缉古算经_(四库全书本) 中华文库

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　缉古算经　　　　　　　天文算法类二〈算书之属〉提要
　　〈臣〉等谨案缉古算经一卷唐王孝通撰其结衔称通直郎太史丞其始末未详惟唐书律历志戊寅历条下有武徳九年校历人算历博士臣王孝通题盖即其人也是书一名缉古算术唐书艺文志崇文总目俱称李淳风注今案此本卷首实题孝通撰并注则唐志及总目为误又宋志作一卷唐志郑樵艺文略俱作四卷王应麟玉海谓今亡其三案孝通原表称二十术检勘书内条目相同并无缺佚不知应麟何所据而云然也书中大㫖以九章商功篇有平地役功受袤之术其于上寛下狭前髙后卑阙而不论世人多不达其理因于平地明其法凡推朔夜半时月之所离者一术推仰观台及羡道高广袤者一术推筑堤授工上下广及髙袤不同者一术推筑龙尾堤者一术推穿河授工斜正袤上广及深并漘上广不同者一术推四郡输粟窖上下广袤馀郡别出人及窖深广者一术推亭仓上下方髙者一术推刍甍圆囤者各一求推方仓圆窖对待者五术推勾股边积亘求者六术共合二十术之数中间毎以人户道里大小逺近及材物之轻重工作之时日乘除进退叅伍以得其法颇不以深浅为次第故读者或不能骤通而卒篇以后由源竟委端绪足寻洵为思极毫芒曲尽事理唐代明算立学习此书者以三年为限亦知其术之精妙非旦夕所克竟其义矣其书世罕流播此乃宋元丰七年秘书监赵彦若等校定刋行旧本常熟毛扆得之章邱李氏而影抄传之者今详加勘正其文间有脱阙不敢妄补谨撮取其义别加图说附诸本文之左以便观览云乾隆四十六年十一月恭校上
　　总纂官〈臣〉纪昀〈臣〉陆锡熊〈臣〉孙士毅
　　总　校　官　〈臣〉　陆　费　墀











　　上缉古算经表
　　臣孝通言臣闻九畴载叙纪法著于彛伦六艺成功数术参于造化夫为君上者司牧黔首布神道而设教采能事而经纶尽性穷源莫重于算昔周公制礼有九数之名窃寻九数即九章是也其理幽而㣲其形秘而约重句聊用测海寸木可以量天非宇宙之至精其孰能与于此者汉代张苍删补残缺校其条目颇与古术不同魏朝刘徽笃好斯言博综纎隠更为之注徽思极毫芒触类増长乃造重差之法列于终篇虽即未为司南然亦一时独步自兹厥后不继前踪贺循徐岳之徒王彪甄鸾之辈㑹通之数无闻焉耳但旧经残驳尚有阙漏自刘已下更不足言其祖暅之缀术时人称之精妙曾不觉方邑进行之术全错不通刍亭方亭之问于理未尽臣今更作新术于此附伸臣长自闾阎少小学算镌磨愚钝迄将皓首钻寻秘奥曲尽无遗代乏知音终成寡和伏蒙圣朝收拾用臣为太史丞比年已来奉敕校勘傅仁均历凡驳正术错三十馀道即付太史施行伏寻九章商功篇有平地役功受袤之术至于上寛下狭前高后卑正经之内阙而不论致使今代之人不达深理就平正之门同欹邪之用斯乃圎孔方柄如何可安臣昼思夜想临书浩叹恐一旦瞑目将来莫睹遂于平地之馀续狭斜之法凡二十术名曰缉古请访能算之人考论得失如有排其一字臣欲谢以千金轻用陈闻伏深战悚谨言








　　钦定四库全书
　　缉古算经
　　唐　王孝通　撰
　　假令天正十一月朔夜半日在斗十度七百分度之四百八十一章岁为母朔月行定分九千朔日定小馀一万日法二万章岁七百亦名行分也今不取加时度问天正朔夜半之时月在何处〈推朔夜半月度旧术要须加时日度自古先儒虽复修撰改制意见甚众并未得算妙有理不尽考校尤难臣毎日夜思量常以此理屈滞恐后代无人知者今奉敕造历因即改制为此新术旧推日度之术已得朔夜半日度仍须更求加时日度然知月处臣今作新术但得朔夜半日度不须加时日度即知月处此新术比于旧术一年之中十二倍省功使学者易知〉答曰在斗四度七百分度之五百三十
　　术曰〈推朔夜半月度新术不复加时日度月蚀乃可用之〉以章岁减朔月行定分馀以乘朔日定小馀满日法而一为先行分不尽者半法已上收成一已下者弃之若先行分满日行分而一为度分以减朔日夜半日所在度分若度分不足减加往宿度其分不足减者退一度为行分而减之馀即朔日夜半月行所在度及分也〈凡入历当月行定分即是月一日之行分但此定分满章岁而一为度凡日一日行一度然则章岁者即是日之一日行分也今按九章均输篇有犬追兔术与此术相似彼问犬走一百步兔走七十步令兔先走七十五步犬始追之问几何步追及答曰二百五十步追及彼术曰以兔走减犬走馀者为法又以犬走乘兔先走为实实如法而一即得追及步数此术亦然何者假令月行定分九千章岁七百即是日行七百分月行九千分令日月行数相减馀八千三百分者是日先行之数然月始追之必用一日而相及也令定小馀者亦是日月相及之日分假令定小馀一万即相及定分此乃无对为数其日法者亦是相及之分此又同数为有八千三百是先行分也斯则异矣但用日法除之即四千一百五十即先行分故以夜半之时日在月前月在日后以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分即月夜半所在度分也〉
　　假令太史造仰观台上广袤少下广袤多上下广差二丈上下袤差四丈上广袤差三丈髙多上广一十一丈甲县差一千四百一十八人乙县差三千二百二十二人夏程人功常积七十五尺限五日役台毕羡道从台南面起上广多下广一丈二尺少袤一百四尺髙多袤四丈甲县一十三乡乙县四十三乡毎乡别均赋常积六千三百尺限一日役羡道毕二县差到人共造仰观台二县乡人共造羡道皆从先给甲县以次与乙县台自下基给髙道自初登给袤问台道广髙袤及县别给髙广袤各几何
　　答曰
　　台髙一十八丈
　　上广七丈
　　下广九丈
　　上袤一十丈
　　下袤一十四丈
　　甲县给髙四丈五尺
　　上广八丈五尺
　　下广九丈
　　上袤一十三丈
　　下袤一十四丈
　　乙县给髙一十三丈五尺
　　上广七丈
　　下广八丈五尺
　　上袤一十丈
　　下袤一十三丈
　　羡道髙一十八丈
　　上广三丈六尺
　　下广二丈四尺
　　袤一十四丈
　　甲县乡人给髙九丈
　　上广三丈
　　下广二丈四尺
　　上袤七丈
　　下袤一十四丈
　　乙县乡人给髙九丈
　　上广三丈六尺
　　下广三丈
　　下袤七丈
　　术曰以程功尺数乘二县人又以限日乘之为台积又以上下袤差乘上下广差三而一为隅阳羃以乘截髙为隅阳截积羃又半上下广差乘斩上袤为隅头羃以乘截髙为隅头截积所得并二积以减台积馀为实以上下广差并上下袤差半之为正数加截上袤以乘截髙所得増隅阳羃加隅头羃为方法又并截髙及截上袤与正数为廉法从闻立方除之即得上广各加差得台下广及上下袤髙
　　求均给积尺受广袤术曰以程功尺数乘乙县人又以限日乘之为乙积三因之又以髙羃乘之以上下广差乘袤差而一为实又以台髙乘上广广差而一为上广之髙又以台髙乘上袤差而一为上袤之髙又以上广之髙乘上袤之髙三之为方法又并两髙三之二而一为廉法从开立方除之即乙髙以减本髙馀即甲髙此是从下给台甲髙又以广差乘乙髙以本髙而一所得加上广即甲上广又以袤差乘乙髙如本髙而一所得加上袤即甲上袤其甲上广袤即乙下广袤台上广袤即乙上广袤其后求广袤有増损者皆放此〈此应三因乙积台髙再乘上下广差再乘袤差而一又以台髙乘上广为上广之髙又以台髙乘上袤为上袤之髙为小羃二因下袤之髙为中羃一凡下袤下广之髙即是截髙与上袤与上广之髙相连并数然此有中羃定有小羃一又有上广之髙乘截髙为羃各一又下广之髙乘下袤之髙为大羃二乘上袤之髙为中羃一其大羃之中又小羃一复有上广上袤之髙为中羃各乘截髙为中羃各一又截髙自乘为羃一其中羃之内有小羃一又上袤之髙乘截髙为羃一然则截髙自相乘为羃二小羃六又上广上袤之髙各三以乘截髙为羃六令皆半之故以三乘小羃又上广上袤之髙各三令但半之各得一又二分之一故三之二而一诸羃截为积尺〉
　　求羡道广袤髙术曰以均赋常积乘二县五十六乡又六因为积又以道上广多下广数加上广少袤为下广少袤又以髙多袤加下广少袤为下广少髙以乘下广少袤为隅阳羃又以下广少上广乘之为鳖隅以减积馀三而一为实并下广少袤与下广少高以下广少上广乘之为鳖从横廉羃三而一加隅羃为方法又以三除上广多下广以下广少袤下广少高加之为廉法从开立方除之即下广加广差即上广加袤多上广于上广即袤加广多袤即道髙
　　求羡道均给积尺甲县受广袤术曰以均赋常积乘甲县一十三乡又六因为积以袤再乘之以道上下广差乘台髙为法而一为实又三因下广以袤乘之如上下广差而一为都廉从开立方除之即甲袤以广差乘甲袤本袤而一以下广加之即甲上广又以台髙乘甲袤本袤除之即甲髙
　　假令筑堤西头上下广差六丈八尺二寸东头上下广差六尺二寸东头髙少于西头髙三丈一尺上广多东头髙四尺九寸正袤多于东头髙四百七十六尺九寸甲县六千七百二十四人乙县一万六千六百七十七人丙县一万九千四百四十八人丁县一万二千七百八十一人四县毎人一日穿土九石九斗二升毎人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六穿方一尺得土八斗古人负土二斗四升八合平道行一百九十二步一日六十二到今隔山渡水取土其平道只有一十一步山斜髙三十步水寛一十二步上山三当四下山六当五水行一当二平道踟蹰十加一载输一十四步减计一人作功为均积四县共造一日役毕今从东头与甲其次与乙丙丁问给斜正袤与髙及下广并每人一日自穿运筑程功及堤上下髙广各几何
　　答曰
　　一人一日自穿运筑程功四尺九寸二分西头髙三丈四尺一寸
　　上广八尺
　　下广七丈六尺二寸
　　东头髙三尺一寸
　　上广八尺
　　下广一丈四尺二寸
　　正袤四十八丈
　　斜袤四十八丈一尺
　　甲县正袤一十九丈二尺
　　斜袤一十九丈二尺四寸
　　下广三丈九尺
　　髙一丈五尺五寸
　　乙县正袤一十四丈四尺
　　斜袤一十四丈四尺三寸
　　下广五丈七尺六寸
　　髙二丈四尺八寸
　　丙县正袤九丈六尺
　　斜袤九丈六尺二寸
　　下广七尺
　　髙三丈一尺
　　丁县正袤四丈八尺
　　斜袤四丈八尺一寸
　　下广七丈六尺二寸
　　髙三丈四尺一寸
　　求人到程功运筑积尺术曰置上山四十步下山二十五步渡水二十四步平道一十一步踟蹰之间十加一载输一十四步一返计一百二十四步以古人负土二斗四升八合平道行一百九十二步以乘一日六十二到为实却以一返步为法除得自运土到数也又以一到负土数乘之却以穿方一尺土数除之得一人一日运功积又以一人穿土九石九斗二升以穿方一尺土数除之为法除之得穿用人数复置运功积以毎人一日常积除之得筑用人数并之得六人共成二十九尺七寸六分以六人除之即一人程功也
　　求堤上下广及髙袤术曰一人一日程功乘总人为堤积以髙差乘下广差六而一为鳖羃又以髙差小头广差二而一为大卧壍头羃又半髙差乘上广多东头髙之数为小卧壍头羃并三羃为大小壍鳖率乘正袤多小髙之数以减堤积馀为实又置半髙差及半小头广差与上广多小头髙之数并三差以乘正袤多小头髙之数以加率为方法又并正袤多小头并上广多小髙及半髙差而増之兼半小头广差加之为廉法从开方立除之即小髙加差即各得广袤髙又正袤自乘髙差自乘并而开方除之即斜袤
　　求甲县髙广正斜袤术曰以程功乘甲县人以六因取积又乘袤羃以下广差乘髙差以法除之为实又并小头上下广以乘小髙三因之为垣头羃又乘袤羃如法而一为垣方又三因小头下广以乘正袤以广差除之为都廉从开立方除之得小头即甲袤又以下广差乘之所得以正袤除之所得加东头下广即甲广又以两头髙差乘甲袤以正袤除之以加东头髙即甲髙又以甲袤自乘以堤东头髙减甲髙馀自乘并二位以开方除之即得斜袤求髙广以本袤及髙广差求之若求乙丙丁各以本县人功积尺毎以前大髙广为后小髙广凡廉母自乘为方母廉母乘方母为实母〈此平堤在上羡除在下两髙之差即除髙其馀两边各一鳖腝中一壍堵今以袤再乘积广差乘袤差而一得截鳖腝袤再乘为立方一又壍堵袤自乘为羃三又三因小头下广大袤乘之广差而一与羃为髙故为廉法又并小头上下广又三之意同六除然此头羃本乘截袤又袤乘之差相乘而一今还依数乘除一头羃为从得截袤为广〉
　　求堤都积术曰置西头髙倍之加东头髙又并西头上下广半而乘之又置东头髙倍之加西头髙又并东头上下广半而乘之并二位积以正袤乘之六而一得堤积也
　　假令筑龙尾堤其堤从头髙上阔以次低狭至尾上广多下广少堤头上下广差六尺下广少髙一丈二尺少袤四丈八尺甲县二千三百七十五人乙县二千三百七十八人丙县五千二百四十七人各人程功常积一尺九寸八分一日役毕三县共筑今从堤尾与甲县以次与乙丙问龙尾堤从头至尾髙袤广及各县别给髙袤广各多少
　　答曰
　　髙三丈
　　上广二丈四尺
　　下广一丈八尺
　　袤六丈六尺
　　甲县髙一丈五尺
　　袤三丈三尺
　　上广二丈一尺
　　乙县髙二丈一尺
　　袤一丈三尺二寸
　　上广二丈二尺二寸
　　丙县髙三丈
　　袤一丈九尺八寸
　　上广二丈四尺
　　求龙尾堤广袤髙术曰以程功乘总人为堤积又六因之为虚积以少髙乘少袤为隅羃以少上广乘之为鳖隅羃以减虚积馀三约之所得为实并少髙袤以少上广乘之为鳖从横廉羃三而一加隅羃为方法又三除少上广以少袤少髙加之为廉法从开立方除之得下广加差即髙广袤求逐县均给积尺受广袤术曰以程功乘当县人为积尺各六因积尺又乘袤羃广差乘髙为法除之为实又三因末广以袤乘之广差而一为都廉从开立方除之即甲袤以本髙乘之以本袤除之即甲髙又以广差乘甲袤以本袤除之所得加末广即甲上广其甲上广即乙末广其甲髙即垣髙求都廉如前又并甲上下广三之乘甲髙以乘袤羃以法除之得垣方从开立方除之即乙袤馀放此〈此龙尾犹羡除也其壍堵一鳖腝一并而相连今以袤再乘积广差乘髙而一所得截鳖腝袤再自乘为立方一又各一鳖腝截袤再自乘为立方一又壍堵袤自乘为羃三又三因末广以袤乘之广差而一与羃为髙故为廉法〉
　　假令穿河袤一里二百七十六步下广六步一尺二寸北头深一丈八尺六寸上广十二步二尺四寸南头深二百四十一尺八寸上广八十六步四尺八寸运土于河西岸造漘北头髙二百二十三尺二寸南头无髙下广四百六尺七寸五牦袤与河同甲郡二万二千三百二十人乙郡六万八千七十六人丙郡五万九千九百八十五人丁郡三万七千九百四十四人自穿负筑各人程功常积三尺七寸二分限九十六日役河漘俱了四郡分共造漘其河自北头先给甲郡以次与乙合均赋积尺问逐郡各给斜正袤上广及深并漘上广各多少
　　答曰
　　漘上广五丈八尺二寸一分
　　甲郡正袤一百四十四丈
　　斜袤一百四十四丈三尺
　　上广二十六丈四寸
　　深一十一丈一尺六寸
　　乙郡正袤一百一十五丈二尺
　　斜袤一百一十五丈四尺四寸
　　上广四十丈九尺二寸
　　深一十八丈六尺
　　丙郡正袤五十七丈六尺
　　斜袤五十七丈七尺二寸
　　上广四十八丈三尺六寸
　　深二十二丈三尺二寸
　　丁郡正袤二十八丈八尺六寸
　　斜袤二十八丈八尺六寸
　　上广五十二丈八寸
　　深二十四丈一尺八寸
　　术曰如筑堤术入之〈覆堤为河彼注甚明髙深稍殊程功是同意可知也〉以程功乘甲郡人又以堤日乘之四之三而一为积又六因以乘袤羃以上广差乘深差为法除之为实又并小头上下广以乘小头深三之为垣头羃又乘袤羃以法除之为垣方三因小头上广以乘正袤以广差除之为都廉从开立方除之即得小头为甲袤求深广以本袤及深广差求之为法以两头上广差乘甲袤以本袤除之所得加小头上广即甲上广以小头深减南头深馀以乘甲袤以本袤除之所得加小头深即甲深又正袤自乘深差自乘并而开方除之即斜袤若求乙丙丁毎以前大深广为后小深广准甲求之即得
　　求漘上广术曰以程功乘总人又以限日乘之为积六因之为实以正袤除之又以髙除之所得以下广减之馀又半之即漘上广
　　假令四郡输粟斛法二尺五寸一人作功为均自上给甲以次与乙其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗乙郡输粟三万四千九百五石六斗丙郡输粟二万六千二百七十石四斗丁郡输粟一万四千七十八石四斗四郡共穿窖上袤多于上广一丈少于下袤三丈多于深六丈少于下广一丈各计粟多少均出丁夫自穿负筑冬程人功常积一十二尺一日役问窖上下广袤深郡别出人及窖深广各多少
　　答曰
　　窖上广八丈
　　上袤九丈
　　下广一十丈
　　下袤一十二丈
　　深三丈
　　甲郡八千七十二人
　　深一十二尺
　　下袤一十丈二尺
　　广八丈八尺
　　乙郡七千二百七十二人
　　深九尺
　　下袤一十一丈一尺
　　广九丈四尺
　　丙郡五千四百七十三人
　　深六尺
　　下袤一十一丈七尺
　　广九丈八尺
　　丁郡二千九百三十三人
　　深三尺
　　下袤一十二丈
　　广一十丈
　　求窖深广袤术曰以斛法乘总粟为积尺又广差乘袤差三而一为隅阳羃乃置壍上广半广差加之以乘壍上袤为隅阳羃及隅头羃加之为方法又置壍上袤及壍上广并之为大广又并广差及袤差半之以加大广为廉法从开立方除之即深各加差即合所问
　　求均给积尺受广袤深术曰如筑堤术入之以斛法乘甲郡输粟为积尺又三因以深羃乘之以广差乘袤差而一为实深乘上广广差而一为上广之髙深乘上袤袤差而一为上袤之髙上广之髙乘上袤之髙三之为方法又并两髙三之二而一为廉法从开立方除之即甲深以袤差乘之以本深除之所得加上袤即甲下袤以广差乘之本深除之所得加广即甲下广若求乙丙丁毎以前下广袤为后上广袤以次皆准此求之即得若求人数各以程功约当郡积尺
　　假令亭仓上小下大上下方差六尺髙多上方九尺容粟一百八十七石二斗今已运出五十石四斗问仓上下方髙及馀粟深上方各多少
　　答曰
　　上方三尺
　　下方九尺
　　髙一丈二尺
　　馀粟深上方俱六尺
　　求仓方髙术曰以斛法乘容粟为积尺又方差自乘三而一为隅阳羃以乘截髙以减积馀为实又方差乘截髙加隅阳羃为方法又置方差加截髙为廉法从开立方除之即上方加差即合所问求馀粟髙及上方术曰以斛法乘出粟三之以乘髙羃令方差羃而一为实〈此是大小髙各自乘又相乘各乘取髙是大髙者即是取髙与小髙并〉髙乘上方方差而一为小髙令自乘三之为方法三因小髙为廉法从开立方除之得取出髙以减本髙馀即残粟髙置出粟髙又以方差乘之以本髙除之所得加上方即馀粟上方〈此本术曰上下方相乘又各自乘并以髙乘之三而一今还元三之又髙羃乘之差羃而一得大小髙相乘又各自乘之数何者若髙乘下方方差而一得大髙也若髙乘上方方差而一得小髙也然则斯本下方自乘故湏髙自乘乘之差自乘而一即得大髙自乘之数小髙亦然凡大髙者即是取髙与小髙并相连今大髙自乘为大方大方之内即有取髙自乘羃一隅头小髙自乘羃一又其两边各一以取髙乘小髙为羃二又大小髙相乘为中方中方之内即有小髙乘取髙羃一又小髙自乘即是小方之羃又一则小髙乘大髙又各自乘三等羃皆以乘取髙为立积故三因小羃为方及三小髙为廉也〉
　　假令刍甍上袤三丈下袤九丈广六丈髙一十二丈有甲县六百三十二人乙县二百四十三人夏程人功当积三十六尺限八日役自穿筑二县共造今甲县先到问自下给髙广袤各多少
　　答曰
　　髙四丈八尺
　　上广三丈六尺
　　袤六丈六尺
　　求甲县均给积尺受广袤术曰以程功乘乙县人数又以限日乘之为积尺以六因之又髙羃乘之又袤差乘广而一所得又半之为实髙乘上袤袤差而一为上袤之髙三因上袤之髙半之为廉法从开立方除之得乙髙以减甍髙馀即甲髙求广袤依率求之〈此乙积本倍下袤上袤从之以下广及髙乘之六而一为一甍积今还元须六因之以髙羃乘之为实袤差乘广而一得取髙自乘以乘二上袤之髙并大广袤相连之数则三小髙为廉法各以取髙为方仍有取髙为立方者故半之为立方一又须半廉法〉
　　假令圆囤上小下大斛法二尺五寸以率径一周三上下周差一丈二尺髙多上周一丈八尺容粟七百五斛六斗今已运出二百六十六石四斗问残粟去口上下周髙各多少
　　答曰
　　上周一丈八尺
　　下周三丈
　　髙三丈六尺
　　去口一丈八尺
　　粟周二丈四尺
　　求圆囤上下周及髙术曰以斛法乘容粟又三十六乘之三而一为方亭之积又以周差自乘三而一为隅阳羃以乘截髙以减亭积馀为实又周差乘截髙加隅阳羃为方法又以周差加截髙为廉法从开立方除之得上周加差而合所问
　　求粟去口术曰以斛法乘出斛三十六乘之以乘髙羃如周差羃而一为实髙乘上周周差而一为小髙令自乘三之为方法三因小髙为廉法从开立方除之即去口〈三十六乘讫即是截方亭之前方窖不别〉置去口以周差乘之以本髙除之所得加上周即粟周
　　假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升欲作方仓一圆窖一盛各满中而粟适尽令髙深等使方面少于圆径九寸多于髙二丈九尺八寸率径七周二十二问方径深多少
　　答曰
　　仓方四丈五尺三寸〈容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合〉窖径四丈六尺二寸〈容粟一万三百九十七石七斗七升二合〉髙与深各一丈五尺五寸
　　求方径髙深术曰十四乘斛法以乘粟数二十五而一为实又倍多加少以乘少数又十一乘之二十五而一多自乘加之为方法又倍少数十一乘之二十五而一又倍多加之为廉法从开立方除之即髙深各加差即方径〈一十四乘斛法以乘粟为积尺前一十四除今还元一十四乘为径自乘者是一十一方自乘者是一十四故并之为二十五凡此方圆二径长短不同二径各自乘为方大小各别然则此壍方二丈九尺八寸壍径三丈七寸皆成立方此应壍方自乘一十四乘之壍径一十一乘之二十五而一为隅羃即方法也但二隅皆以壍数为方面今此术就省倍小隅方加差为短以差乘之为短羃一十一乘之二十五而一又小隅方自乘之数即是方圎之隅同有此此数若二十五乘之还湏二十五除直以小隅方自乘加之故不复乘除又湏倍二廉之差一十一乘之二十五而一倍二廉加之故为廉法不复二十五乘除之也〉
　　还元术曰仓方自乘以髙乘之为实圆径自乘以深乘之一十一乘一十四而一为实皆以斛法除之即得容粟〈斛法二尺五寸〉
　　假令有粟一万六千三百四十八石八斗欲作方仓四圆窖三令髙深等方面少于圆径一丈多于髙五尺斛法二尺五寸率径七周二十二问方髙径多少
　　答曰
　　方一丈八尺
　　髙深一丈三尺
　　圆径二丈八尺
　　术曰以一十四乘斛法以乘粟数如八十九而一为实倍多加少以乘少数三十三乘之八十九而一多自乘加之为方法又倍少数以三十三乘之八十九而一倍多加之为廉法从开立方除之即髙深各加差即方径〈一十四乘斛法以乘粟为径自乘及方自乘数与前同今方仓四即四因十四圆窖三即三因十一并之为八十九而一此壍径一丈五尺壍方五尺以髙为立方自外意同前〉
　　假令有粟三千七十二石欲作方仓一圆窖一令径与方等方多于窖深二尺少于仓髙三尺盛各满中而粟适尽〈圆率斛法并与前同〉问方径髙深各多少
　　答曰
　　方径各一丈六尺
　　髙一丈九尺
　　深一丈四尺
　　术曰三十五乘粟二十五而一为率多自乘以并多少乘之以乘一十四如二十五而一所得以减率馀为实并多少以乘多倍之乘一十四如二十五而一多自乘加之为方法又并多少以乘一十四如二十五而一加多加之为廉法从开立方除之即窖深各加差即方径髙〈截髙五尺壍径及方二尺以深为立方十四乘斛法故三十五乘粟多自乘并多少乘之为截髙隅积减率馀即二方廉各二尺长五尺自外意㫖皆与前同〉
　　假令有粟五千一百四十五石欲作方窖圆窖各一令口小底大方面于圆径等两深亦同其深少于下方七尺多于上方一丈四尺盛各满中而粟适尽〈圆率斛法并与前同〉问方径深各多少
　　答曰
　　上方径各七尺
　　下方径各二丈八寸
　　深各二丈一尺
　　术曰以四十二乘斛法以乘粟七十五而一为方亭积令方差自乘三而一为隅阳羃以截多乘之减积馀为实以多乘差加羃为方法多加差为廉法从开立方除之即上方加差即合所问〈凡方亭上下方相乘又命自乘并以乘髙为虚命三而一为方亭积若圆亭上下径相乘又各自乘并以乘髙为虚又十一乘之四十二而一为圆亭积今方圆二积并在一处故以四十二复乘之即得圆虚十一方虚十四凡二十五而一得一虚之积又三除虚积为方亭实乃依方髙覆问法见上下方差及髙差与积求上下方髙术入之故三乘二十五而一〉
　　假令有粟二万六千三百四十二石四斗欲作方窖六圆窖四令口小底大方面与圆径等其深亦同令深少于下方七尺多于上方一丈四尺盛各满中而粟适尽〈圆率斛法并与前同〉问上下方深数各多少
　　答曰
　　方窖上方七尺
　　下方二丈八尺
　　深二丈一尺
　　圆窖上下方深与方窖同
　　术曰以四十二乘斛法以乘粟三百八十四而一为方亭积尺令方差自乘三而一为隅阳羃以截多乘之以减积馀为实以多乘差加羃为方法又以多加差为廉法从开立方除之即上方加差即合所问〈今以四十二乘圆虚十一者四方虚十四者六合一百二十八虚除之为一虚之积得者仍三而一为方亭实积乃依方亭见差覆问求之故三乘一百二十八除之〉
　　假令有句股相乘羃七百六五十分之一多于句三十六十分之九问三事各多少
　　答曰
　　句十四二十分之七
　　股四十九五分之一
　　五十一四分之一
　　术曰羃自乘倍多数而一为实半多数为廉法从开立方除之即句以多句加之即以句除羃即股〈句股相乘羃自乘与句羃乘股羃积等故以倍句差而一得一句与半差之共乘句羃为方故半差为廉从开立方除之　按此术原本不全今依句股义拟补十三字〉
　　假令有句股相乘羃四千三十六五分之○股少于六五分之一问多少〈按此问原本缺二字今依文补一股字其股字上之○系所设分数未便悬拟今姑阙之〉
　　答曰一百一十四十分之七
　　术曰羃自乘倍少数而一为实半少为廉法从开立方除之即股加差即
　　假令有句相乘羃一千三百三十七二十分之一多股一十分之一问股多少
　　答曰九十二五分之二
　　术曰羃自乘倍多而一为立羃又多再　乘半之减立羃馀为实又多数自乘　　为方法又置多数五之二而一为廉　　开立方除之即股〈句相乘
　　羃自　　　羃乘羃之　　　　股差而一得一股与半差　　　　　为方令多再自乘半
　　之为隅　　　　　横虚二立廉倍之为从隅〉
　　〈多为上广即二多　　　　　　　　　法故五之二而一○案此术原本不全今加案于后〉
　　〈并别立一术绘图加说以补其阙〉
　　案此术脱简既多法亦烦扰冝云羃自乘多数而一所得四之为实多为廉法从立方开之得减差半之即股〈羃自乘与勾羃羃相乘积等令勾羃变为股并乘股差故差而一所得乃股并乘羃〉





　　如圗之甲乙丙丁戊
　　戊巳为股并乘
　　羃〈甲巳与丙丁䓁为股并庚丁戊巳
　　为羃〉即差而一所得
　　四之成甲乙丙辛壬
　　癸子丑立方实其庚
　　壬癸子为四羃甲乙寅卯辰午未形为股并再自乘实故丑未或寅辛类皆股差为廉实之从开得甲己类股并减差半之得股矣
　　假令有股相乘羃
　　三句少于五十
　　答曰六
　　术曰羃自乘
　　再自乘半之以矣
　　乘倍之为方法
　　廉法从开立方
　　羃即股
　　假令有股相乘羃
　　七问股多少
　　答曰股二十
　　术曰羃自
　　除之所得
　　〈数亦是股为长以股〉
　　〈得股羃又开股北分母常〉
　　假令有股十六二分
　　十四二十五分
　　答曰
　　术曰羃自乘
　　除之所得又开方


　　缉古算经
　　缉古算经䟦
　　按唐书选举志制科之目明算居一其定制云凡算学孙子五曹共限一岁九章海岛共三岁张邱建夏侯阳各一岁周髀五经算共一岁缀术四岁缉古三岁记遗三等数皆兼习之窃惟数学为六艺之一唐以取士共十经周髀家塾曾刋行之馀则世有不能举其名者扆半生求之从太仓王氏得孙子五曹张邱建夏侯阳四种从章邱李氏得周髀缉古二种后从黄俞邰又得九章皆元丰七年秘书省刋板字画端楷雕镂精工真世之宝也每卷后有秘书省官衔姓名一幅又一幅宰辅大臣自司马相公而下俱列名于后用见当时郑重若此因求善书者刻画影摹不爽毫末什袭而藏之但焉得海岛五经缀术三种竟成完璧并得好事者刋刻流布俾数学不绝于世所深愿也
　　康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识