钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十八卷目录

　算法部总论

　　隋书〈律历志备数〉

　　明唐顺之本集〈句股测望论　句股容方圆论　弧矢论　分法论　六分论〉

　算法部艺文

　　明算　　　　　　　　　　册府元龟

　　测圆海镜序　　　　　　　　　李冶

　算法部纪事

历法典第一百二十八卷

算法部总论

隋书

律历志备数

五数者，一、十、百、千、万也。《传》曰：“物生而后有象，滋而后 有数。”是以言律者云：数起于建子。黄钟之律始一，而 每辰三之，历九辰至酉，得一万九千六百八十三，而 五数备成，以为律法。又参之终亥，凡历十二辰，得十 有七万七千一百四十七，而辰数该矣。以为律积以 成法，除该积得九寸，即黄钟宫律之长也。此则数因 律起，律以数成，故可历管万事，综核气象。其算用竹， 广二分，长三寸。正策三廉，积二百一十六枚成六觚， 干之策也。负策四廉，积一百四十四枚成方，坤之策 也。觚方皆经十二，天地之大数也。是故探赜索隐，钩 深致远，莫不用焉。一、十、百、千、万，所同由也。律、度、量、衡、 历、率，其别用也。故体有长短，检之以度，则不失毫厘； 物有多少，受之以器，则不失圭撮；量有轻重，平之以 权衡，则不失黍丝；声有清浊，协之以律吕，则不失宫 商；三光运行，纪以历数，则不差晷刻；事物糅见，御之 以率，则不乖其本。故幽隐之情，精微之变，可得而综 也。夫所谓率者，有九流焉：一曰方田，以御田畴界域； 二曰粟米，以御交质“变易；三曰衰分，以御贵贱廪税； 四曰少广，以御积幂方圆；五曰商功，以御功程积实； 六曰均输，以御远近劳费；七曰盈朒，以御隐杂互见； 八曰方程，以御错糅正负；九曰句股，以御高深广远。 皆乘以散之，除以聚之，齐同以通之。今有以贯之，则 算数之方，尽于斯矣。”古之九数，圆周率三，圆径率一， 其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设 新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密 法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数二丈一尺四寸一 分五釐九毫二秒七忽。朒数，三丈一尺四寸一分五 釐九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径 一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十 二。又设开差幂。开差立，兼以正圆参之，指要精密，算 氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深 奥，是故废而不理。

明唐顺之本集

句股测望论

句股所谓矩也。古人执数寸之矩，而日月运行，朓朒 迟速之变，山谿之高深广远，凡目力所及，无不可知， 盖不能逃乎数也。句股之法，横为句，纵为股，斜为弦。 句股求弦，句股自乘相并为实，平方开之，得弦。句股 求股，句弦自乘相减为实，平方开之，得股。股弦求句 同法。盖一弦实藏一句一股之实，一句一股之实，并 “得一弦实也。数非两不行，因句股而得弦，因股弦而 得句，因句弦而得股。”三者之中，其两者显而可知，其 一者藏而不可知，因两以得三，此句股法之可通者 也。至如远近可知，而高下不可知，如卑则塔影，高则 日影之类。塔影之在地者可量而人足，可以至于戴 日之下，而日与塔高低之数不可知，则是有句而无 股。弦三者缺其二，数不可起，而句股之法穷矣。于是 有立表之法。盖以小句股求大句股也。小句股每一 寸之句，为股长几何？则大句股每一尺之句，其长几 何可知矣。此以人目与表与所望之高三相直而知 之也。人目至表，小弦也；人目至所望之高，大弦也。又 法：表为小股，其高几何？与至塔下之数相乘，以小句 除之，则得塔高。盖横之则为小股，至塔之积，纵之则 为小句，至塔顶之积，纵横之数恰同，是变句以为股， 因横而得纵者也。句股弦三者，有一可知，则立表之 法可得而用。若其高与远之数皆不可知，而但目力 可及，如隔海望山之类，则句、股弦三者无一可知，而 立表之法又穷矣。于是有重表之法。盖两表相去几 何？为影差者几何？因其差以求句、股，亦可得矣。立表 者以通句、股之穷也；重表者以通一表之穷也。其实 重表一表也，一表句股也，无二法也。

句股容方圆论

凡奇零不齐之数，准之于齐圆，准之于方。不齐之圆， 准于齐之圆，不齐之方，准于齐之方。句股容圆，准于 句股容方。假令句五、股五、弦七有奇，此为整方均齐， 无较之句股，其容方径该得句之半。盖容方积得句 股全积四分之一。其取全积时，句、股分在两廉，则句 五、股五。五五二十五内，一半为句积，一半为股积。其求容方，则并句股为纵。一廉得十，为长之数，得阔二 五，与原句相半。盖始初则一半句积，一半股积，横列 之而为正方。及取容方，则股积在上，句积在下，而为 长方矣。其容方所以止得半句者，则以句、股之数均 也。若句短股长，则容方以渐而阔，不止于半句矣。故 大半为股积，小半为句积。其始横列时，句积与股同 长而不同阔，其从列时，则股积之阔如故，而句积截 长以为阔，则阔与股积同，而长与股积异，与横列正 相反。此变长为阔，而取容方之法也。其谓之句积、股 积者，从容方径与句股相乘之数而名之也。若取容 圆径，则用句股自之，而倍其数，以句股与弦并为法。 盖容圆之径多于容方，方有四角，与弦相碍，故其数 少；圆循弦宛转，故其数多。若以求容方与求容圆相 比，则积中恰少一段圆径与半弦和较相乘之数。弦 和较者，勾股并与弦相较之数也。假令勾五股五相 乘，亦倍之，得五十。如求容方，则亦倍勾股为法，得二 十，亦恰得二寸五分之径。如求容圆，则不用倍勾股 为法，而用一句股并与一弦，是以一弦代一句股并 也。以一弦代一句股并，恰少一弦和较。加一弦和较， 则亦两句股矣。假令一句股得十，倍句股得二十，是 取容方之径。一句股得十一，弦得七，恰少一弦和较 三，是取容圆之径。其所以少一弦和较者，圆径多于 方径也。假令取容圆，不用句股倍积，而止用句股本 积，则宜用句股并为廉，而除去半弦和较，亦得。或约 得圆径之后，与半弦和较相乘添积，而以句股并为 廉，不除亦得。或用句股倍积，用两句股相并为廉，而 以全弦和较与约得圆径相乘，添积，亦得。此改方为 圆之妙，其机括只寓之于弦和较间也。至于句股积 与弦积，亦只于句股较中求之，盖数起于参伍，参伍 起于畸零不齐也。假令股五句五齐数之句股，则句 股幂倍之，即得弦幂，盖两句股积而成弦积也。至于 句短股长相乘之积，则成一长方，倍之而弦侧不当 中径，亦不成弦幂。惟以一句股较积补之，乃能使长 方为一正方，而得弦积。盖句股之差愈远，则长方愈 狭，长方愈狭，则句股之差积愈多。故句股差者，所以 权长方，不及正方之数，以相补辏，此《补狭为方》之法 也。

弧矢论

凡弧矢算法，准之于矢，而参之于径、背径。求矢之法， 先求之背弦差，而半背弦差藏之矢幂与径相除之 中，倍矢幂与径相除，则全背弦差也。半法简捷，故用 其半。幂者，方眼也。自乘之数必方，故谓之幂。假令径 十寸，截矢一寸，一寸隅无开方，即以一寸为矢幂，而 以十寸之径除之，该得一分，是半背弦差一分。若二 寸矢开方得四寸，是为一寸者四，半背弦差得四分， 三寸矢开方得九，是为一寸者九；半背弦差得九分。 皆准之于十寸之径，故一寸之幂而差一分，递而上 之，视其幂以为差之多少。又假令径十三寸矢幂一 寸，则以十三寸之径与一寸相除，每寸该差七釐七 毫，弱以为半背弦差。若二寸矢开方得四，该四个七 釐七毫，并之得三分八毫，以为二寸矢半背弦差。此 准之，十三寸之径，亦递而上之，视其幂以为差之多 少。盖径长则背弦之差减，故一寸矢而差止七釐有 奇。径短则背弦之差增，故一寸矢而差及一分。虽其 数有增减，而准之于一寸之幂，与径相除，而以渐开 之，每得一寸，则得元差，而相并以为背弦之差，则其 法之一定不可易者也。背径求矢，矢背求径诸法，《消 息管》于是矣。至于径积求矢一法，古法以倍截积自 乘为实，四因截积为上廉，四因直径为下廉，五为负 隅，与矢相乘以减下廉，而以上下廉与矢除实。今立 一法，但以截积自乘为实，而遂以截积为上廉，直径 为下廉。每一寸矢带二分五釐，二寸矢则带五分四 分，而增其一以减径，其倍积《四因》之法，悉去不用，颇 为简捷。盖径积求矢，准于矢径之差。矢径差者，矢径 互为升降也。矢一寸则该减径一寸二分五釐，矢二 寸则该减径二寸五分，而矢径之差起于积数之不 足。且夫圆准于方，而畸零之圆又准于均齐之圆。以 方为率，径十寸，矢一寸，则积必是十寸，矢二寸，则积 必是二十寸。但得积为实，只约矢与径为从平方开 之足矣，盖方无虚隅也。又以整圆为率，径十寸，矢五 寸，则圆积必居方积四分之三，而以四之一为虚隅 足矣，盖虽有虚隅，而其数易准也。惟是矢以渐而短， 则积以渐而减，有不能及四分之三；虚隅以渐而加， 有不止于四分之一者矣。于是平方法与四分而一 为虚隅之法，皆不可用。惟是乘平方之积为三乘，而 以四分之矢减五分之径，则不问矢之长短积与虚 隅之多寡，而其数皆至此而均齐。犹之平方之法，数 有多寡而减来减去，必得一均齐之数以为准，而后 不齐者皆齐，此天然之妙也。夫积自乘而为三乘方 之实，则一整方耳，而矢数藏焉。及立法求矢，则分为 上下两廉，而矢数着焉。盖整方所以聚积，而分廉所以散积，补短截长，而方圆斜直通融为一，此亦天然 之妙也。假令径十寸，矢一寸，积该三寸五分，自乘该 十二寸二分五釐，上廉三寸五分，下廉十寸，以三乘 方开之，而一寸无开方，则上下廉如元数，共得十三 寸五分为廉法。与一寸矢相乘，除实恰少一寸二分 五釐，是为负隅之数。所以用每矢一寸则带二分五 釐为准，以减径，然后法实相当也。又如径十寸矢二 寸，积该十寸，自乘该百寸上廉十寸，下廉亦十寸，以 三乘方开之，则须以矢数乘上“廉，上廉该得三十寸。” 盖长十寸而高二寸之数，以矢数自乘，得四而乘下 廉，下廉该得四十寸。盖高十寸而阔四寸之数，上下 廉共得六十寸。又以矢二寸为方面，与上下廉相乘， 除实共二个六十寸，该得一百二十寸，其数乃足。而 元数止得百寸，恰少积二十寸，所以用二寸五分以 除下廉，则该止得七寸五分为下廉。其下廉减去高 二寸五分，中阔该四寸，则四个二寸五分，该得十寸。 方面二寸，与十寸相乘，共二十寸，恰勾负隅之数，所 以二寸矢则用二寸五分减法也。递而上之，每寸以 二分五釐为准，盖虽径有极长极短，而一寸寸矢带 二分五釐减径之法，则定数也。径积求矢，矢积求径， “径矢求积”，诸法《消息管》于是矣。然此二法者，背弦之 差，则随径而不随矢，所以均为一寸之矢，而其差则 有多寡之不齐，矢径之差，则随矢而不随径，所以但 得一寸之矢，则不问径之长短，而一例为差。此二法 之异也。若以今法与旧法相通，今法不倍积，所以不 用四因，四因者，生于倍积也。古法之五为负隅，即今 之一寸带二分五釐也。盖以五乘之矢，除四因之径， 则亦一寸矢而减一寸三分五釐之径也。然有廉而 无方隅者，盖截积止得廉数也。即此二法，可见截弧 截积之法，皆从边起，而准之于边，以渐消息之矣。既 得一寸之定差，则虽倍蓰十伯，错综变化，而皆不能 出乎范围之外，此天然之妙也。故曰：“握其机而万事 理矣。”其弦矢求径法，半弦自乘为实，而以矢除之，加 矢得径，是径之数藏于半弦幂，与矢相除而加矢之 中也。今环而通之，以为背弦求矢诸法。背弦求矢，其 半背幂中藏一个半弦幂，与矢相除而加矢之径数 藏一个矢幂，以径数相除为背弦差之数。二数消息， 恰得半背幂本数，则矢数见矣。假令径十寸，矢一寸， 半背弦差一分，半背数三寸一分，自乘，得九寸六分 一厘，其九寸为弦幂，所谓“中藏。”半弦幂与矢相除而 加矢之径数，其六分一厘乃是两半背幂，而空其一 差，亦名差与半背相开方之数，即以与其差一分相 乘之数，所谓一个矢幂，以径数相除，为背弦差之数 也。二数消息，以尽背幂，而法可立矣。其背矢求弦法， 若背矢先求出径，而后以矢径求弦，则为简捷。盖半 背幂中所藏弦幂，与背弦差幂，今以矢幂约径，而以 径除矢幂，为背弦差。又以矢截径，以矢乘之，为半弦 幂。二数消息，恰得半背幂本数，则径数见矣。得径而 弦在其中矣。其矢弦求背，亦须先得径而后得背。盖 半弦幂为实，乃以矢约径，以矢减之，以矢乘之，恰得 半弦幂本数，则径数见矣。得径而背在其中矣。假令 矢一寸，半弦三寸，自乘九寸，为半弦幂为实，以矢约 寸得十寸，以矢一寸减之得九寸，以矢一寸乘之得 九寸，恰与半弦幂相同，则为径十寸矣。此背、弦、矢径 四者相乘除，循环无穷之妙也。至于径积求矢，则既 然矣。因而通之，积矢求径，假令径十寸，矢一寸，积三 寸五分，自乘，该十二寸二分五釐，乃以原积三寸五 分为上廉，一寸之矢为下廉，以除自乘之积馀数，得 八寸七分五釐，加矢带数一寸二分五釐，则为径十 寸矣。又如径十寸，矢二寸，积十寸，自乘寸百为实。矢 乘积得二十寸，为上廉；再矢自乘，得八，为下廉。以二 乘上廉，消积四十，以八消馀，积六十，得七寸五分，加 入矢带数二寸五分，则径十寸矣。径积求矢，则积为 上廉，而径为下廉；矢积求径，则亦积为上廉，而矢为 下廉。此其纵横往来相通之妙。而一乘上廉，再乘下 廉，则三乘《开方》之定法也。积矢求弦，则倍其积，以矢 除积而减矢。弦矢求积，则并矢于弦，以矢乘积而半 其积，盖矢弦并之为长，以矢乘之而得两积，故半之 而积可见也。“倍之则为矢弦相并之积”，以矢除之而 得矢弦相并之本，数，除矢而弦可见也。径矢求积，则 先得弦而后得积，盖以矢减径，以矢乘之，四因得数， 面弦幂藏于其中，平方开之得弦。乃以矢自乘，以矢 与弦相乘，合二数而半之，则得积矣。此又积矢、径、弦 四者相乘除，循环无穷之妙也。其径背求矢法，则以 半背自乘为实，而约矢以减径，以矢乘之，为半弦幂。 而平方开之以减背。其减馀之数，恰与矢之背弦差 数相当，则矢数见矣。盖半背数中藏一，半弦数藏一， 背弦差数，故合二数而消息之也。径十寸，矢一寸半， 背三寸一分。十寸之径，每一寸，矢该差二分，二寸矢 该差四分，为定差。今约矢一寸以减径，得九寸，以矢 乘，亦得九寸，平方开之，得三寸为半弦。以除半背而馀一分，恰勾一寸差数，则矢之为一寸也无疑矣。又 如径十寸半，背四寸四分，约得矢二寸，以减径，馀八 寸。以矢乘，得十六寸，为弦幂。平方开之，为四寸。以减 半背四寸，而馀四分，恰得二寸矢之定差，则矢之为 二寸也无疑矣。又法：半背幂自乘为实，中藏一个半 弦自乘之数。一个背弦差与两半背而空出一差相 乘之数，亦名背弦差与背相开方之数。以此两数与 实相消，而矢数见矣。假令径十寸半背三寸一分，其 半背幂该九寸六分一厘，约矢一寸，与径相减相乘， 如前法，得九寸，以除实九寸。而以一寸之差一分与 两半背而空出一差之数，得六寸一分，与上差一分 相乘，得六分一厘。并二数九寸六分一厘，除实恰尽。 以是知矢之为一寸也。又如半背四寸四分，自乘，得 十九寸三分六釐为实。约矢二寸，与径相减相乘，如 前法，得十六寸。以除十六寸，而以二寸之差四分与 两半背而空出一差之数，得八寸四分，与上差四分 相乘，得三寸三分六釐，并二数十九寸三分六釐，除 实恰尽。以是知矢之为二寸也。此其法亦始于先得 定差，而约矢与径两相消息以得矢也。其径数有长 短，差数有多寡，亦准此法而通之也。在先得定差而 已。又法：半径自乘为径幂，半背自乘为背幂，二幂相 乘为实。乃约矢以减径，以矢乘之，为半弦幂，与径幂 相乘以除实。又以径幂除其馀实，恰得矢数之定差， 则矢可得矣。盖二幂相乘，中藏一个径幂，与弦幂相 乘之数，藏一个径幂，与半背弦差幂相乘之数。而背 弦差者，矢之所藏也。假令径十寸，矢二寸，背差八分， 半径自乘，得二十五寸；半背自乘，得十九寸三分六 釐，相乘得四百八十四寸，为实，及约矢，得二寸，以减 径而乘之，得十六寸，为弦幂。与径幂相乘，得四百以 除实，馀八十四寸，又以径幂除之，得三寸三分六釐， 恰与二寸矢之定差相合。然二寸矢之定差四分，而 乃有三寸三分六釐者，盖始求背幂之时，以两背数 相乘，则四分寓其间，恰得此数，所谓差与背相开方 之数也。以四分与八寸四分相乘，得三寸三分六釐， 故定差四分，而其积则三寸三分六釐也。以八寸四 分除之，则定差本数也。夫背弦差者，矢之所藏也。以 差立法，古未有之，而实求矢之大机也。差径求矢，以 差与径相乘，平方开之，得矢差。矢求径，矢自乘，以差 为从。平方开之，得径。而差与弦亦可以求矢径半弦 之幂。矢除径而矢乘径之数也。差者，矢幂而径除之 之数也。先约径，矢数与弦幂相同，而又以径除矢幂 与差数同，则得矢径差。与背求矢径，减差则得弦，即 差弦求矢径也。积者，矢与弦并，以矢除而半之之数 也。积弦求矢，倍积为实，约矢而加之，于弦，为从方，以 矢为法除之，则得矢也。矢积求弦，矢自乘而置虚积， 与元积相当，然后减去矢自乘之幂，而以矢除其虚 积，与元积之并，则得弦也。假令矢一寸，积三寸五分， 矢自乘得寸，添积二寸五分，乃与元积相当，然后减 去矢自乘之，寸馀六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二 寸积十寸，矢自乘得四寸，加虚积六寸，与元积相当， 减去矢自乘之，寸馀十六寸，以矢除之，得弦八寸也。 如不以矢径求弦得积而遂以矢径求积，则矢每寸 截径寸二分五釐，而以矢自乘，再乘、以乘截馀之径， 为径积，然后以径约积，而以积与矢自乘之数相乘， 添入径积合为积幂，而复以约积自乘，亦与前积幂 同数，则积亦可得矣，然不如得弦而后得积之为简 捷也。至于残周与弦求矢，则亦用半弦自乘为实，而 约出矢数，以除半弦幂，而加矢为径。乃以径补出全 周之数，而以半背数除半弦数，馀为半背弦差，恰得 矢之定差，则矢可得矣。假令弦六寸，残周二十三寸 八分，则以半弦自乘，得九为实，而约出矢一寸。以除 实而加之，得十寸为径，该周三十寸，除残周数，得半 背三寸一分，除半弦三寸而馀一分，恰得一寸矢之 定差，则矢一寸也。又如弦八寸，残周二十一寸二分， 半弦自乘，得十六为实，约出矢二寸。以除实而加之， 得十寸为径，该周三十寸。除残周数，得半背四寸四 分。除半弦四寸而馀四分，恰得二寸。矢之定差，则矢 二寸也。数虽如是，而起算极周折，惟求之弦、矢径三 相权，则其数可准。盖径矢求弦，则以矢减径，以矢乘 之，为半弦幂。径弦求矢，则以半弦自乘，为实，而以径 为益方，以矢减益方而相乘除实，亦是以矢减径，以 矢乘之，而得半弦幂也。弦矢求径，则以半弦自乘，以 矢除之，加矢而得径。由是三者辗转求之，则是半弦 幂中藏却以矢减径、以矢乘之之定数。以是约出矢 径，而因径以为周，减其残周而得背。以半背与半弦 相较而得差，恰与矢之定差相同，则矢数“无所失矣。 其有不合，则更约之。”此数虽若眇茫，然准之于以矢 减径，即以矢乘，必须与半弦幂相当，则亦未尝无绳 墨也。此意元之又元也，至神莫知也，积也，矢也，径也， 弦也，背也，残周也，差也，凡七者，转相为法而转相求， 共得三百二十六法而后尽浑然一圆圈，而中含错综变化，乃至于此。呜呼，岂非所谓至妙至妙者哉？

分法论

差分方程，盈朒粟米，总是一分法也。物有多寡，价有 贵贱，两物相形，已知物之孰贵孰贱，各有定价矣。若 使两物总共若干，两价亦总共若干，则两物混杂。虽 则两物混杂，而总价固相差也。于是以价权物，则因 价之贵贱而差之也。未知两物之孰贵孰贱，而但知 两物相参伍之总价。若使此三而彼五，则价共增若 “干；此五而彼三，则价共减若干；则两价混杂而物数 固相形也。于是以物权价”，则因物之参伍而推出价 之贵贱，谓之方程。方程者，言物价相检括，有定式而 不可乱也。《差分方程》之所不能尽，于是有盈朒。盈者 有馀，朒者不足。“盈朒”者，因其外露畸零可见之数，而 推知其中藏隐杂不可见之数，以据末颖而窥全锥 也。假令物共若干两，价共若干两，两物混杂而法有 不尽于差分也，于是而盈朒之。假令总是贵物，则原 总价不足若干；总是贱物，则原总价有馀若干。于是 推乘以齐其数，以不足之数乘贱物，以有馀之数乘 贵物。两物各得其所乘之数以为实，而并有馀、不足 之数以为法而各归“之，则物之多寡可得矣。”此差分 之盈朒也。未知两物之孰贵孰贱，而但知此三而彼 五，则价共增若干，此五而彼三，则价共减若干，两价 混杂，而法有不尽于方程也。于是而盈朒之。假令此 贱若干，彼贵若干，则原总价有馀几何；此贵若干，彼 贱若干，则原总价不足几何？于是维乘以齐其数，以 有馀乘此贵彼贱，亦以不足乘彼贵此贱，令两贱自 相减，两贵自相减为实，有馀不足亦自相减为法，则 价之贵贱可得矣，此《方程》之盈朒也。差分以价权物， 方程以物权价。差分露价而混物，方程露物而混价。 露价而混物，故以价相辖；露物而混价，故以物相参， 而盈朒通乎其间矣。至于物有以多而易寡，价有以 贵而易贱，于是有粟米，则乘除互换之间，而多遂与 寡相当，贱遂与贵相当，而其数齐矣。以粟易米，则以 粟率乘，以米率除。以米易粟，则以米率乘，以粟率除； 以贵物易贱物，则以贵率乘，以贱率除。以贱物易贵 物，则以贱率乘，以贵率除。以贱物易：皆以本率乘，以 所易之率除。谓之“粟米”者，因粟米以名诸物也。

六分论

数，欲以繁而从简，而数之有分者，不可以常法约也， 于是有约分之法，则以子减母，以母减子，至于等而 后止。等数者，母子之数所共止齐也，必相减而后得 之，所谓减损求原也。然后以等约母，以等约子，而繁 者简矣。数有以少而合，多以聚其零散，亦有以少而 减，多以较其多寡，而数之有分者，不可以常法合而 “减也。”于是有合分、课分之法。分母不同，分子亦异，于 是母互乘子，以齐其数。假令二分之一与三分之一 相乘，二分之母，数本少也，与子之二数相乘而为四， 则虽少而多。三分之母，数本多也，与子之数相乘而 为三，则虽多而少。一互乘而裒多益寡之义著矣。诸 分皆母互乘子而合分，则相并以为实，所以为合也； 课分则相减以为实，所以为减也。其实有相乘、相减 之异，而其法则皆以母相乘。盖其始皆母互乘子以 为实，则其母亦互相乘以为法也。“合分观其所总，而 聚散著矣；减分观其所馀，而多寡著矣。数有多寡，损 益以取平，而数之有分者，不可以常数平也。”于是有 平分之法，亦母互乘子而副置之。其一相并以为平 实。其不相并而据诸分之位数凡几谓之“列数”，名以 列数乘其不相并之分子以为列元。是三位相并，则 以三为列数。原是四位相并，则亦以四为列数。以三 数乘不相并，则亦与三数相并相当矣。以四数乘不 相并，则亦与四数相并相当矣。但相并则诸分总得 其相乘之数；不相并，则诸分各得其相乘之数耳。以 各较总，而有馀不足见矣。故平实者总也，列实者各 也。非总无以准各，非各无以自准。有总有各，而有馀 不足见矣。列实有馀者，以平实准之而得其减数；列 实不足者，以平实准之而得其益数。减有馀之列实， 益不足之列实，皆齐于平实而后止，是若齐于总也。 于是以诸母相乘，犹之母互乘子也。亦以列数乘诸 母之相乘者，犹之列数乘诸分子也。则分母恰与分 子相当以为法，以命平实，而诸分平矣。乘分者，乘法 之有分者也；除分者，除法之有分者也。其乘分、除分， 皆用通分法。假如有银十两三分两之二，则无分之 全数，与有分之零数相碍而不相通。于是以分母三 乘全，两其十两，得三十分，带分子二，共三十二分，所 谓分母乘其全分子从之也。通分则全数与零数均 为一法而不相碍。通分之后乘分则以各通分相乘 为实，分母相乘为法。除分则以实分母乘法，以法分 母乘实，而法与实之数始相当而无偏，亦所谓变而 通也。《算经》曰：“学者不患乘除之为难，而患分法之为 难。”然必精于无分之乘除，而后能通于有分之乘除， 非二致也，法有浅深而已矣天地之间，聚散分合而已。天气下降，地气上腾而天 地合，天气上腾，地气下降而天地判，合则气发泄于 其外，判则气凝结于其中，其分所以为合也。兵之用， 聚散分合而已矣。分不分谓之縻军，聚不聚谓之孤 旅。然聚易而分难，其分所以为聚也。韩信“多多益辨”， 兵家以为分数明也。数之用，聚散分合而已矣。聚小 以为大谓之乘，散大以为小谓之除。聚小以为大则 无畸零不尽之数，散大以为小则多有畸零不尽之 数矣。是以乘法省而除法繁，乘法易而除法难也，可 知矣。

算法部艺文

明算　　　　　　　　　　册府元龟

自隶首作算，容成造历，后之学者，不绝英华。或妙尽 其能，或略穷“其理，忘寝废食，精骛心游，耳不闻于雷 霆，行或坠于坎窞，尝龆龀而耽味，射隐伏以冥符，小 则括毫厘之形，大则周天地之数，聊屈指而洞明，运 只著而无爽。”若非苦志名山，寻师远道，则何以臻此 哉！

测圆海镜序　　　　　　　　　李冶

数本难穷，吾欲以力强穷之，彼其数不惟不能得其 凡，而吾之力且惫矣。然则数果不可以穷耶？既已名 之数矣，则又何为而不可穷也？故谓数为难穷，斯可， 谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭 昭者存。夫昭昭者，其自然之数也，非自然之数，其自 然之理也。数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首 复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理以明自然 之数，则虽远而干端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合 者矣。予自幼喜算数，恒病夫考圆之术，例出于牵强， 殊乖于自然，如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截 背之互见，内外诸角，析会两条，莫不各自名家，与世 作法，反反复研究，而卒无以当吾心焉。老大以来，得 《洞渊》、九容之说，日夕玩绎，而乡之病我者始去之而 无遗馀。山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为 衍之，遂累一百七十问，既成编，客复目之《测圆海镜》， 盖取夫“天临海镜”之义也。昔半山老人集唐百家诗 选，自谓废日力于此，良可惜。明道先生以上蔡谢君 记诵为玩物丧志。夫文史尚矣，犹之为不足贵，况九 九贱技能乎？嗜好酸咸，平生每痛自戒敕，竟莫能已。 类有物凭之者，吾亦不知其然而然也。故尝私为之 解曰：“由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，庸非圣人 之所予乎？览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其 笑我者当千数。乃若吾之所得，则自得焉耳，宁复为 人悯”笑计哉。

算法部纪事

《通鉴前编》：“黄帝有熊氏命。”隶首作“数。”〈注〉《外纪》曰：“帝命 隶首定数，以率其羡，要其会，而律度量衡由是而成 焉。”

《史记》：“张苍明习天下图书计籍，又善用算律历，故令 苍以列侯居相府，主领郡国上计者。”

《册府元龟》：“汉许商为博士，治《尚书》，为算能度功用，尝 著《五行论历》。”〈注〉《艺文志》有“《许商算术》二十六卷，《杜忠 算术》十六卷。”

桑弘羊武帝时以计算羊年十三为侍中。

耿寿昌宣帝时为大司农丞以善算为算工得幸于 帝。

《后汉书冯勤传》：“勤为司徒，八岁善计。”〈注〉计算术也。 《册府元龟》：“张衡为尚书，尤致思于天文、阴阳历算。 王子山与父叔师到泰山，从鲍子真学算。”

《西京杂记》：汉安定皇甫嵩真、元菟曹元理，并善算术， 皆成帝时人。真尝自算其年，寿七十三，于绥和元年 正月二十五日晡时死，书其屋壁以记之。二十四日， 晡时死，其妻曰：“见算时常下一算，欲以告之，虑脱有 旨，故不告，今果先一日也。”真又曰：“北邙青冢上，孤槚 之西四丈所，凿之入七尺，吾欲葬此地。”及真死，依言 往掘，得古时空椁，即以葬焉。

曹元理，尝从真元菟友人陈广汉，广汉曰：“吾有二囷 米，忘其石数，子为吾计之。”元理以食箸十馀转，曰：“东 囷七百四十九石二斗七合，西囷六百九十七石八 斗。”遂大署囷门。后出米，西囷六百九十七石七斗九

鼠之食米，不如剥面皮矣。”广汉为之取酒鹿脯数脔， 元理复算曰：“甘蔗二十五区，应收一千五百三十六 枚；蹲䲭三十七亩，应收六百七十三石。千牛产二百 犊，万鸡将五万雏。”羊豕鹅鸭，皆道其数。果蓏殽核，悉 知其所。乃曰：“此资业之广，何供具之褊？”广汉惭曰：“有 仓卒客，无仓卒主人。”元理曰：“俎上蒸肫一头，厨中荔 枝一盘，皆可以为设。”广汉再拜谢罪，入取，尽日为欢。 其术后传南季，南季传项滔，项滔传子陆，皆得其分 数而失其元妙焉。

《后汉书郑元传》：元以永建二年七月戊寅生，八九岁 能下算乘除。年十一二随母还家。腊日宴会，同时十 许人，皆美服盛饰，语言通了，元独漠然，状如不及。母 私督数之，乃曰：“此非元之所志也。”

《异苑》：郑元在马融门下，三年不相见，高足弟子传授 而已。常算浑天不合，问诸弟子，弟子莫能解。或言元 融召令算，一转便决，众咸骇服。及元业成辞归，融心 忌焉。元亦疑有追者，乃坐桥下，在水上据屐。融果转 式逐之，告左右曰：“元在土下水上而据木，此必死矣。” 遂罢追，元竟以免。一说：郑康成师马融，三载无闻，融 鄙而遣还。元过树阴假寐，见一老父，以刀开腹心，谓 曰：“子可以学矣。”于是寤而即返，遂精洞典籍。融叹曰： “《诗》《书》《礼》《乐》皆已东矣。”潜欲杀元，元知而窃去。融推式 以算元，元当在土木上。躬骑马袭之。元入一桥下，俯 伏柱上，融踟蹰桥侧，云：“土木之间，此则当矣，有水非 也。”从此而归，元用免焉。

《册府元龟》：郑元造，太学受业，师事京兆第五元。先始 通《春秋》《三统历》、九章算术，又因卢植事马融，融素贵 元，在门下，三年不得见。会融集诸生考论图纬，闻元 善算，乃召见元，因质诸疑义。后征大司农，不起。〈注〉《三 统历》刘歆所撰，《九章算术》，周公作，凡有九篇。方田一， 粟布二，差分三，少广四，均输五，方程六，旁要七，盈不 足八，钩股九。

《三国魏志王粲本传》：“粲子仲宣，山阳高平人也。性善 算，作算术略尽其理。”

《册府元龟》：“吴顾谭为左节度，每省簿书，未尝下筹，徒 屈指心计，尽发疑谬，下吏以此服之。”

赵达明算术，事大帝，帝令达算作天子之后，当复几 年，达曰：“高祖建元十二年，陛下倍之。”帝大喜，左右称 万岁，果如达言。黄武三年，魏文帝在广陵，大帝令达 算之，曰：“曹丕走矣。虽然，吴衰庚子岁。”帝曰：“几何？”达屈 指而计之，曰：五十八年。帝曰：“今日之忧，不暇及远，此 子孙事也。”达治九宫一算之术，究其微旨，是以能应 机立成。对问若神至计飞蝗射隐伏，无不中效。或难 达曰：“飞者固不可校，谁知其然？此殆妄耳。”达使人取 小豆数斗，播之席上，立处其数验覆，果信尝过，知故 知故，为之具。食毕，谓之曰：“仓卒乏酒，又无佳肴，无以 叙，意如何？”达因取盘中只箸，再三纵横之，乃言：“卿东 壁有美酒一斛，又有鹿肉三斤，何以辞无时适坐有 他宾内得主人情。”主人惭曰：“以卿善射，有无欲相试 耳。”竟效如此。遂出酒酣饮。又有书简上作千万数，著 空仓中封之。令达算之，达处如数云：“但有名无实，其 精微若是。”达又闲居无为，引算自较，乃叹曰：“吾算讫 尽，某年月日其终矣。”达妻数见达效，闻而哭泣。达欲 弭妻意，乃更步算，言：“向者谬误耳，尚未也。”后如期死， 大帝闻达有书，求之不得，乃录问其女。及发达棺，无 所得，法术绝焉。

宋关康之字伯愉河东杨人世居京口寓属南平昌 少而笃学算术妙尽其能太宗诏征不起。

祖冲之为长水校尉善算注九章造缀术数十篇 后魏安丰王猛子延明为尚书右仆射以河间人信 都芳工算术引之在馆共撰古今乐事九章十二图 高允为太常明算法为算术三卷。

殷绍长乐人少聪敏好阴阳术数游学诸方达九章 七曜太武时为算生博士。

《北齐书信都芳传》：“芳，河间人，少明算术，为州里所称。 有巧思，每精研究，忘寝与食，或坠坑坎。尝语人云：‘算 之妙，机巧精微。我每一沉思，不闻雷霆之声也’。其用 心如此。以术数干高祖，为馆客，授参军。丞相仓曹祖 珽谓芳曰：‘律管吹灰，术甚微妙。绝来既久，吾思所不 至，卿试思之’。芳遂留意十数日，便云：吾得之矣，然终 须河内葭莩灰。”后得河内葭莩，用其术，应节便飞，馀 灰即不动也，不为时所重。竟不行，故此法遂绝云。 《册府元龟》：信都芳初为魏安丰王延明所馆，延明家 有群书，欲抄集五经算事为五经宗，又聚浑天欹器、 地动铜乌候风诸图为器准，并令芳算之。会延明南 奔，芳乃自撰注。芳注重差句股，撰史宗，仍自注之，合 数十卷。

北齐许遵明易善算高祖引为馆客后文宣无道日 甚遵语人曰：“多折算来吾筮此狂夫何时当死”遂布 算满床大言曰：不出冬初我乃不见遵果以九月死隋萧吉字文休为上仪同博学多通尤精阴阳算术 刘炫为旅骑尉撰算术一卷行于世。

唐傅仁均为太史令善历算。

李淳风为太史令尤明天文历算阴阳之学与算学 博士梁永太学助教王真儒等注释五曹。《孙子》等十 部算经分二十卷显庆元年左仆射于志宁等奏之 付国学行用。

僧一行姓张氏，公谨之孙也。初求访师资，以穷大衍， 至天台山国清寺，见一院古松数十，门有流水。一行 于门屏间闻院僧于庭布算声，而谓其徒曰：“今日当 有弟子自远求吾算法，已合到门，岂无人导达也？”即 除一算。又谓曰：“门前水当却西流，弟子亦至。”一行承 其言而趋入，稽首请法，尽授其术，而门前水果却西 流。

《稽神录》：后唐表弘御为云中从事，尤精算术。同府令 算庭下桐树叶数，即自起量树，去地七尺围之，取围 径之数布算，良久曰：“若干叶。”众不能覆，命撼去二十 二叶，复使算，曰：“已少向者二十一叶矣。”审视之，两叶 差小，止当一叶耳。节度使张敬达有二玉碗，弘御量 其广深，算之曰：“此碗明年五月十六日巳时当破。”敬 达闻之曰：“吾敬藏之，能破否？”即命贮大笼，藉以衣絮， 锁之库中。至期，库屋梁折，正压其笼，二碗俱碎。太仆 少卿薛文美同府亲见。

《宋史徽宗本纪》：“大观三年冬十一月丁未，诏算学以 黄帝为先师，风后等八人配飨，巫咸等七十人从祀。