大衍说 中华文库

　　天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十，列级堆垛，积五十有五。令诸数皆平方，于末层十之下际，距角作一横线，两角各作斜线，上引相遇于首层一之顶，则堆垛截为圭形，其广十，正从亦十，以半广乘正从，得五十。此大衍之数所由生。

　　衍，古字多为羡，《周官》有璧羡，又称以其馀为羡。今以圭外数减堆垛数，馀五十，故曰大羡五十，不可再减已。然以列数乘方求差，则五十必穷，而四十九不穷。是何也？五十之半为二十五，折半则中闲必空。自四十九逆数至一，其分脊之位亦值二十五，则二十五得为中数。取二十五之前一数自乘，与后一数自乘，其差一百。递前后各二、三、四、五数自乘，其差亦递为二百、三百、四百、五百。至前后各二十四数自乘，其差则为二千四百。唯后二十五数值五十，前二十五数值无，以五十自乘求与之相较而差二千五百者，唯无之自乘耳。五十无对，则其用自穷。虽然，五十不可揜也，取二十五递前后诸数相并，无不为五十者，唯五十无可与并，是以五十不自用，而用四十九也。非徒五十不自用，二十五亦不自用也。有二十五前后列数，故分为二以象两。二十五不自乘，故挂一以象三欤？〈今作矩广袤各二十五，并之为五十，其实矩祇四十九尔。则二十五独为隅，而广袤各二十四者为两廉矣，此亦其义。〉

　　二十五递前后各数自乘相差表

二十四自乘五百七十六。　　　　二十六自乘六百七十六。〈相差一百。〉

二十三自乘五百二十九。　　　　二十七自乘七百二十九。〈相差二百。〉

二十二自乘四百八十四。　　　　二十八自乘七百八十四。〈相差三百。〉

二十一自乘四百四十一。　　　　二十九自乘八百四十一。〈相差四百。〉

二十自乘四百。　　　　　　　　三十自乘九百。〈相差五百。〉

十九自乘三百六十一。　　　　　三十一自乘九百六十一。〈相差六百。〉

十八自乘三百二十四。　　　　　三十二自乘一千零二十四。〈相差七百。〉

十七自乘二百八十九。　　　　　三十三自乘一千零八十九。〈相差八百。〉

十六自乘二百五十六。　　　　　三十四自乘一千一百五十六。〈相差九百。〉

十五自乘二百二十五。　　　　　三十五自乘一千二百二十五。〈相差一千。〉

十四自乘一百九十六。　　　　　三十六自乘一千二百九十六。〈相差一千一百。〉

十三自乘一百六十九。　　　　　三十七自乘一千三百六十九。〈相差一千二百。〉

十二自乘一百四十四。　　　　　三十八自乘一千四百四十四。〈相差一千三百。〉

十一自乘一百二十一。　　　　　三十九自乘一千五百二十一。〈相差一千四百。〉

十自乘一百。　　　　　　　　　四十自乘一千六百。〈相差一千五百。〉

九自乘八十一。　　　　　　　　四十一自乘一千六百八十一。〈相差一千六百。〉

八自乘六十四。　　　　　　　　四十二自乘一千七百六十四。〈相差一千七百。〉

七自乘四十九。　　　　　　　　四十三自乘一千八百四十九。〈相差一千八百。〉

六自乘三十六。　　　　　　　　四十四自乘一千九百三十六。〈相差一千九百。〉

五自乘二十五。　　　　　　　　四十五自乘二千零二十五。〈相差二千。〉

四自乘一十六。　　　　　　　　四十六自乘二千一百一十六。〈相差二千一百。〉

三自乘九。　　　　　　　　　　四十七自乘二千二百零九。〈相差二千二百。〉

二自乘四。　　　　　　　　　　四十八自乘二千三百零四。〈相差二千三百。〉

一自乘一。　　　　　　　　　　四十九自乘二千四百零一。〈相差二千四百。〉

无自乘无。　　　　　　　　　　五十自乘二千五百。〈相差二千五百。〉

　　今絫取三数，则前后两数自乘之差，必为中闲一数之四倍，絫取五数，则递前递后两数自乘之差，必为中间一数之八倍，馀可类推也。然则絫而成奇者得有中数，絫而成耦者无是，是故五十不可用，而四十九可用。他数絫以成奇者，取其中位，则前后自乘之数悉有衰次。然唯以二十五为中位者，前后相差，自一百、二百以至二千四百，皆整齐明画，不假筹策而知。是故四十九而下，一切絫成奇者，亦不用。独四十九便于用。

　　近代说大衍之数者二家:一、孔广森，谓大衍之数为句股术，五十即句股弦三幂相和之数，四十九即句股和自乘之数，虚一不用，即句股较股弦较之数。然五十之数出于无因，且句股术者，但以句股两幂相和，开方适尽，则弦亦适尽。有句五、股十二、弦十三者，有句八、股十五、弦十七者，有句二十、股二十一、弦二十九者，有句九、股四十、弦四十一者，非定以句三、股四、弦五为率也。二、焦循，谓衍即旁广，训诂亦近矣。而取秦九韶一、二、三、四互乘之说。然按其数，一乘二为二，二乘三为六，三乘四为十二，四乘一为四，四乘二为八，则不足五十。而又阙三乘一之数，别出六乘四为二十四，一乘十二为十二，是即絫乘非互乘，其说亦支离矣。若昔儒京、马、荀、郑、虞、姚、王、崔之说，穿凿损补，弥不可依，故今别造新义，较之诸家，盖近自然也。

　　问曰：天地之数五十有五，所以成变化而行鬼神，其义可得闻乎？曰：行鬼神则吾不知，成变化乃可知矣。一加二为三，三之平方九，中函一、二诸立方。一、二加三为六，六之平方三十六，中函一、二、三诸立方。一、二、三加四为十，十之平方一百，中函一、二、三、四诸立方。一、二、三、四加五为十五，十五之平方二百二十五，中函一、二、三、四、五诸立方。一、二、三、四、五加六为二十一，二十一之平方四百四十一，中函一、二、三、四、五、六诸立方。一、二、三、四、五、六加七为二十八，二十八之平方七百八十四，中函一、二、三、四、五、六、七诸立方。一、二、三、四、五、六、七加八为三十六，三十六之平方一千二百九十六，中函一、二、三、四、五、六、七、八诸立方。一、二、三、四、五、六、七、八加九为四十五，四十五之平方二千零二十五，中函一、二、三、四、五、六、七、八、九诸立方。一、二、三、四、五、六、七、八、九加十为五十五，五十五之平方三千零二十五，中函一、二、三、四、五、六、七、八、九、十诸立方。率絫加至某数，以其积乘方，即函加数之立方，自是以往，靡不准是。夫以堆垛数自乘为平方，而平方即中函立方，斯岂非变化之至者乎！知少广之术，可以开立方；知斯术也，可以开立方丛矣。〈又天数二十五，开平方得五。地数三十，开较一从方得袤六广五。凡奇数相絫者，开平方即絫次。耦数相絫者，开较一从方，其广即絫次。明《易》义兼堆垛、开方二术。〉