答刘伯宗问朱子壶说书 中华文库

《投壶经》言壶颈修七寸，腹修五寸，口径二寸半，容斗五升。郑注腹容斗五升，三分益一，则为二斗，积三百二十四寸（算法，方一寸高十六寸二分为一升，方一寸高一百六十二寸为一斗，故二斗得积三百二十四寸）。以腹修五寸约之所得（五寸约之者，于五寸之中，截其一寸，取三百二十四寸之积五分之，其一分得积六十四寸八分），求其圆周，得二尺七寸有奇。是为腹径九寸有馀也（以圆求方，须三分加一。六十四寸八分，分为三分，每一分有二十一寸六分，加一分于六十四寸八分之中，共八十六寸四分，是一寸方积之数，以方积开之，九九八十一，则一面有九寸强。四面凡有三十六寸强，又以方求圆，四分去一，是为圆周二尺七寸有奇。围三则径一，故腹径九寸有馀也）。按郑氏此说皆整数二斗之积也。然以二斗之积，四分去一，则与经文斗五升合矣。故朱子欲去二斗虚加之数，是也。其实斗五升之积，为二百四十三寸，以腹修五寸约之，五取一焉，得四十八寸六分，即圆积也。圆积求径，三归四因开方之，是为腹径八寸四厘有奇。圆积求周，十二因开方之，是为圆周二尺四寸一分四厘有奇。若郑氏三分益一以为二斗，方积六十四寸八分，既有虚加之数，则当用圆田法，即以六十四寸八分者开方之，径得八寸四厘奇。三因于径，周得二尺四寸一四，亦如前法。朱子以积求径之法，谓广六十四寸八分，此六十四寸者，自为正方。又取其八分者，割裂而加于正方之外，则四面各得二厘五毫之数，径为八寸五厘。此则朱子不明算法，而不自知其误也。夫正方六十四寸，则一面得八寸，试割二分加之，每寸得二厘五毫。四面皆然，则八分者无馀矣，而四角各缺方二厘五毫，将何以补之哉？故开方之术，中间正方，谓之方法。正方之外，割裂而加之者，谓之廉法补之于角者，谓之隅法。有廉则必有隅，朱子所言有廉而无隅，零星补凑，愈审而愈疏矣。是故六十四寸八分开方八寸四厘有奇，而不可以为八寸五厘也。今为图如左。