钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　算法部汇考三

　　周髀算经〈卷下〉

历法典第一百十一卷

算法部汇考三

《周髀算经》

卷下

凡日月运行四极之道。

谓外衡也。日月周行四方，至外衡而还，故曰“四极。”

极下者，其地高，人所居六万里，滂沲四𬯎而下。

从《外衡主》极下，乃高六万里，四𬯎而下如覆盘。

《天之中央》亦高，四旁六万里；

《四旁》犹“四极” 也。随地穹窿而高如盖笠。

故日光外所照，径八十一万里，周二百四十三万里。

日至外衡而还出，其光十六万七千里，故曰“照。”

故日运行处，极北：北方日中，南方夜半；日在极东，东 方日中，西方夜半；日在极南，南方日中，北方夜半，日 在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极 四和。

子午卯酉得东西南北之中，天地所合，四时所交，故曰“四和。”

昼夜易处。

南方为昼北方为夜

加四时相及。

南方日中北方夜半

然其阴阳所终，冬至所极，皆若一也。

“阴阳之数齐，冬夏之节同，寒暑之气均，长短之晷等” ，周回无差，运变不二。

天象盖笠，地法覆盘。

见乃谓之象，形乃谓之法，在上故准盖，在下故拟盘。象法义同，“盖” 、“盘” 、形等，互文异器，以别尊卑，仰象俯法，名号殊矣。

天离地，八万里。

然其隆高相从，其相去八万里。

冬至之日，虽在外衡，常出极下地上二万里。

“天地隆高” ，高列外衡六万里。冬至之日，虽在外衡，其相望为平地，直常出地北极下地上二万里。言日月不相障蔽，故能扬光于昼，纳明于夜。

故“日兆月。”

日者，阳之精，譬犹火光，月者，阴之精，譬犹水光。月含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽，当日即光盈，就日即明尽，月禀日光而成形兆，故云“日兆月” 也。

月光乃出，故成“明月。”

待日然后能舒其光，以成其明。

星辰，乃得行列。

《灵宪》曰：“众星被曜，因水火转光，故能成其行列。”

是故“秋分以往到冬至，三光之精微以成其道还。”

“日从中衡往至外衡” ，其径日远，以其相远，故光微。不言从冬至到春分者，俱在中衡之外，其同可知。

此“天地阴阳之性”自然也。

自然如此，故曰“性也。”

欲知北极枢，璇周四极。

极中不动，璇玑也。言北极璇玑，周旋四至。极，至也。

常以夏至夜半时，北极，南游所极。

《游在枢》，南之所至。

冬至夜半时，北游所极。

《游在枢》，北之所至。

《冬至》日加酉之时，西游所极。

《游在枢》，西之所至。

日加卯之时，东游所极。

《游在枢》，东之所至。

此北极《璇玑》四游。

《北极游》常近冬至，而言夏至夜半者，极见冬至夜半，极不见也。

《正北极》，璇玑之中。正北，天之中，正极之所游。

极处璇玑之中，天心之正，故曰“璇玑” 也。

冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，希望北极 中大星，引绳致地而识之。

《颠首》，希仰。致，至也。“识之” 者，所望大星，表首及绳至地，参相直而识之也。

又到旦明日加卯之时，复引绳希望之首，及绳致地 而识其端，相去二尺三寸。

日加卯酉之时，望至地之，相去子也。

故东西极二万三千里

“影寸千里” ，故为东西所致之里数也。

其两端，相去正东西，

“以绳至地” ，所谓“两端相直” ，为东西之正也。

中，折之以指，表正南北。

所识两端之中与表为南北之正。

加此时者，皆以《漏揆》度之，此东西南北之时。

冬至日加卯酉者，北极之正，东西日不见矣。以漏度之者，一日一夜百刻，从半夜至日中，从日中至夜半，无冬夏，常各五十刻。中分之得二十五刻，加极卯酉之时，揆亦度也。

其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中，去周十万三 千里。

《北极》东西之时，与天中齐，故以所望表勾为天之去周之里数；

何以知其南北极之时？以冬至夜半，北游所极也，北 过天中万一千五百里；以夏至南游所极，不及天中 万一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之。北极至 地所识丈一尺四寸半，故去周十二万四千五百里； 过天中万一千五百里，其南极至地所识九尺一寸 半，故去周九万一千五百里，其南不及天中万一千 五百里。此璇玑四极南北过不及之法，东西南北之 正勾。

以表为股，以影为勾。绳至地所，亦加矩中。径二万六千六百三十二里有奇。法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有奇减之，馀二万六千六百三十三里。取一里破为一百五十六万六千七百三十五，分减一十四万三千三百一十一，馀一百四十二万三千四百二十四，即径东西二万六千六百三十二里、一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。

周去极十万三千里，日去人十六万七千里。《夏至》去 周一万六千里。夏至日道径二十三万八千里，周七 十一万四千里。春秋分日道径三十五万七千里，周 一百七万一千里。冬至日道径四十七万六千里，周 一百四十二万八千里。日光四极八十一万里，周二 百四十三万里，从周南三十万二千里。

“影” 言正勾者，四方之影皆正而定也。

璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰，故 不生万物。

《春秋分》，谓之“阴阳之中” ，而日光所照，适至璇玑之径，为阳绝阴彰，故万物不复生也。

其术曰：“立正勾定之。”

正四方之法也

“以日始出立表而识其晷，日入复识其晷。”晷之两端 相直者，正东西也；中折之指表者，正南北也。极下不 生万物，何以知之？

以何法知之也

冬至之日，去夏至十一万九千里，万物尽死。夏至之 日去北极十一万九千里，是以“知极下不生万物，北 极左右，夏有不释之冰。”

“冰冻不解。” 是以推之。夏至之日。外衡之下为冬矣。万物当死。此日远近为冬夏。非阴阳之气。爽或疑焉。

“春分、秋分，日在中衡”；“春分以往，日益北五万九千五 百里而夏至；秋分以往，日益南五万九千五百里而 冬至。”

并冬至、夏至，相去十一万九千里；以往，日益北，近中衡；以往，日益南，远中衡。

中衡去周七万五千五百里。

影七尺五寸五分

中衡左右，冬有不死之草，夏长之类。

此欲以内衡之外，外衡之内，常为夏也。然其修《广爽》，未之前闻。

此阳彰阴微。故“万物不死。五谷一岁再熟。”

近日阳多农再熟

凡北极之左右，物有朝生暮获。

获，疑作“获” ，谓葶苈荠麦冬生之类。北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜。物有朝生暮获者，亦有春刍而秋熟，然其所育，皆是周地冬生之类，荠麦之属。言“左右” 者，不在璇玑二万三千里之内也。此阳微阴彰，故无夏长之类。

立“二十八宿以周天历度”之法：

以，用也。列二十八宿之度，用周天。

《术》曰：“倍正南方。”

倍，犹背也。《正南方》者，二极之正南北也。

以正勾定之。

正勾之法：“日出入，识其晷。晷两端相直者，正东西，中折之，以指表，正南北。”

即平地径二十一步，周六十三步，令其平矩以水正。

如定水之平，故曰“平矩。” 以水正也。

《则位》径一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百

六十五尺四分尺之一。

径一百二十一尺七寸五分，周三百六十五尺二寸五分者，四分之一，而或言“一百二十尺” ，举其全数。

以应周天三百六十五度四分度之一，审定分之无， 令有纤微。

所分平地周一尺为一度，二寸五分为四分度之一。其令审定，不欲使有细小之差也。纤微，细分也。臣鸾曰：“求一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五度四分度之一。” 法列径一百二十一尺七寸五分，以三乘，得三百六十五尺二寸五分。二寸五分者，即四分之一，此即周天三百六十五度四分度之一。

分度以定，则“正督经纬”，而四分之一，合各九十一度 十六分度之五。

“南北为经，东西为纬” ，督亦通尺，周天四分之一，又以四乘分母，以法除之。

臣鸾曰：求分度以定四分之一，合各九十一度十六分度之五。法列周天三百六十五度，以四分度之一而通分内之五法千四百六十一为实，更以四乘分母，得十六为法，除之得九十一，不尽五，即是各九十一度十六分度之五也。

于是圆定而正。

分所圆为天度，又四分之，皆定而正。

则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星 之中。

“引绳至经纬之交” 以望之，星与表绳参相直也。

“则复望须女之星”先至者。

复候须女中，则当以绳望之。

如复以表绳，希望须女，先至定中。

《须女》之先至者，又复如上引绳，至经纬之交以望之。

即以一游仪，希望牵牛中央星，出中正表西几何度？

游仪，亦表也。游仪移望星为正，知星出中正之表西几何度，故曰“游仪。”

各如游仪所至之尺为度数。

所游分圆周一尺，应天一度，故以游仪所至尺数为度。

游在于八尺之上，故知“牵牛八度。”

须女中而望牵牛，游在八尺之上，故牵牛为八度。

其次星放此，以尽“二十八宿度”则之矣。

皆如此上法定

立周度者。

周天之度

各以其所先至《游仪度》上。

二十八宿，不以一星为体，皆以先至之星为正之度。

“《东辐》引绳”，就中央之正以为毂，则正矣。

以经纬之交为毂，以圆度为辐。知一宿得几何度，则引绳如辐凑。毂为正望星定度，皆以方为正南，知二十八宿为几何度，然后环而布之也。

日所以入，亦以周定之。

亦同望星之周

欲知日之出入，

《出入二十八宿》，东西南北面之宿，列置各应其方，立表望之，知日出入何宿，从出入径几何度。

即以三百六十五度四分度之一，而各置二十八宿。

以二十八宿列置地所圆周之度，使四面之宿各应其方。

以“东井夜半中，牵牛之初，临子之中。”

“东井、牵牛” ，相对之宿也。东井临午，则牵牛临于子也。

东井出中正表西三十度十六分度之七，而临未之 中，牵牛初亦当临丑之中。

分周天之度为十二位，而十二辰各当其一，所应十二月从午至未三十度十六分度之七，未与丑相对，而东井牵牛之所居分之法巳陈于上矣。臣鸾曰：“求东井出中正表西三十度十六分度之七，法先通周天，得一千四百六十一为实。以位法十二乘周天分母，以得四十八为法。除实得三十度，不尽二十一，更” 副置法实等数，平于三约不尽二十一得七，约法四十八，得十六，即位三十度一十六分度之七。

于是“天与地协。”

协，合也。置东井、牵牛，使居丑未相对，则天之列宿与地所为，圆周相应合，得之矣。

乃以置周二十八宿。

“从东井牵牛所居” ，以置十二位焉。

置以定，乃复置周度之中央立正表。

置周度之中央者，经纬之交也。

以冬至、夏至之日以望，日始出也。立一游仪于度上，

以望中央表之晷。

从日所出度上立一游仪，皆望中表之晷。所以然者，当曜不复当日得以觇之也。

“晷参正”，则日所出之宿度。

游仪与中央表及晷参相直，游仪之下，即所出合宿度。

日入放此。

此日出法求之

牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一 步、千四百六十一分步之八百一十九。

牵牛，冬至日所在之宿，于外衡者，与极相去之度数。

术曰：“置外衡，去北极枢二十三万八千里，除《璇玑》万 一千五百里。”

“北极常近牵牛为枢，过极万一千五百里。” 此求去极，故以除之。

其不除者二十二万六千五百里以为实。

以三百乘里为步，以周天分一千四百六十一乘步分，内衡之度，以周天分为法。法有分，故以周天乘实齐同之，得九百九十二亿七千四百九十五万。

以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步、千 四百六十一分步之九百三十三，以为法。

如上乘内步，步为通分，内子，得八亿五千六百八十万。

实如法得一度。

以八亿五千六百八十万为一《度法》。

不满法“求里步。”

上求度故以此次求里，次求步。

约之合三百，得一以为实。

上以三百乘里为步而求里，故以三百约馀分为里之实。

以千四百六十一分为法，得一里。

里步皆以周天之分为母，求度当齐，同法。实等，故乘以散之度，以定当次求，故还为法。

不满法者，三之，如法得百步。

上以三百约之，为里之实，此当以三乘之，为步之实。而言之者，不欲转法更以一位为百实，故从一位命为“百” 也。

不满法者，又上十之，如法得一步。

又复上之者便以一位为一实。故从一实为一。

不满法者，以法命之。

位尽于一步故。以其法命馀为残分。

次放此。

次娄与角及东井皆如此也。

臣鸾曰：“求牵牛星去极法：先列衡去极枢二十三万八千里，减极去枢心一万一千五百里，馀二十二万六千五百里。” 以三百乘里，得六千七百九十五万步，又以周天分一千四百六十一乘之，得九百九十二亿七千四百九十五万步为实。更副置内衡一度数一千九百五十四里二百四十七步、一千四百六十一分步之九百三十三。亦以三百乘一千九百五十四里为步。内二百四十七步，得五十八万六千四百四十七步。又以《周天》分母千四百六十一乘步内子九百三十三，得八亿五千六百八十万为法。以除实得一百一十五度不尽，七亿四千二百九十五万去下法不用。更以三百约馀分，七亿四千二百九十五万，得二百四十七万六千五百为实。更以《周天》分千四百六十一除之，得一千六百九十五里。不尽一百五，以三百乘之，得三万一千五百。复以前法除之，得二十一步，不尽八百一十九，即牵牛去北极一百二十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。

娄与角，去北极九十一度，六百一十里二百六十四 步、千四百六十一分步之千二百九十六。

娄，春分日所在之宿也。角，秋分日所在之宿也，为中衡也。

《术》曰：“置中衡，去北极枢十七万八千五百里，以为实。”

不言加除者，娄与角准北极，在枢两旁，正与枢齐，以娄角无差，故便以去枢之数为实，如上乘，里为步，步为分，得七百八十二亿三千六百五十五万。

以内衡一度数为法，实如法得一度，不满法者求里 步，不满法者以法命之。

臣鸾曰：求娄与角去极法：列中衡，去极枢十七万八千五百里，以三百乘之，得五千三百五十五万步，又以周天分千四百六十一分乘之，得七百八十二亿三千六百五十五万为实。以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三，亦以三百乘里内步二百四。

十七，得五十八万六千四百四十七步。又以分母千四百六十一分乘之，内子得八亿五千六百八十万为法。以除实得九十一度。不尽二亿六千七百七十五万，以三百约之，得八十九万二千五百。下法不用。以《周天》分千四百六十一除之，得六百一十里。不尽千二百九十，以三百乘之，得三十八万七千。如前法除之，得二百六十四步，不尽一千二百九十六，即是娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。

东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十 五步、千四百六十一分步之千二百四十五。

东井，夏至日所在之宿，为内衡。

术曰：“置内衡，去北极枢十一万九千里，加璇玑万一 千五百里。”

《北极》游常近东井，为枢，不及极万一千五百里。此求去极，故加之。

得十三万五百里以为实。

如上乘里为步，步为分，得五百七十一亿九千八百一十五万分。

以内衡一度数为法，实如法得一度，不满法者求里 步，不满者以法命之。

臣鸾曰：求《东井去极》法：列《内衡》去极枢十一万九千里，加《璇玑》万一千五百里，得十三万五百里。以三百乘里为步，复以分母千四百六十一乘之，得五百七十一亿九千八百一十五万为实。通分内衡一度数为步，步为分，得八亿五千六百八十万为法，以除实得六十六度，不尽六亿四千九百三十五万，以三百约之，得二百一十六万四千五百。下法不用，更以《周天》千四百六十一为法，除之，得千四百八十一里，不尽七百五十九。以三百乘之，得二十二万七千七百。复以《周天》分除之，得一百五十五步，不尽一千二百四十五，即是“东井。去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分” 步之一千二百四十五。

凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一。冬 至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。问次节 损益、寸数、长短各几何？

冬至晷长一丈三尺五寸。

《小寒》，丈二尺五寸。〈小分五〉

《大寒》丈一尺五寸一分。〈小分四〉

《立春》丈五寸二分。〈小分三〉

“雨水”、九尺五寸二分。〈小分二〉

《启蛰》八尺五寸四分。〈小分一〉

《春分》，七尺五寸五分。

《清明》、六尺五寸五分。〈小分五〉

《谷雨》《五尺五寸六分》。〈小分四〉

《立夏》四尺五寸七分。〈小分三〉

《小满》，三尺五寸八分。〈小分二〉

《芒种》二尺五寸九分。〈小分一〉

《夏至》，一尺六寸。

《小暑》二尺五寸九分。〈小分一〉

《大暑》二尺五寸八分。〈小分二〉

《立秋》四尺五寸七分。〈小分三〉

《处暑》五尺五寸六分。〈小分四〉

《白露》六尺五寸五分。〈小分五〉

《秋分》七尺五寸五分。

《寒露》八尺五寸四分。〈小分一〉

《霜降》，九尺五寸三分。〈小分二〉

《立冬》丈五寸二分。〈小分三〉

《小雪》丈一尺五寸一分。〈小分四〉

《大雪》，丈二尺五寸。〈小分五〉

凡为八节，二十四气。

二至者，寒暑之极。二分者，阴阳之和。四立者，生长收藏之始。是为“八节。” 节三气三而八之，故为“二十四。”

《气》损益九寸九分、六分分之一。

“损” 者，减也。破一分为六分，然后减之。益者，加也，以小分满六得一从分。

冬至、夏至为损益之始。

“冬至晷长，极当反短，故为《损》之始；夏至晷短，极当反长，故为《益》之始。” 此爽之新术。

术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，馀为实，以十二为法。

“十二” 者，半岁十二气也。“为法” 者，一节益之法。

实如法得一寸，不满法者，十之，以法除之得一分。

求分故十之也

不满法者，以法命之。

法与馀分，皆半之也。旧晷之术，于理未当。谓春秋分者，阴阳晷等各七尺五寸五分，故中衡去周七万五千五百里。按春分之影，七尺五寸七百二十三分，秋分之影，七尺四寸二百六十二分差一寸。

“四百六十一分。以此推之，是为不等。冬至至小寒，多半日之影；夏至至小暑，少半日之影；芒种至夏至，多二日之影；大雪至冬至，多三日之影。又半岁一百八十二日八分日之五，而此用四分日之二率，故一日得七百三十分寸之四百七十六。” 非也。节候不正，十五日有二十二分日之七。以一日之率，十五日为一节，至令差错不通尤甚。《易》曰“旧井无禽，时舍也。” 言法三十日，实当改而舍之。于是爽更为新术，以一气率之，使言约法，《易》，上下相通，周而复始，以除纰缪。

臣鸾曰：“求二十四气损益之法：先置冬至影长丈三尺五寸，以夏至影一尺六寸减之，馀一丈一尺九寸上，十之为实，以半岁十二为法除之，得九寸。不尽，十一，复上十之，如法而一，得九分不尽，二与法十二，皆半之，得六分之一，即是气损益法。先置冬至影长丈三尺五寸，以气损益九寸九分六分分之一，其破一” 分以为六分，减其馀，即是小寒。影长丈二尺五寸，小分五，馀悉依此法。《求益法》：置夏至影一尺六寸，以九寸九分六分分之一增之，小分满六从大分一，即是小暑二尺五寸九分小分一。次气仿此。

臣淳风等谨按此术本及赵君卿注，求二十四气影例，损益九寸九分六分分之一，以为定率。检勘术注，有所未通。又按《宋书历志》所载何承天《元嘉历》影，冬至一丈三尺，小寒一丈二尺四寸八分，大寒一丈一尺三寸四分，立春九尺九寸一分，雨水八尺二寸八分，启蛰六尺七寸二分，春分五尺三寸九分，清明四尺二寸五分，《谷雨》三尺二寸五分，《立夏》二尺五寸，《小满》一尺九寸七分，《芒种》一尺九寸九分，夏至一尺五寸，小暑一尺六寸九分，大暑一尺九寸七分，《立秋》二尺五寸，《处暑》三尺三寸五分，《白露》四尺二寸五分，秋分五尺三寸九分，《寒露》六尺七寸二分，《霜降》八尺二寸八分，《立冬》九尺九寸一分，小雪一“丈一尺三寸四分，大雪一丈二尺四寸八分。” 司马《续汉志》所载四分历影，亦与此相近。至如祖冲之历、宋《大明历》，影与何承天虽有小差，皆是量天实数。雠校三历，足验君卿所立，率虚诞。且周髀本文外衡下于天中六万里，而二十四气率乃足平迁。所以知者，按望影之法，日近影短，日远影长。又以高下言之，日高影短，日卑影长。夏至之日最近，北又最高，其影尺有五寸。自此以后，日行渐远向南，天体又渐向下，以及冬至。冬至之日最近，南居于外衡日最近下，故日影一丈三尺。此当每岁差降有别，不可均为一概。设其升降之理，今此又自冬至毕于芒种，自夏至毕于大雪，均差每气损九寸“有奇，是为天体正平，无高卑之异。而日但南北均行，又无升降之殊，即无内衡高于外衡，六万里自相矛楯。” 又按《尚书考灵曜》所陈格上、格下里数，及郑注升降远近，虽有成规，亦未臻理实。欲求至当，皆依天体高下、远近、修短以定差数。自霜降毕于立春，升降差多，南北差少；自雨水毕于寒露，南北“差多，升降差少” ，依此推步，乃得其实。然事涉《浑仪》，与盖天相返。

月后天十三度十九分度之七。

“月后天” 者，月东行也。此见日月与天俱西南游，一日一夜天一周，而月在昨宿之东，故曰“后天” ，又曰“章岁。” 除章月加日周。一日作率，以一日所行为一度，周天之日为天度。

术曰：“置章月二百三十五，以章岁十九除之，加日行 一度，得十三度十九分度之七，此月一日行之数，即 后天之度及分。”

臣鸾曰：“月后天十三度十九分度之七，法列章月二百三十五” ，以章岁十九除之，得十二度，加日行一度得十三度，馀十九分度之七，即月后天之度分。

小岁月不及，故舍三百五十四度万七千八百六十 分度之六千六百一十二。

小岁者，十二月为一岁。一岁之月，十二月则有馀，十三月复不足。而言大小岁，通闰月为不及，故“舍” 亦犹后天也。假令十一月朔旦冬至，日月俱起牵牛之初，而月十二与日会，此数月发牵牛所行之度也。

《术》曰：置小岁，三百五十四日、九百四十分日之三百 四十八。

小岁者，除经岁十九分月之七，以七乘周天分千四百六十一，得万二百二十七，以减经岁之积分，馀三十三万三千一百八，则小岁之积分也。以九百四十分除之，即得小岁之积日及分。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。

通分内子，为二百五十四。乘之者，乘小岁积分也。

又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百 一十三。

以月后天分乘小岁积分，得八千四百六十万九千四百三十二，则积后天分也。以《度分》母十九乘日分母九百四十，得万七千八百六十，除之，即得。

以周天“三百六十五度万七千八百六十分度之四 千四百六十五”除之。

此犹四分之一也，约之即得，当于《齐同》，故细言之。通分内子为六百五十二万三千三百六十五，除积后天分，得十二，周天即去之。

其不足除者：

不足除者，不及故舍之，六百三十二万九千五十二是也。〈寅曰：“三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。以万七千八百六十除不及，故舍之分得此分矣。” 〉

“此月不及故舍之”，分度数他皆放此。

次至经月皆如此

臣鸾曰：求小岁月不及，故舍法列经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子得三十四万三千三百三十五，是为经岁之积分。以十九分月之七，以七乘周天分一千四百六十一，得万二百二十七，以减经岁积分，不尽三十三万三千一百八，小岁积分也。以九百四十除之，得三百五十四日，不尽三百四十八，还通分内子。复得本积分三十三万三千一百八。更置月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四。以乘本积分，得积后天分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列月后天分母十九，以乘日分母九百四十，得万七千八百六十为法。除之，得积后天四千七百三“十七度，不尽六千六百一十二” ，即是得四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二。还通分内子得本分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五，即通分内子，得六百五十二万三千三百六十五。以除实得十二，下法不用馀分，即不及，故舍之，分六百三十二万九千五十二。更以日月分母相乘，得万七千八百六十为法。除分不及，故舍之，分六百三十二万九千五十二，得三百五十四度。不尽六千六百一十二，即不及，故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。

大岁月不及，故舍十八度万七千八百六十分度之 万一千六百二十八。

“大岁” 者，十三月为一岁也。

术曰：置大岁，三百八十三日、九百四十分日之八百 四十七。

大岁者，加经岁十九分月之十二，以十二乘周天分千四百六十一，得万七千五百三十二。以加经岁积分，得三十六万八百六十七，则大岁之积分也。以七百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度 分母乘日分母为法。实如法得积后天五千一百三 十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。

以月后天分乘大岁积分，得九千一百六十六万二百一十八，则积后天分也。

以《周天》除之。

除积后天分，得十四，周天即去之。

其不足除者：

不足除者，三十三万三千一百八是也。

此月不及故，舍之分度数。

臣鸾曰：求大岁月不及，故舍法列《经》岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子，得经积分三十四万三千三百三十五。更以十九分月之十二乘周天分千四百六十一，得一万七千五百三十二，以《经岁》积分加大岁积分得三十六万八百六十七为实。以九百四十除之，得大岁三百八十三日九“百四十分日之八百四十七” ，还通分内子本分三十六万八百六十七，更列月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四。以乘本分，得积后天分九千一百六十六万二百一十八为实，以万七千八百六十为法。除之，得积后天度五千一百三十二。不尽二千六百九十八，即命分还通内子，得本积后天分九千一百六十六万二百一十八为实。以周天分六百五十二万三千三百六十五为法，除实得十四周天之数，馀以日月分母万七千八百六十除之，得大岁。不及，故舍十八度，不尽万一千六百二十八，即以命分也。

《经》：“岁月不及，故舍百三十四度万七千八百六十分 度之万一百里。”

经，常也。即十二月十九分月之七也。

《术》曰：“置经岁三百六十五日、九百四十分日之二百三十五。”

经岁者，通十二月十九分月之七为二百三十五。乘周天千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，则经岁之积分。又以周天分母四乘二百三十五，得九百四十为法，除之即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度 分母乘日分母为法。实如法得积后天四千八百八 十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。

以月后天分乘《经岁》积分，得八千七百二十万七千九十，则积后天之分。

以《周天》除之。

除积后天分，得十三，周天即去之。

其不足除者：

“不足除者，二百四十万三千三百四十五” 是也。

此月不及故，舍之分度数。

臣鸾曰：求经岁月不及，故舍法列十二月十九分月之七，通分内子，得二百三十五，以乘周天分千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，即经岁分也。以日分母四乘二百三十五，得九百四十，为法，以除得经岁三百六十五日，不尽二百三十五，即命分还通分内子，即复本岁分三十四万三千三百三十五，更列通月后天度分二百五十四。以乘经岁分，得积后大分八千七百二十万七千九十为实。更列万七千八百六十除实，得积后天度四千八百八十二，不尽万四千五百七十，即命分还通分内子复本积后天分为实。以周天分六百五十二万三千三百六十五，除实，得十三周天，即去之，馀分三百四十万三千三百四十五。以万七千八百六十除之，得不及，故舍百三十四度，不尽万一百五，即以命分也。

小月不及，故舍二十二度万七千八百六十分度之 七千七百三十五。

“小月者，二十九日为一月。” 一月之二十九日则有馀，三十日复不足。而言大小者，通其馀分。

《术》曰：“置小月，二十九日。”

“小月” 者，减《经》月之积分四百九十九，馀二万七千二百六十，则小月之积也。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度 分母乘日分母为法。实如法，得积后天三百八十七 度万七千八百六十分度之万二千二百二十。

以“月后天” 乘小月积分，得六百九十二万四千四十，则积后天之分也。

以《周天》分除之。

除积后天分，得一周天而去之。

其不足除者：

不足除者四十万六百七十五。

此月不及故，舍之分度数。

臣鸾曰：求小月不及，故舍法置二十九日，以九百四十乘之，得二万七千二百六十，则小月之分也。更列月后天十三度十九分度之七，通分内子得二百五十四，以乘小月分得六百九十二万四千四十为实，以万七千八百六十为法，除实得三百八十七度，不尽万二千二百二十，以命分还通分内子，得本实。更列周天分六百五十二万三千三百六十五，除本实，得一周天，不尽四十万六百七十五，即不及，故舍之分。又以万九千八百六十除不及，故舍之分，得二十二度，不尽七千七百三十五，即以命分。

“大月不及”，故“舍三十五度万七千八百六十分度之 万四千三百三十五。”

“大月” 者，三十日为一月也。

《术》曰：“置大月，三十日。”

大月加《经》积分四百四十一，得二万八千二百，则大月之积分也。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度 分母乘日分母为法。实如法，得积后天四百一度万 七千八百六十分度之九百四十。

以月后天分乘大月积分七百一十六万二千八百，则积后天之分也。

以《周天》除之。

除积后天分，得一周天，即去之。

其不足除者：

“不足除者，六十三万九千四百三十五” 是也。

此月不及故，舍之分度数。

臣鸾曰：“求大月不及，故舍法” 置三十日，以九百四十乘之，得二万八千二百。以后天分二百五十四乘之，得七百一十六万二千八百为实。以万七千八百六十为法，以除实得四百一度，不尽九百四十，即以命分还通分内，子复本实。更以周天六百五十二万三千三百六十五为法，除本实得一周，馀不足除。积六十三万九千四百三十五分以万。

七千八百六十为法。以除实得大月，不及，故舍三十五度。不尽万四千三百三十五，即命分也。

《经》。“月不及故舍二十九度万七千八百六十分度之 九千四百八十一。”

经，常也。常月者，一月月与日合数。

《术》曰：“置经月二十九日、九百四十分日之四百九十 九。”

《经月》者，以十九乘《周天》分一千四百六十一，得二万七千七百五十九，则《经月》之积。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度 分母乘日分母为法。实如法，得积后天三百九十四 度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。

以月后天分乘《经》月积分，得七百五万七百八十六，则积后天之分。

以《周天》除之。

除积后天分，得一周天，即去之。

其不足除者：

“不足除者，五十二万七千四百二十一” 是也。

此月不及故，舍之分度数。

臣鸾曰：“求经月不及，故舍法。” 以十九乘周天分千四百六十一，得二万七千七百五十九，即经月积分。以九百四十除积分，得经月二十九日九百四十分日之四百九十九，还通分内子，得本经月积分。以后天分乘本积分得七百五万七百八十六，即后天之积分。更以万七千八百六十除之，得积后天三百九十四度，不尽万三千九百四十六，即以命分。还通分内子，得本后天积分为实。以周天六百五十二万三千三百六十五除之，得一周。馀分五十二万七千四百二十一，即不及，故舍之分以一万七千八百六十除之，得经月。不及，故舍。二十九度，不尽九千四百八十一，即以命分。

《冬至》，昼极短，日出辰而入申。

如上日之分入何宿法，分十二辰于地所圆之周舍，相去三十度十六分度之七，子午居南北，卯酉居东西。日出入时，立一游仪，以望中央表之晷。游仪之下，即日出入。

阳照三，不覆九。

阳，日也。覆，犹遍也。“照三” 者，南三辰，巳，午未。

东西相当正南方。

日出入相当，不覆三辰，为正南方。

夏至昼极长，日出寅而入戌，阳照九，不覆三。

不覆三者，北方三辰，亥子丑，冬至日出入之三辰属昼，昼夜互见，是出入三辰，分为昼夜各半明矣。《考灵曜》曰：“分周天为三十六头，头有十度九十六分度之十四。长日分于寅，行二十四头，入于戌，行十二头。短日分于辰，行十二头，入于申，行二十四头。此之谓也。”

东西相当正北方，

出入相当，不覆三辰为“北方。”

日出左而入右，南北行。

圣人南面而治天下，故以东为左西为右。日冬至从南而北，夏至从北而南，故曰“南北行。”

故冬至从《坎》，阳在子，日出《巽》而入坤，见日光少，故曰 “寒。”

冬至十一月，斗建子，位在北方，故曰“从《坎》” ，《坎》亦北也，阳气所始，故曰“在子。” 巽东南，《坤》西南，日见少晷，阳照三，不覆九也。

夏至从离阴在午，日出《艮》而入干，见日光多，故曰“暑。”

夏至五月，斗建午，位在南方，故曰“在午。” 艮东北，乾西北，日见多晷，阳照九不覆三也。

日月失度而寒暑相奸。

《考灵曜》曰：“在璇玑玉衡以齐七政，璇玑未中而星中，是急；急则日过其度，不及其宿。璇玑玉衡中而星未中，是舒；舒则日不及其度，夜月过其宿，璇玑中而星中，是周；周则风雨时，风雨时则草木蕃盛而百谷熟。故《书》曰：‘急常寒若，舒常燠若’。急舒不调，是失度，寒暑不时即相奸。”

“往者诎”，来者信也，故“屈信相感。”

从夏至南往，日益短，故曰诎。从冬至北来，日益长，故曰“信。” 言来往相推，诎信相感，更衰代盛，此天之常道。《易》曰：“日往则月来，月往则日来，日月相推而明生焉。寒往则暑来，暑往则寒来，寒暑相推而岁成焉。” 往者诎也，来者信也，诎信相感而利生焉，此之谓也。

故“冬至之后日右行，夏至之后日左行，左者往，右者 来。”

冬至日出从辰来北，故曰“右行。” 夏至日出从寅往南，故曰“左行。”

故月与日合为一月。

从“合” 至合，则为“一月。”

“《日复》日”，为一日。

从旦至旦则为一日

“日复星”，为一岁。

“冬至日出在牵牛” ，从“牵牛” ，周牵牛，则为一岁也。

《外衡》：“冬至。”

日在牵牛

《内衡》“夏至”

日在东井

《六气复返》，皆谓“中气。”

中气，月中也。言日月往来中气各六。《传》曰：“先王之正时，履端于始，举正于中，归馀于终。” 谓中气也。

阴阳之数，日月之法。

谓“阴阳之度数，日月之法。”

“十九岁”为一章。

章，条也。言闰馀尽为法章条也。《乾象》曰：“辰为岁中，以御朔之月而纳焉。” 朔为章中，除朔为章月，月差为闰。

臣鸾曰：“岁中除章中为章岁。” 求馀法：置中气相去三十日十六分日之七，通分内子得四百八十七。又置从朔至朔一月之日二十九、九百四十分日之四百九十九，通之得二万七千七百五十九。二者法异，当同之者，以中气分母十六乘朔分，得四十四万四千一百四十四，变为中气积分也。以朔分母九百四十乘中气分，得四十五万七千七百八十，为朔日积分。以少减多，求等数平之，得一千九百四十八为法。除中气积，得二百二十八，即章中也。更以一千九百四十八除朔积分，得二百三十五，即章月也。章月与章中差七，即一章之闰。更置二百二十八，以岁中十二除之，得十九，为章岁也。更置章月二百三十五，以章岁十九除之，得十二月十九分月之七，即一年之月也。

四章为“一蔀”，七十六岁。

蔀之言齐，同日月之分为一蔀也。一岁之月，十二月，十九分月之七，通分内子得二百三十五。一岁之日，三百六十五日四分日之一，通之得一千四百六十一。分母不同，则子不齐，当互乘之。以齐同之者，以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九，乘日分，得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日月分母相乘，得七十六，得一蔀之岁。以一岁之月除蔀月，得七十六岁。又以一岁之日除蔀日，亦得七十六矣。岁月馀既终，日分又尽，众残齐合，群数毕满，故谓之“蔀。”

臣鸾曰：求蔀法，列章岁十九，以四乘之，得一蔀七十六岁。求一蔀之月法十二月十九分月之七，通分内子得二百三十五，即月分也。更列一岁三百六十五日四分日之一，通分内子得一千四百六十一，以日分母四乘月分得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九乘日分得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日分母四乘月分母十九，得七十六，即一蔀之岁。更以月分母十九乘蔀月九百四十，得万七千八百六十为实。以十二月十九分月之七，通分内子得二百三十五为法。以除实得七十六，亦一蔀之岁也。更列一蔀之日二万七千七百五十九，以分母四乘之，得十一万一千三十六为实。以周天分千四百六十一除之，得一蔀之岁，七十六也。

二十蔀为“一遂”，遂千五百二十岁。

“遂者，竟也。言五行之德，一终竟极，日月辰终也。” 《干凿度》曰：“至德之数，先立金木水火土五，凡各三百四岁。五德运行，日月开辟，甲子为蔀首，七十六岁。次得癸卯蔀，七十六岁；次壬午蔀，七十六岁；次辛酉蔀，七十六岁。凡三百四岁，木德也，主春生。次庚子蔀，七十六岁；次己卯蔀，七十六岁；次戊午蔀，七十六岁；次丁酉” 蔀七十六岁，凡三百四岁，金德也，主秋成。次丙子蔀七十六岁，次乙卯蔀七十六岁，次甲午蔀七十六岁，次癸酉蔀七十六岁，凡三百四岁，火德也，主夏长。次壬子蔀七十六岁，次辛卯蔀七十六岁，次庚午蔀七十六岁，次己酉蔀七十六岁，凡三百四岁，水德也，主冬藏。次戊子蔀七十六岁，次丁卯蔀七十六岁，次丙午蔀七十六岁，次乙酉蔀七十六岁，凡三百四岁，土德也，主致养其德四正子午卯酉，而朝四时焉。凡一千五百二十岁，终一纪，复甲子，故谓之“遂” 也。求五德日名之法：置一蔀者七十六岁，德四蔀，因而四之，为三百四岁，以一岁三百六十五日四分日之一乘之，为十一万一千三十六，以六十去之，馀三十六，命甲子算外，得庚子，金德也。求次德，加三十六去之，命如前，则次德日也。求算蔀名，置一章岁数，以周天分乘之，得二万七千七百五十九，以六十去之，馀三十九，命以甲子算外，得癸卯蔀。求蔀，加三十九，满六十去之，命如前，得次蔀。

臣鸾曰：“求遂法列一蔀七十六岁，以二十乘之，得千五百二十岁，即以遂之岁。求五德，金、木、水、火、土。” 法列一蔀七十六岁，以周天分千四百六十一乘之，得十一万一千三十六，即以六十除之，馀三十六，命从甲子算外得庚子，凡三百四岁，主秋成金德也。加三十六得七十二，以六十除之，馀十二，命从甲子算外得丙子，凡三百四岁。火德主夏。长次放此。求蔀名列一章，十九岁。以周天分一千四百六十一岁乘之，得二万七千七百五十九，以六十去之，馀三十九。命从甲子算外，得癸卯蔀，七十六岁。复加三十九，亦六十去之，馀十八，命亦起甲子算外。次得壬午，蔀次放此，至甲子即止之。

《三遂》为一首，首四千五百六十岁。

首，始也。言日月五星，终而复始也。《考灵曜》曰：“日月首甲子冬至，日月五星，俱起牵牛初，日月若合璧，五星如联珠，青龙甲寅摄提格，并四千五百六十岁积及初妆” ，谓首也。

臣鸾曰：求一首法列，遂一千五百二十岁，三之得一首四千五百六十岁也。

“《七》首为一极”，极三万一千九百二十岁，生数皆终，万 物复始。

极，终也。言日月星辰，弦望晦朔，寒暑推移，万物生育皆复始，故谓之“极。”

臣鸾曰：求《极》先列一首，四千五百六十，以七乘之，得《一极》，三万一千九百二十岁也。

《天以更元》作《纪历》。

“元始作为七纪” ，法天数，更始复为法述之。

“何以知天三百六十五度四分度之一，而日行一度”， 而月后天十三度十九分度之七，二十九日九百四 十分日之四百九十九为一月，十二月十九分月之 七为一岁。

非《周髀》本文。盖人问师之辞。其欲知度之所分。法术之所生耳。

《周天》除之。

除积后天分，得一周，即弃之。

其不足除者，如：《合朔》。古者包牺、神农制作为历度，元 之始见三光，未如其则。

“三光” ，日月星，则法也。

“日月列星”，《未有分度》。

“列星之初列” ，谓二十八宿也。

“日主昼，月主夜”，昼夜为一日，日月俱起建星。

“建，六星，在斗上也。日月起建星” ，谓十一月朔旦冬至日也。为历术者，度起牵牛前五度，则建星其近也。

月度疾，日度迟。

度日月所行之度也

“日月相逐”于二十九日、三十日间。

言“日月二十九日则未合，三十日复相过。”

而日行天二十九度馀。

如九百四十分日之四百九十九。

未有定分。

未知馀分定几何也

于是三百六十五日，南极影长，明日反短，以岁终日 影反长，故知之。“三百六十五日者三，三百六十六日 者一。”

影四岁而后知差一日，是为四岁。共一日，故岁得四分日之一。

“故知一岁三百六十五日四分日之一岁终也。”月积 后天十三周，又与百三十四度馀。

经“数月，后天之周，故度求之。馀者，未知也。” 言欲求之也。

无虑后天十三度十九分度之七，未有定。

《无虑》者，粗计也。此已得月后天数，而言未有者，求之意未有见故也。

于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于 建星。

月行一月，则行过一周而与日合，七十六岁九百四十周天，所过复九百四十日七十六周。并之，得一千一十六，为“一月后天率。” 分尽度终，复还及初也。

臣鸾曰：“求于是日行天七十六周，日行天千一十六周，及合于建星。法，以九百四十周并七十六周得一千一十六周，则日月气朔合于建星。”

置月行后天之数，以日《后天》之数除之，得一十三度 十九分度之七，则月一日行天之度。

以日度行率除月行率，一日得月度几何？置月行率一千一十六为实，日行率七十六为法。实如法而一，法及馀分皆四约之，与《乾象》同归而殊途，义等而法异也。

复置七十六岁之积月。

置《章岁》之月，二百三十五，以四乘之，得九百四十。

则蔀之积月也

以“七十六岁”除之，得十二月十九分月之七，则一岁 之月。

“亦以四约法” 除分，蔀岁除月，与章岁除章月同。

置周天度数，以十二月十九分月之七除之，得二十 九日九百四十分日之四百九十九，则一月日之数。

通《周天》四分日之一，为千四百六十一。通十二月十九分月之七，为二百三十五。分母不同，则子不齐，当互乘以同齐之。以十九乘千四百六十一，为二万七千七百五十九。以四乘二百三十五，为九百四十。及以除之，则月与日合之数。

臣鸾曰：“求日行一度” 法：还置前一千一十六，以七十六岁除之，得十三度，不尽二十八，以求等平于四，以四约馀得七，约分得十九，是十三度十九分度之七，更列一章岁。积月二百三十五，以周天分母四乘之，即一蔀月九百四十。亦以七十六岁除之，得一岁之十二月、十九分月之七。馀分及法，并以四约更通周天，得千四百六十一。复通十二月十九分月之七，得二百三十五。分母不同，互乘之。以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九。以日分母四乘月分，得九百四十，除之二万七千七百五十九，得二十九日九百四十分日之四百九十九，而月与日合，此其数也。。