测圆海镜/卷02 中华文库

假令有圆城一所，不知周径。四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为干地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。

或问：甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙。问径几里。答曰：城径二百四十步。

法曰：此为勾股容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂以求弦，复加入勾股共以为法。

草曰：置甲南行六百步在地。以乙东行三百二十步乘之，得一十九万二千步，倍之得三十八万四千步为实。以乙东行步自之，得一十万零二千四百步为勾幂；以甲南行步自之，得三十六万步为股幂；二幂相并，得四十六万二千四百步为弦方实。以平方开之，得六百八十步则弦也。以弦加勾股共，共得一千六百步以为法。如法而一，得二百四十步则城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在西门，乙东行二百五十六步，甲南行四百八十步望见乙。问答同前。

法曰：此为勾上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂以求弦，加入股以为法。

草曰：置甲南行四百八十步在地，以乙东行二百五十六步乘之，得一十二万二千八百八十步，倍之得二十四万五千七百六十步为实。以乙东行步自之，得六万五千五百三十六步为勾幂；以甲南行步自之，得二十三万零四百步为股幂；勾股幂相并，得二十九万五千九百三十六步为弦方实。以平方开之，得五百四十四步为弦也。以加入甲南行步，共得一千零二十四步以为法。如法而一，得二百四十步则城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在北门，乙东行二百步而止，甲南行三百七十五步望见乙。问答如前。

法曰：此为股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。以勾股幂求弦，加入勾以为法。

草曰：置甲南行三百七十五步，以乙东行二百步乘之，得七万五千步，倍之得一十五万步为实。以乙东行自之，得四万步为勾幂；以甲南行自之，得一十四万 零六百二十五步为股幂；勾、股幂相并，得一十八万零六百二十五步为弦方实。如平方而一，得四百二十五步则弦也。加入乙东行二百步共得六百二十五步以为法，以法除之，得二百四十步则城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在圆城中心而立，乙穿城向东行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望见乙。问答同前。

法曰：此为勾股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂，如法求弦以为法。

草曰：以二行步相乘得三万四千六百八十步，倍之得六万九千三百六十步为实。置乙东行自之，得一万八千四百九十六步为勾幂；又以甲南行自之，得六万五千零二十五步为股幂；二幂相并，得八万三千五百二十一步为弦方实。以平方开之，得二百八十九步即弦也，便以为法。如法除实，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲乙二人同立于干地，乙东行一百八十步遇塔而止。甲南行三百六十步，回望其塔正居城径之半。问答同前。

法曰：此为弦上容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以勾股和为法。

草曰：以二行步相乘得六万四千八百步，倍之得一十二万九千六百步为实。并二行步，得五百四十步以为法。以法除实，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在坤地，乙东行一百九十二步而止，甲南行三百六十步，望乙与城参相直。问答同前。

法曰：此为勾外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较共为法。

草曰：以二行步相乘，得六万九千一百二十步，倍之得一十三万八千二百四十步为实。置乙东行自之，得三万六千八百六十四步为勾幂；又置南行自之，得一十二万九千六百步为股幂；二幂相并，得一十六万六千四百六十四步为弦方实。以平方开之，得四百零八步即弦也。又置甲南行步，内减乙东行步，馀一百六十八步即较也。以较加弦，共得五百七十六步以为法。实如法而一，得二百四十步为城径也。合问。

或问：甲乙二人同立于艮地，甲南行一百五十步而止，乙东行八十步，望甲与城参相直。问答同前。

法曰：此为股外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较较为法。

草曰：二行步相乘得一万二千，倍之得二万四千步为实。以甲南行自之，得二万二千五百步为股幂；又以乙东行步自之，得六千四百步为勾幂；勾股幂相并，得二万八千九百步为弦方实。以平方开之，得一百七十步即弦也。以二行步相减，馀七十步为勾股较也。以此较又减弦，馀一百步即弦较较也，便以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：此为弦外容圆也。勾股相乘，倍之为实，以弦和较为法。

草曰：以二行步相乘，得四千三百二十步，倍之得八千六百四十步为实。以甲北行自之，得八千一百步为股幂；又以乙西行自之，得二千三百零四步为勾幂；二幂共得一万零四百零四步为弦方实。以平方开之，得一百零二步为弦也。又并二行步得一百三十八步为和，以弦减和馀三十六步，得黄方以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在南门，乙东行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙与城参相直。问答同前。

法曰：此为勾外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以大差为法。

草曰：以二行步相乘，得九千七百二十步，倍之得一万九千四百四十步为实。又以乙东行自之，得五千一百八十四步为勾幂；又以甲南行自之，得一万八千二百二十五步为股幂；二幂相并，得二万三千四百零九步为弦方实。以平方开之，得一百五十三步即弦也。以乙东行七十二步为勾，以减弦，馀八十一步即勾弦差也，便以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在东门，甲南行三十步而止，乙东行一十六步，回望甲与城参相直。问答同前。

法曰：此为股外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以小差为法。

草曰：以二行步相乘，得四百八十步，倍之得九百六十步为实。又以乙东行自之，得二百五十六步为勾幂；又以甲南行自之，得九百步为股幂；二幂相并，得一千一百五十六步为弦方实。以平方开之，得三十四步即弦也。以甲南行三十步为股，以减弦，馀四步以为法。以法除实，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙出东门南行三十步望见甲。问答同前。

法曰：此为半矮梯也。以二行步相乘为实，如平方而一，得半径。

草曰：以二行步相乘，得一万四千四百步为实。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又问：甲乙二人。乙出南门折而东行七十二步而止，甲出北门折而东行二百步望见乙。问答同前。法曰：以二行步相乘，得数四之为实。如平方而一，得城径。

草曰：二行步相乘得一万四千四百步，又四之，得五万七千六百步为实。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。

又假令：乙出南门折东行二十步，甲出北门折东行七百二十步。如此之类，亦同上法（以上三问俱是以半矮梯求之）。

或问：甲乙二人。乙在艮地东行八十步而立，甲在坤地南行三百六十步望见乙。问答同前。

法曰：此为两差求黄方也。以二行步相乘，倍之为实，以平方开之得城径。

草曰：二行步相乘得二万八千八百步，倍之得五万七千六百步为实。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。别得甲南行即股圆差也，乙东行即勾圆差也。

或问：甲出东门四十八步而立，乙出南门四十八步见之。问答同前。法曰：此当以方五斜七求之，每出门二步，管径十步。

草曰：置出门步在地，以五之，得二百四十步即城径也。据此法，合置出门步在地，以十之，二而一。以二数相折，故五因便是。合问。

或问：出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前。

法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法。得半径。

草曰：立天元一为半径，置南行步在地，内减天元半径，得�为股圆差。又置乙东行步在地，内减天元，得下式�为勾圆差。以勾圆差增乘股圆差，得�为半段黄方幂，即城幂之半也（寄左）。又置天元幂以倍之，得�，亦为半段黄方幂，与左相消得�。如法开之，得半径。合问。

又法：识别得二行并即大弦也，立天元一为半径。置甲南行步加天元一，得�为大股。又置乙东行步加天元，得�为大勾也。勾股相乘，得�为一个大直积。以天元除之，得下式�，为三事和也（寄左。黄方除倍积得三事和。今以半黄方除直积，亦为三事和也）。然后并二行步，又并入勾股共，得�为同数，与左相消得 �。以平方开之，得一百二十步，倍之得全径也。合问。