钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百九卷目录

　算法部汇考一

　　礼记〈内则〉

　　周礼订义〈地官〉

　　周髀算经〈卷上一〉

历法典第一百九卷

算法部汇考一

《礼记》

内则

六年教之数与方名。〈又〉九年，教之数日。十年，出就外 傅居宿于外学《书计》。

〈注〉数谓一十百千万，方名东西南北也。九年教之数，日知朔望与六甲也。书谓六书，计谓九数。

《周礼订义》

地官

《保氏》：“掌谏王恶，而养国子以道，乃教之六艺：一曰五 礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九 数。”

〈注〉郑司农曰：“九数，方田、粟米差分少广、商功、均输、方程，赢不足旁要，今有重差、夕桀句股。”贾氏曰：“皆依《九章算术》而言。云今有重差夕桀句股者，此汉法增之。”

《周髀算经》

〈汉赵君卿注〉

卷上一

昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也？”〈唐寅曰经文也〉

《周公》姓姬名旦，武王之弟。商高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冢宰，德则至高，尚自卑己以自牧，下学而上达，况其凡乎？〈唐寅曰：此《赵注》也。〉

请问古者包牺立周天历度？

包牺三皇之一，始画八卦，以商高善数，能通乎微妙，达乎无方，无大不综，无幽不显。闻包牺立周天历度运章蔀之法，《易》曰：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。” 此之谓也。

夫天不可阶而升，地不可《将尺寸》而度。

邈乎悬广，无阶可升。荡乎遐远，无度可量。

请问“数从安出？”

心昧其机请问其目

商高曰：“数之法出于圆方。”

圆径一而周三，方径一而匝四，伸圆之周而为句，展方之匝而为股，共结一角邪适弦五政圆方邪径相通之率。故曰：“数之法出于圆方。” 圆方者，天地之形，阴阳之数，然则周公之所问天地也，是以商高陈圆方之形以见其象，因奇耦之数以制其法，所谓言约旨远，微妙幽通矣。

圆出于方，方出于矩。

“圆规之数，理之以方” ，方，周匝也。“方正之物，出之以矩” ，矩，广长也。

矩出于“九九八十一。”

“推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之” ，九九者，乘除之原也。

故折矩。

“故” 者，申事之辞也。将为句股之率，故曰《折矩》也。

“以”“为”句，广三。

广圆之周横者，谓之广。句亦广。广，短也。

《股修》四。

“应方之匝从” 者，谓之修股，亦修，修长也。

径隅五。

自然相应之率，径直隅角也，亦谓之“弦。”

《既方》之外，半其一矩。

句股之法：先知二数，然后推一，见句、股，然后求弦。先各自乘，成其实。实成势化，外乃变通，故曰“既方其外。” 或并句、股之实，以求弦实之中，乃求句、股之分，并实不正等，更相取与，互有所得，故曰“半其一矩。” 其术：句股各自乘，三三，如九四四一十六，并，为弦自乘之，实二十五；减句于弦，为股之实一十六；减股于弦，为句之实九。

环而共盘，得成三四五。

盘，读如“盘桓” 之“盘” ，言取而并减之，积环屈而共盘之，谓。开方除之其一面，故曰“得成三四五” 也。

两矩共长二十有五，是谓《积矩》。

“两矩” 者，句股各自乘之实。“共长” 者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。

故禹之所以治天下者，此数之所生也。

禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注于海而无浸溺，乃句股之所由生也。

左图

弦图

右图

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句股方圆图注

赵君卿曰：“句股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦也。案《弦图》又可以句股相乘，为朱实。二倍之，为朱实。四。以句股之差自相乘，为中黄实。加差实，亦成弦实。以差实减弦实，半其馀，以差为从法。开方除之，复得句矣。加差于句，即股。凡并句股之实即成弦实。或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。句实之矩” 以股弦差为广，股弦并为袤，而股实方其里，减矩句之实，于弦实开其馀，即股倍股在两边，为从法。开矩句之角，即股弦差。加股为弦，以差除句实，得股弦并。以并除句实，亦得股弦差。令并自乘，与句实为实。倍并为法，所得亦弦句实。减并自乘，如法为股股实之矩。以句股差为广，句弦并为袤，而句实方其里。减矩股之实，于弦实开其馀，即句倍句在两边。为从法。开矩股之角，即句弦差。加句为弦，以差除股实，得句弦并。以并除股实，得句弦差。令并自乘，与股实为实。倍并为法，所得，亦弦股实。减并自乘，如法为句。两差相乘，倍而开之，所得，以股弦差增之，为句。以句弦差增之，为股。两差增之，为弦。倍弦实，列句股差实。见弦实者，以图考之，倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多，即句股差实。以差实减之，开其馀，得外大方。大方之面，即句股并也。令并自乘倍弦实，乃减之，开其馀，得中黄方。黄方之面，即句股差。以差减并而半之，为句；加差于并而半之，为股。其倍弦为广袤。合令句股见者自乘，为其实，四实以减之，开其馀，所得，为差；以差减合半，其馀，为广；减广于弦，即所求也。观其迭相规矩，其为反复，互与通分，各有所得。然则统叙群伦，弘纪众理，贯幽入微，钩深致远。故曰：“其裁制万物，唯所为之也。”

释圆方句股注

按：君卿注曰：“句股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

臣鸾曰：假令句三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，开方除之得五，为弦也。〈寅曰：“五五二十五，弦实四面之一也。” 〉

注云：“按《弦图》，又可以句股相乘，为朱实。二倍之，为朱实。四以句股之差，自相乘，为中黄实。”〈寅曰：“句股相乘，其数一十二也。” 〉

臣鸾曰：以句弦差二倍之，为四，自乘，得一十六，为左图“中黄实”也。〈寅曰：甄氏止注以句股十二字之义。〉臣淳风等谨按注云：“以句股之差自乘，为中黄实。”鸾云：“倍句弦差自乘者，苟求异端，虽合其数，于率不通。”〈寅曰句股之差其数一也自乘得一一如一〉注云：“加差实，亦成弦实。”

臣鸾曰：加差实一，并外矩青八得九，并中黄十六得二十五，亦成弦实也。

臣淳风等谨按注云：“加差实一，亦成弦实。”鸾曰：“加差实并外矩及中黄者，虽合其数，于率不通。”〈寅曰：加差实之一于前文所言朱实四之上，朱实之四为二十四，加一为弦实二十五也。〉注云：“以差实减弦实，半其馀，以差为从法。”开方除之，复得句矣。

臣鸾曰：以差实九，减弦实二十五，馀十六，半之，得八，以差一加之，得九，开之得句三也。

臣淳风等谨按《注宜》云：“以差实一减弦实二十五，馀二十四，半之为十二。”以差一从开方除之，得句三。鸾云“以差实九减弦实者，虽合其数，于率不通。”〈顾应祥曰：以差实一，减弦实二十五。〉

《注》云：“加差于句，即股。”

臣鸾曰：加差一于句三，得股四也。

《注》云：“凡并句股之实，即成弦实。”

臣鸾曰：句实九，股实十六，并之得二十五也。注云：“或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。句实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤。”

臣鸾曰：以股弦差一为广，股四并弦五得九为袤，《左图》《外青》也。

《注》云：“而股实，方其里。”

臣鸾曰：“为《左图》中黄十六。”

注云：“减矩句之实，于弦实开其馀，即股。”

臣鸾曰：减矩句之实九，于弦实二十五，馀一十六，开之得四股也。

注云：“倍股在两边，为从法，开矩句之角，即股弦差。” 臣鸾曰：“倍股四得八，在圆两边，以为从法，开矩句之角，九得一也。”

注云加股为弦

《臣鸾》曰：加差一于股四则弦五也。

注云：“以差除句实，得股、弦并。”

臣鸾曰：以差一除句实九得九，即股四弦五，并为九也。

注云：“出并除句实，亦得股、弦差。”

臣鸾曰：以九除句实九，得股弦差一。

注云：“令并自乘，与句实为实。”

臣鸾曰：令并股弦得九，自乘，为八十一，又与句实九，加之，得九十，为实。

《注》云：“倍并为法。”

臣鸾曰：倍股弦，并九得十八者为法。

注云所得亦弦

臣鸾曰：除之得五，为“弦。”〈寅曰：以法十八，除实九十。〉注云：“句实减并自乘，如法，为股。”

臣鸾曰：以句实九减并，自乘，八十一，馀七十二，以法十八除之，得四，为股也。

注云：“股实之矩，以句弦差为广，句弦并为袤。” 臣鸾曰：“股实之矩，以句弦差二为广，句弦并八为袤。”

《注》云：“而句实方其裹，减矩股之实，于弦实开其馀，即句。”

臣鸾曰：句实有九方，在右图里。以减矩股之实十六，于弦实二十五，馀九，开之得三句也。

注云：“倍句在两边。”

《臣鸾》曰：“各三也。”〈寅曰：“倍之，得六。” 〉

注云：“为从法，开矩股之角，即句股差。” 加句为弦。臣鸾曰：“加差二于句三，则弦五也。”

注云：“以差除股实，得句、弦并。”

臣鸾曰：以差二除股实十六，得八，句三弦五，并为八也。

注云：“以并除股实，亦得句、弦差。”

臣鸾曰：以并除股实十六，得句弦差二。

注云：“令并自乘，与股实，为实。”

臣鸾曰：令并八自乘，得六十四，与股实十六加之，得八十，为实。

《注》云：“倍并为法。”

臣鸾曰：倍句弦并八得十六为法。

注云所得亦弦

《臣鸾》曰：除之得弦五也。

注云：“股实减并自乘，如法为句。”

臣鸾曰：以股实十六，减并，自乘，六十四，馀四十八，以法十六除之，得三，为句也。

注云：“两差相乘，倍而开之，所得，增股弦差为句。” 臣鸾曰：以股弦差一乘句弦差二，得二，倍之，为四，开之，得二，以股弦差一增之，得三句也。

注云：“以句弦差，增之为股。”

《臣鸾》曰：以弦差二增之，得四股也。

注云：“两差，增之为弦。”

臣鸾曰：以股弦差一、句弦差二，增之得五弦也。注云：“倍弦实列句股差实见弦实者，以图考之，倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多，即句股差实。” 臣鸾曰：“倍弦实二十五得五十，满外大方七七四十九而多黄实，黄实之多，即句股差实也。”

注云：“以差实减之，开其馀，得外大方。” 大方之面，即句、股并。

臣鸾曰：以差实一减五十，馀四十九开之，即大方之面七也，亦是句股并也。

注云：令并自乘，倍弦实，乃减之，开其馀，得中黄方。黄方之面，即句股差。

臣鸾曰：并七自乘，得四十九，倍弦实二十五得五。

“十以减之，馀即《中黄方差》。” 实一也，故开之，即句股差一也。

注云：“以差减并而半之为句。”

臣鸾曰：以差一，减并七，馀六，半之，得三句也。注云：“加差于并而半之，为股。”

臣鸾曰：以差一，加并七得八而半之，得四股也。注云：“其倍弦为广袤合。”

《臣鸾》曰：“倍弦二十五为五十，为广袤合。”

臣淳风等谨按列《广袤术》，宜云“倍弦五得十”，为广袤合。今鸾云“倍弦二十五”者，错也。〈《寅》曰：“句广一，袤九；股广二，袤八。” 〉注云：“而令句股见”者，自乘，为其实，四实以减之，开其馀，所得，为差。

臣鸾曰：令自乘者，以七七自乘，得四十九，四实大方。句股之中有四方，一方之中有方十二，四实，有四十八，减上四十九，馀一也。开之得一，即句股差一。

臣淳风等谨按注意，“令自乘者十，自乘得一百四。实者，大方。广袤之中有四方。若据句实而言，一方之中有实九，四实有三十六，减上一百，馀六十四，开之得八，即广袤差。此是股弦差减股弦并馀数。若据股实而言之，一方之中有实十六，四实有六十四，减上一百，馀三十六，开之得六，即广袤差。此是句股差减句”弦并馀数也。鸾云：“令自乘者，以七七自乘，得四十九，四实”者，大方句股之中有四方，一方之中有方十二。四实者，四十八，减上四十九，馀一也。开之得一，即句股差。一者，错也。〈寅曰：“大方之中有四弦实” ，故四其句实，得三十六，减之，馀六十四；开其馀，得八，为句之广袤差。四其股实，得六十四，减之，馀三十六，开得六，为股之广袤差。所谓广袤差者，句广一而袤九，股广二而袤八，广袤相减之馀也。〉《注》云：“以差减合半，其馀为广。”

臣鸾曰：以差一减合七、馀六，半之，得三广也。臣淳风等谨按注意以差八、六各减合十、馀二四，半之得一二，一即股弦差，二即句弦差，以差减弦，即各袤广也。鸾云“以差一减合七、馀六，半之得三广”者，错也。〈寅曰：“以句之广袤差八，减广袤，合十，馀二半之，为句之广。以股袤差六，减广袤，合十，馀四半之，为股之广。” 二《注》皆未莹。〉

注云：“减广于弦，即所求也。”

《臣鸾》曰：“以广三减弦五，即所求差二” 也。

臣淳风等谨按注意：以广一二各减弦五，即所求股四、句三也。鸾云：“以广三减弦五，即所求差二”者，此错也。〈寅曰：“《甄鸾述说》终此。” 〉

周公曰：“大哉言数！”〈唐寅曰此经文也〉

心达数术之意，故发“大哉”之叹。〈唐寅曰：此《赵注》也。〉

请问用矩之道？

谓“用表之宜，测望之法。”

《商高》曰：“平矩以正绳。”

以求绳之正，定平悬之体，将欲慎毫厘之差，防千里之失。

偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。

言“施用无方，曲从其事，术在《九章》。”

环矩以为圆，合矩以为方。

既以追寻情理，又可造制圆方，言“矩之于物，无所不至。”

“方属地，圆属天”，天圆地方。

物有圆方，数有奇耦。天动为圆，其数奇；地静为方，其数耦。此配阴阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？又曰：北极之下，高人所居六万里，滂沲四𬯎而下，天之中央亦高四旁六万里，是为形状同归而不殊涂，隆高齐耽而易以陈。故曰：“天似盖笠，地法覆盘。”

方数为典，以方出圆。

夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常而圆者多变，故当制法而理之。理之法者，半周、半径相乘，则得方矣。又可周径相乘四而一，又可径自乘三之四而一，又可周自乘十二而一，“故圆出于方。”〈典，实也。〉

《笠》以写天，

笠亦如葢，其形正圆，戴之所以象天。写，犹象也。言笠之体象天之形。《诗》云：“何蓑何笠。” 此之义也。

“天青黑，地黄赤”，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里， 以象天地之位。

既象其形，又法其位。言相方类，不亦似乎！

是故“知地者智，知天者圣”，

言天之高大，地之广远，自非圣智，其孰能与于此乎。

智出于句。

句亦影也，察句之损益，加物之高远，故曰“智出于句。”

句出于矩。

矩谓之表，表不移亦为句。为句将正，故曰“句出于矩” 焉。

夫《矩》之于数，其裁制万物，唯所为耳

言“包含几微，转通旋环” 也。

周公曰：“善哉！”

《善哉》言明晓之意，所谓问一事而万事达。

昔者荣方问于陈子。

荣方、陈子是周公之后人，非周髀之本文。然此二人共相解释，后之学者谓之《章句》，因从其类，列于事下。又欲尊而远之，故云“昔者时世官号，未之前闻。”

曰：“今者窃闻夫子之道。”

《荣方问：陈》子能述商高之旨，明周公之道。

知日之高大。

日去地与圆径之术

光之所照，

日旁照之所及也

一日所行

日行天之度也

远近之数，

《冬至》、夏至，去人之远近也。

人所望见。

人目之所极也

《四极之穷》。

日光之所远也

列星之宿。

二十八宿之度也

《天地之广袤》，

袤，长也。东西南北谓之《广长》。

夫子之道，皆能知之，其信有之乎？

能明察之，故不昧不疑。

陈子曰：“然。”

言可知也

《荣方》曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之。”

欲以不省之情，而观《大雅》之法。

今若《方》者，可教此道邪？

不能自料访之贤者

陈子曰：“然。”

言可教也

此皆算术之所及。

言《周髀》之法，出于算术之妙也。

子之于算，足以知此矣。若诚累思之。

累，重也。言若诚能重累思之，则达至微之理。

于是荣方归而思之，数日不能得。

虽潜心驰思，而才单智竭。

复见《陈子》曰：“方思之不能得，敢请问之。”《陈子》曰：“思之 未熟。”

熟犹善也

此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能 通类。

“定高远者，立两表；望悬邈者施累矩。” 言未能通类，求句股之意。

是“智有所不及，而神有所穷。”

言不能通类，是情智有所不及，而神思有所穷滞。

夫“《道术》言约而用博”者，“智类之明。”

夫道术，圣人之所以极深而研几。唯深也，故能通天下之志；唯几也，故能成天下之务。是以其言约，其旨远，故曰：“智类之明也。”

问、“一类而万事达者，谓之知道。”

引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣，故谓之“知道” 也。

今子所学。

欲知天地之数

“算数之术，是用智矣，而尚有所难”，是子之智类单。

“算术所包，尚以为难” ，是子智类单尽。

夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。

不能广博

《既博》矣，患其不习。

不能究习

《既习矣》，患其不能知。

不能知类

故“同术相学。”

《术教》同者，则当学“通类” 之意。

《同事相观》。

《事类同》者，观其旨趣之类。

此《列士》之愚智。

列，犹别也。言视其术，鉴其学，则愚智者别矣。

“贤不肖”之所分。

“贤者达于事物之理，不肖者暗于照察之情，至于役神驰思，聪明殊别” 矣。

“是故能类以合类”，此贤者业精习智之质也。

“学其伦类，观其指归” ，唯贤智精习者能之也。

夫“学同业而不能入神”者，此不肖无智，而业不能精 习

俱学道术，明不察，不能以类合类而长之，此心游目荡，义不入神也。

是故算不能精习，吾岂以道隐子哉。固复熟思之。

凡教之道，不愤不启，不悱不发，愤而悱之，然后启发，既不精思，又不学习，故言“吾无隐也。” 尔。固复熟思之，举一隅，使反之以三也。

荣方复归，思之数日，不能得。复见《陈子》曰：“方思之以 精熟矣，智有所不及而神有所穷，知不能得，愿终请 说之。”

自知不敏，避席而请说之。

陈子曰：“复坐吾语汝。”于是荣方复坐而请陈子说之 曰：“夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立 竿测影。”

臣鸾曰：“南戴日下立八尺表，表影千里而差一寸，是则天上一寸，地下千里。” 今夏至影有一尺六寸，故其万六千里；冬至影一丈三尺五寸，则知其十三万五千里。

此一者，天道之数。

言“天道数一” ，悉以如此。

《周髀》长八尺，夏至之日晷一尺六寸。

晷，影也。此数望之，从周城之南千里也。而《周官》测影，尺有六寸，盖出周城南千里也。《记》云：“神州之土，方五千里，虽差一寸，不出畿地之分。先王知之，是故建王国。”

髀者，股也；《正晷》者，句也。

以髀为股，以影为句，股定然后可以度日之高远。“正晷” 者，日中之时节也。

《正南千里》句，一尺五寸。《正北千里》句，一尺七寸。

候其影使表相去二千里，影差二寸，将求日之高远，故先见其表影之率。

日益表，南晷日益长，候句，六尺。

“候其影使长六尺” 者，欲令句股相应，句三，股四，弦五，句六，股八，弦十。

即取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日。

以径寸之空视日之影，髀长则大，矩短则小，正满八尺也。捕犹“索” 也，“掩” 犹覆也。

而日“应空”之孔。

“掩若重规” ，更言八尺者，举其定也。又曰：“近则大，远则小，以影六尺为正。”

由此观之，率八十寸而得径一寸。

以此为“《日髀》之率。”

故以“句”为首，以“髀”为股。

首犹始也，股犹末也。句能制物之率，股能制句之正，欲以为总见之数，立精理之本，明可以周万事，智可以达无方，所谓“智出于句，句出于矩” 也。

从“髀至日下”六万里，而“髀无影。”从此以上至日，则八 万里。

图

臣鸾曰：“求从髀至日下六万里者，先置南表，晷六尺上，十之为六十寸，以两表相去二千里乘，得十二万里为实，以影差二寸为法除之，得日底地去表六万里。求从髀至日八万里者，先置表高八尺上，十之为八十寸，以两表相去二千里乘之，得十六万为实，以影差二寸为法除之，得从表端上至日八万里也。”

若求“邪至日”者，以日下为句，日高为股，句股各自乘， 并而《开方》除之，得邪至日从髀所旁至日所十万里。

旁此古邪宇求其数之术。曰：“以表南至日下六万里为句，以日高八万里为股，为之求弦。句股各自乘并，而开方除之，即邪至日之所也。”

臣鸾曰：求从髀邪至日。所法：先置南至日底六万里为句，重张自乘得三十六亿为句实；更置日高八万里为股，重张自乘得六十四亿为股实；并句股实得一百亿为弦实，开方除之，得从王城至日十万里。今有十万里，问径几何？曰：“一千二百五十里八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实八。”

十寸为法即得

以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五 十里。

法当以空径为句率，竹长为股率，日去人为大股，大股之句即日径也。其术以句率乘大股、股率而一。此以八十里为法，十万里为实。实如法而一，即得日径。

故曰“日晷径千二百五十里。”

臣鸾曰：求以率八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。法：先置竹孔径一寸为十里，为句，更置邪去日十万里为股，以句十里乘股十万里得一亿为实。更置日去地八万里为法，除实，得日晷径千二百五十里，故云“日晷径” 也。

臣淳风等谨按夏至王城望日，立两表，相去二十里，表高八尺，影去前表一尺五寸，去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实，实如法得万五千里，为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实，实如法得八万里，为表上去日里。仍以表寸为日高，影寸为日下。待日渐高，候日影六尺，用之为句，以表为股，为之求弦，得十万里为邪表数目。取管圆孔径一寸，长八尺，望日满筒以为率，长八十寸为一邪，去日十万里，日径即千二百五十里。以理推之，法云“天之处心，高于外衡六万里” 者，此乃语与术违，句六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方，自然之数。盖依绳水之定，施之于表矩。然则天无别体，用日以为高下。术既随手而迁，高下从何而出？语术相违，是为大失。又按二表下地，依水平法定其高下。若北表地高则以为勾，以间为弦，置其高数，其影乘之，其表除之，所得益股，为定间。若北表下者，亦置所下，以法乘除，所得以减股，为定间。又以高下之数与间相约，为地高远之率。求远者，影乘定间，差法而一，所得加表日之高也。求邪去地者，弦乘定间，差法而一，所得加弦日邪去地。此三等至皆以日为正。求日下地高下者，置戴日之远近，地高下率乘之，如间率而一，所得为日下地高下，形势隆杀与表间同，可依此率。若形势不等，非代所知，率日径求日大小者，径率乘间，如法而一，得日径。此径当，即得不待，影长六尺。凡度日者，先须定二矩，水平者影南北立勾齐高四尺，相去一丈，以二弦候牵于勾上，《并率》二则拟为候影。勾上立表，弦下望日，前一则上畔，后一则下畔，引则就影，合与表日参直。二至前后三四日间，影不移处即是。当以候表并望人取一影亦可。日径影端，表头为则。然地有高下，表望不同。后六术乃穷其实。

第一《后高前下术》：“高为句，表，间为弦，后复影为所求率，表为有所率，以句为所有数，所得益股为定间。”

第二《后下术》：以其所下为句，表间为弦，置其所下，以影乘表，除所得减股，馀为定间。

第三，邪下术：依其北高之率，高其句影，令与地势隆杀相似。馀同平法。假令髀邪下而南，其邪亦同，不须别望，但弦短与句股不得相应，其南里数，亦随地势，不得校乎平则促。若用此术，但得南望。若北望者，即用句照南下之术，当北高之地。

第四邪上术，依其后下之率，下其句影，此谓回望北极以为高远者。望去取差，亦同南望。此术弦长亦与句股不得相应，唯得北望，不得南望。若南望者，即用句影北高之术。

第五平术，不论高下，周髀度日，用此平术，故东西南北四望皆通，远近一差，不须别术。

第六术者，是外衡。其径云“四十七万六千里”，半之得二十三万八千里者，是外衡去天心之处，心高于外衡六万里。为率。南行二十三万八千里，下校六万里，约之，得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步，差下三十步。〈阙。〉“三十步，大强差下十步。以此为准，则不合有平地。地既平，而用术尤乖理验。且自古论晷影差变，每有不同，今略其梗概，取其推步之要。《尚书考灵曜》云：‘日永影尺五寸，日短一十三尺，日正南千里而减一寸’。”张衡《灵宪》云：“悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。”郑元注《周礼》云：“凡日影于地千里而差一寸。”王蕃、姜岌因此为说。按前诸说，是数并同，其言更出，书非直有此，以事考量，恐非实矣。谨按宋元嘉十九年，岁在壬午，遣使往交州度日影。夏至之日，影在表南三寸二分。《太康地理志》，交趾去洛阳一万一千里，阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城，洛阳在其东南。较而言之，令阳城去交趾近于洛阳，去《交趾》一百八十里，则《交趾》去阳城一万八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。况复“人路迂回，羊肠曲折，方于鸟道，所较弥多

以事验之，又未盈五百里而差一寸明矣。千里之言，固非实也。何承天又云：“诏以土圭测影，考校二至。”〈阙。〉三日有馀。从来积岁及交州所上，验其增减，亦相符合。此则影差之验也。《周礼·大司徒职》曰：“夏至之影，尺有五寸。”马融以为洛阳，郑元以为阳城。《尚书考灵曜》，日永影一尺五寸。郑元以为阳城，日短十三尺。《易纬通卦》验夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。刘向《洪范传》：夏至影一尺五寸八分。是时汉都长安，而向不言测影处所，若在长安，则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云：“春秋分长七尺三寸六分。”此即总是虚妄。《后汉历志》，夏至影一尺五寸。后汉洛阳，冬至一丈三尺。自梁天监已前，并同此数。魏景初，夏至影一尺五寸，魏初都许昌，与颍川相近，后都洛阳，又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影，似不别影之冬至一丈三尺；晋姜岌影一尺五寸；宋都建康，在江表验影之数，遥取阳城，冬至一丈三尺；宋大明祖冲之历，夏至影一尺五寸；宋都秣陵，遥取影同前冬至一丈三尺。后魏信都芳注周髀《四术》云：“按永平元年戊子，是梁天监之七年也。”见《洛阳测影》，又见《公孙崇集》诸朝士共观秘书影，同是夏至之日。以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸八分，虽无六尺，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞邝以九尺表于江左建康测夏至日中影长一尺三寸二分，以八尺表测之，影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分，八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开“皇元年冬至，影长一丈二尺七寸二分。‘开皇二年夏至，影一尺四寸八分。冬至，长安测；夏至，洛阳测’。”及王邵《隋灵感志》，“冬至一丈二尺七寸二分”，长安测也。“开皇四年夏至一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分”，洛阳测也。“大唐贞观二年己丑五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六”分，长安测也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影，或长短齐其盈缩之中，则夏至之影尺有五寸，为近定实矣。以《周官》推之，洛阳为所交会，则冬至一丈二尺五寸，亦为近矣。按梁武帝都金陵云：“洛阳南北大较千里，以尺表令其有九尺影”，则大《同十年》，江左八尺表，夏至中影长一尺一寸七分。若是为夏至八尺表千里而差一寸弱矣。由此推验，即是夏至影差，降升不同，南北远近，数亦有异。若以一等永定，恐皆乖理之实。

日高图

日高图注

赵君卿曰：“黄甲与黄乙，其实正等。以表高乘两表相去，为黄甲之实；以影差为黄甲之广，而一所得，则变得黄甲之袤，上与日齐。按图当加表高。今言八万里者，从表以上复加之。青丙与青己，其实亦等，黄甲与青丙相连，黄乙与青己相连，其实亦等，皆以影差为广。”

臣鸾曰：求日高法：先置表高八尺为八万里为袤。以相两表，相去二千里为广，乘袤八万里得一亿。

六千万里为黄甲之实。以影差二寸为二千里为法。除之，得黄乙之袤八万里，即上与日齐。此言王城去天名曰甲，日底地上至日名曰乙，上天名青丙，下地名青戊。据影六尺，王城上天南至日六万里，王城南至日底地亦六万里，是上下等数日。夏至南万六千里者，立表八尺于王城，影一尺六寸，影寸千里，故王城去夏至日底地万六千里也。

法曰：周髀长八尺，句之损益，寸千里。

《句》谓影也，言悬天之影，薄地之仪，皆千里而差一寸。

故曰：“极者，天广袤也。”

言《极》之远近有定，则天广长可知。

今立表高八尺以望极，其句一丈三寸。由此观之，则 从周北十万三千里而至极下。

谓冬至日加卯酉之时，若春秋分之夜半，极南两旁与天中齐，故以为周去天中之数。

《荣方》曰：“周髀者何？”陈子曰：“古时天子治周。”

古时天子谓周成王时以治周，居王城，故曰：“昔先王之经邑，奄观九隩，靡地不营，土圭测影，不缩不盈。当风雨之所交，然后可以建王城。” 此之谓也。

此数望之从周，故曰《周髀》。

言周都河南，为四方之中，故以为“望主” 也。

“髀”者，表也。

用其行事，故曰“髀。” 由此捕望故曰“表。” 影为句，故曰“句股” 也。

日夏至，南万六千里；日冬至，南十三万五千里；日中 无影。以此观之，从南至夏至之日中，十一万九千里。

诸言极者，斥天之中极去周十万三千里，亦谓“极与天中齐，时更加南万六千里” 是也。

北，至其夜半亦然。

“日极在极北” ，正等也。

凡径二十三万八千里。

并南北之数也

此夏至日道之径也。

“其径” 者，圆中之直者也。

其周七十一万四千里。

“周，匝也。” 谓天戴日，行其数。以三乘径。

臣鸾曰：“求夏至日道径法列夏至日去天中心十一万九千里，夏至夜一日亦去天中心十一万九千里，并之，得夏至日道径二十三万八千里” ，三乘径，得周七十一万四千里也。

从夏至之日中，至冬至之日中，十一万九千里。

冬至日中去周十三万五千里，除夏至日中去周一万六千里是也。

“北至极下亦然”，则从极南至冬至之日中，二十三万 八千里；从极北至其夜半亦然，凡径四十七万六千 里。此冬至日道径也，其周百四十二万八千里。从春 秋分之日中，北至极下，十七万八千五百里。

《春秋》之日影七尺五寸五分，加《望极》之句一丈三寸。

臣鸾曰：求冬至日道径：法列《夏至》去冬至日中十一万九千里，从夏至日道北径亦十一万九千里，并之，得冬至日中北极下二十三万八千里，从极至夜半亦二十三万八千里，并之，得冬至道径四十七万六千里。以三乘径，即冬至日道周一百四十二万八千里。

“从极下北至其夜半亦然。”凡径三十五万七千里，周 一百七万一千里。故日月之道常缘宿，日道亦与宿 正。

内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。日之行也，一出一入，或表或里。五月二十三分，月之二十一道一交，谓之合朔交会，及月蚀相去之数，故曰“缘宿” 也。日行黄道，以宿为正，故曰“宿正。” 于中衡之数，与黄道等。

臣鸾曰：“求春秋分日道法：列春秋分日中北至极下十七万八千五百里，从北极北至其夜半亦然。并之，得春、秋分日道径三十五万七千里。以三乘径，即日道周一百七万一千里。求黄道径法：列从北极南至夏至日中一十一万九千里，以从极北去冬至夜半二十三万八千里，并之，得黄道三十五万七千里。从” 极南至冬至日，北至夏至日夜半，亦黄道径也。以三乘径周，得一百七万一千里也。

“南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日 中，北至夏至之夜半”，亦径三十五万七千里，周一百 七万一千里。

此皆“黄道之数，与《中衡》等。” 。