新法算书〉
　　〈卷九十一〉














　　此外别形尚多各