钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第七十八卷目录

　历法总部总论六

皇清一

　　新法历引〈历学维新　地球　天道　历元　历算　句股　割圆　恒星　星中

　　出没　日轨　年月　昼夜晨昏　太阴　交食　三馀　五纬异行　五纬纬行　五星伏

　　见〉

历法典第七十八卷

历法总部总论六

皇清一

新法历引

历学维新

历学有法有用。法者，测各重天之运行体势，以审诸曜出入隐现，以求本行轨道，以定准则也。用者，取本法测定之分数，随方随时，以推步日月五星次舍、冲照、交食、凌犯、顺逆等情也。二者阙一不可，然而立法难矣。语云：“毫厘之差，千里之谬。” 在历学为尤甚。中国自汉迄元，造历者七十馀辈，立法者仅十有三家，且皆不免乖违，后人难凭致用。有谓得一冬至之正时即为密近者，非也。测冬至之于历术，未及百分之一，闻一知百，世无其人。有谓得一岁实、一朔实及转终、交终等策为已定者，非也。此皆诸曜平行之率，何由遽定视行？有谓测率四应可以无忒者，非也。此不过推算平行之界而已。有谓多测交食，“稽其某法先天，某法后天，而后汇计筹策，折中取之” 者，亦非也。历家法数繁琐，用以算步交食，不下四十馀条，究竟何项何款，可以折中取半者？因知古来修改，门户虽岐，实则互相依傍，间有出一二新意，亦未必洞晓本元。迹其大端，犹不过截前至后，通计所差，加减、乘除分泒各岁之下，便为修改“已耳。即使仅合一时，岂能施诸久远。后惟《授时历》庶称精密，顾其法亦未尽善，在当日已有推食不食、食而失推之弊，何况沿袭至于今日哉！他若《回回历》者，其历元为西域所定，使非中历，先推太阳躔度至春分之日，彼亦茫然无据以得支干，以合中国所用岁月也。况其历元已历千年，不可复用” 乎？兹惟《新法》悉本之西洋治历名家，曰“多禄某” 、曰“亚而封所” 、曰“歌白泥” 、曰“苐谷” 四人者。盖西国之于历学，师传曹习，人自为家。而是四家者，首为后学之所推重，著述既繁，测验益密，立法致用，俱臻至极。旅辈采其精详，究其奥赜，而又参以独得，发所未发焉。更审今测以广古测，必求合天，年世互考。中西各例，半皆仍旧。合异归同，成书已进。

阙庭新法已行，天下用彰。

昭代历典，度越前古。暨质诸来祀，虽亿万年，永永。

不爽云

地球

地在天之中心，常静不动；与天相较，不啻稊米之于乔岳也。其形浑圆，古谓“方”者，盖指其德耳。凡居处地球者，其视日景之不同分有五带，其中则自赤道南北各以二十三度半为限。〈此即二极出地之高。〉名为“暖带。”居其下者，午正立表。揆日测景，必自射南射北顾，每岁必有二日。其表无景，即春秋二分，太阳正过其天顶之日也。〈此指正居赤道下者春秋二分日中无景过春分则景在南过秋分则景在北〉此带惟一。又于其南其北，各自二十三度半外，各截至六十六度半为限，名为“温带。”其下居南者，表景恒射南；居北者，表景恒射北。岁有一日，其景极短，然太阳则不经其天顶矣。此带有二：以上三带，皆太阳每日有出有入者也。又于南北二方，自六十六度半外，各底其极，名为“冷带。”其下或表景周围旋转，有日太阳绕其地恒见、有日太阳绕其地恒隐。隐见之候，或久至半岁、或数月不等。此带亦二，是为大地共分五带之概也。因此推知距赤道之南北二方，其气候必相反。如太阳躔星纪宫，向北之方为冬至、向南之方为夏至，春、秋二分以及诸节，莫不皆然。又因此推知地球为人所止。以天顶而分四方，亦可界为三百六十度，以合天行。东西为经，测以赤道；南北为纬，测以子午。〈规名解见下篇〉但测南北者，有二极以为之端。欲测东西，则须先定一所，以为起界。〈新历悉以京师为起界他方虽未亲测亦据舆图以定其经纬〉而后地之经纬，皆可得而明焉。苟不谙此。则无以知幅员相距之数。而诸方“太阳节气、五星经度、凌犯交食时刻、日食分秒。”悉无从推步矣。〈日食南北东西各不同月食分数皆同但东西不同时耳〉且不惟是即古测今测岁实之异，日出日入昼夜永短之差，咸取准于地之纬度，所系大矣。其

可忽诸

天道

“天体浑沦，穹然莫辨，必也相形酌理，判立界限，以为依据，而后推测之功可施。”则夫设立诸规，以著象数，为用甚大且急，较为历家首务也。新法总有四大规：一曰地平、一曰赤道、一曰黄道、一曰子午。四规阙一不可。盖地平规者，从人足所附极目四望之界而设也。人附地面所可望见者，天之半耳。其半恒绕于地下，人不可得而见也。即此可见不可见之界，而诸曜由是而出入，明暗昼夜，由是而分。因设此规，剖为四象，以应四方。象各限以九十度，是为地平经度，而各曜出入之方位以辨矣。又自地平上至天顶，设“距”等圈，以为地平纬度。而各曜渐升之度，以明各曜出地离赤道之纬度，并北极出地之数，皆可得而稽之矣。赤道规者，从南北二极相距正中之界而设也。古曰：“天行健”，又曰：“天左旋。”左旋而行健，则知南北必有其极矣。极也者，天体永久不动之两点，周天倚为环动之枢者也。〈极，非星也，云“极星” 者，盖指其最近极之星以命耳。〉如一极出地，必一极入地，其出入之度，惟《均历》家乃于二极相距最中之界，设有赤道一规，平分天体为南北。南者为外为阳，而北者为内为阴，其亘于天中也，终古不易。推步者毕赖之为准则，无容置议也。本规列度三百有六十、辰十有二，刻九十有六，天体一日一周之运，于是焉纪；昼夜刻分之永短，于是焉定；“黄道出入之广狭，于是焉齐，春秋二分之晷景，于是焉限，南北纬算，于是焉起，天地全圆，于是焉度。凡此皆其用也。”黄道规者，从太阳旋周一岁之界而设也。盖太阳行天一岁所周轨迹，旋以成规，是名“黄道。本规斜络于赤道，其半在南，最南界为冬至，其半在北，最北界为夏至。二道相交之两点为”春秋分，以故四平分之为象限。限各九十度者，是即二分、二至四正之限也，总计为三百六十度，十二剖之为宫，二十四剖之为节气，七十二剖之为候，盖用以节七曜列宿之行，用以审日月交食之限，至较著也。子午规者，从诸曜升降度适中之界而设也。太阳一日旋天一周，见于东方，渐升至高为正午，此地平以上东半昼分。过午向西，渐底地平，是为西半昼分，乃谓之“降。”他曜皆然。于此升降度之中界立有一规，名为“子午诸曜际。”此谓为在子、在午。是规透过赤道及地平各二极，其偕赤道地平而交为直角也，恒然不动。但人在地面南北迁，此规惟一；东西迁，则随在各异也。〈与地平同〉已上四规，各有本用所系，非小历家测候欲求“七政行度”、《会望》等诸法，舍此无从措手。以此未言象数，先以“详明诸规”为首务也。

一系赤道有恒动、恒不动二用。恒不动者，以定各方时刻，恒动者以相交相割于黄道也。俗谓赤道有二者，盖即指此二用，非实有二道也。《二系》赤道正居天顶，则两极适与地平相当。至若赤道斜交地平之所，则极出地度数，即赤道距天顶度数矣。其经度即过极圈，纬度即距等圈也。

《三系》黄道与赤道斜交。故其极自有本极，谓之黄极。黄极者。恒星与太阳本行之枢也。论二道最远之距。〈即“南至” 、“北至” 之距。〉“今古不同。”今测定为天度二十三度三十一分三十秒。上古较多数十分，后此则渐减矣。

四系周天诸道，用立多规，以便测验。但其为规也，非止旋周一线而已，盖一满平圆面也。面为各曜之所经行，故谓之道。某曜在某面上，即谓之在某道云。

历元

所谓“历元” 者，乃以诸曜之平行同时而求各所历数，历家因之，用为起算之根也。新法则以天聪戊辰前太阳过天正，冬至后第一子正为历元，其日干则己卯也。斯时太阳躔星纪宫初度五十三分，太阴在六宫初度五十分。他曜皆以此时行度为准，不用冬至时刻，与旧历异。缘冬至有正有平，最难得其真率也。夫《历元》为诸算先资，稍有舛忒即诸行皆谬矣。况诸曜终岁细行。莫不以子正起算。又安用冬至时刻为哉！

历算

旧以《周天》判为三百六十五度又四分度之一，所谓日度也。盖以太阳之行黄道，日一度，度析百分，分析百秒，且又均之分为宫次，气候法用奇零，势难齐一。且天度者，岁实之日分也。《中历》所用岁实，诸家多寡不等，是其分天，非一定之术，而为游移之法。欲以是决定诸曜之行，岂不

难乎？若夫新法之分周天历度也，即于天度以三百六十平剖之，度析六十分，分析六十秒。盖六十者，半之则为三十，三之一则二十，四之一则十五。馀任剖析，皆为自然而然之分。往古《历纪》，未始繁载，但于测得之数，曰“某度几何分之一”而已。错综离合，其于历算甚便也。请言历算，夫历之为数，祇就天行，无假淹贯《九章》，而其所须用者，加减乘除开方五法。古用觚棱近便珠算，西法第资毫颖。今复有算筹之创，简捷尤甚矣。所谓加法者，以类相比，并多分以成全，如度并度，分并分，秒并秒，时刻并时刻是也。此须知定位及进位之法，如积六十秒为一分，积六十分为一度，秒进于分之位，分进于度之位，而与他度分秒并之。若加时刻，则以十五分进一刻，四刻进一时，二十四时进一日，二十四西法谓之“小时”也，此加法也。减与加反，用稽所馀。其法先须较数多寡，多中减寡，理数易明。若于少内减多，必立借法以通其变。如借度化分，借分化秒，为本类以用之。乘法者，九九互积之义。有实数，有法数。凡单数乘度，分秒不变位。若度乘度复生多度，分乘分以生秒，秒乘秒以生微，则皆变位。〈“分秒相生” ，皆指奇零而言。〉此不可不知也。除法者，以少剖多分分除减意也。为法有二，或以单数商除，亦不变位。苟分度不尽，即以馀度化分除之，分秒亦然。开方者以化法求其微数，用筹乘除，然后再受为度，或用三率法亦可。是五法者，尽历算矣。然而新历之算诸星经纬及交食等项也，盖有二术：其一，取所图各宿曜本行规之半径，并其所设某日平行。〈即本圈上之弧〉“用诸三角形法推演，乃可得经纬细行或交食之分数时刻。”此术最为缜密，果能精心于此，即诸天周行轨迹隐微，罔不洞然。其二以先所推定诸表握算，设如某日某刻欲求太阳经度，则第用加、减二法，检表二三次以求，即可得其宫度。较之中历节气求经朔之法，简便数倍。馀如五星、太阴等曜，以及交食，皆各有表可稽。火星兼用乘除，他则但资加减，立法虽难，致用则易。然而一趋超径，万一操觚小失，恐并迷昧“元初之理。”所以二术不可偏废，皆为推步家之所朝夕从事者也。

句股

句股之术，从来尚矣。古《九章》《周髀》载之，究不过一三边直角形而已。垂线为股，横线为句，斜线为弦，测量家立表代股，平圭代句，而景为其弦。善斯术者，高深广远，无不可求，而测天之为用尤大。然而旧法虽有三元、五和、五较等用，不过设二求三，且泥于直角一形，若遇斜角、弧角，无以措用矣。新法变而通之，既名其公曰《三角形》，又审其平面、球面、曲线、杂线、锐角、钝角之别，即知天为圜体，宜测以弧；宿曜近远、诸道互交，宜测以多类之弧；遂生多类之三弧形。于是各形咸备，有三弧三角，互设三以求馀三。是谓以圆齐圆，于法为善。故虽天道隐微，象数零杂，未有能遁焉者也。

割圆

割圜，古法亦即以圜求圜之意。但古法设弧以求弦矢，款目四十馀项，颇为艰繁。新法易之以表，开卷即得。盖因圜形之弧与角，总代以直线数种，稽其数名为《八线表》云。夫圜形半径为本规六平分之通弦。若二半径各自乘之，并而开方，可得本规四平分之通弦。用几何诸法，又可得各度分之通弦。其各弧及其通弦折半，乃得正弦。正弧有弦，弧即有其矢矣，故矢不另立表也。通弦之外有切线、割线，通弦全在规内，切线全在规外，线从规心出于规周之外，则为割线。然而弧有正、有馀。弦、矢、切、割四者，因亦各有正、馀。如一象限为本表之限，或于限内取几何度，谓为正弧，其或逾九十度者，即谓之馀矣。正馀各有弦、矢割切四线，都为八线也。

恒星

恒星，亦名“列星” ，亦名“经星。” 云“恒” 者，谓其象终古不易也。云“经” 者，以别于五纬南北行之义，其数甚夥，莫能穷尽。就中有光体渺微、非目可及、非仪可测者，略而不录。其在等第之内，已经新法测定者，南北二极，共一千七百二十有五星，稽其大小，分为六等：第一等大星如五帝座织女类者，一十有七；二等如帝星开阳类者，五十有七。三等如太子少卫类者，八十有五。四等如上将柱史类者，三百八十有九。五等如上相虎贲类者，三百二十有三；六等如天皇大帝后宫类者，二百九十有五。此皆有名之星，计共一千一百六十有六，馀皆无名者矣。至于天汉斜络天，

体，古昔多谬解。迩来窥以远镜，知是无算小星，接攒一带。即如积尸气等，亦小星攒聚以成，第非人目所能辨，遂作如是观耳。小者不足论，论其大者，古历以周天诸星分为三垣二十八宿，各定有名位座次，每座每宿星数多寡不齐。顾其所谓宿者，盖取七曜经行止宿之义，且用以便测算经度，又为其各能主施德也。《西古历》亦列二十八舍，所定二十八距星，皆与中古吻合，第觜距西用天关为小异耳。此二十八宿者，各以一字命名，分注每日之下，内以房、虚、星、昴四宿为属太阳之日，心、危、毕、张为属太阴之日。此外五纬各属四宿，每以七日为期，每日各属一宿，西历亦然。《西经》传上古有一大师名诺厄者，广宣历理，以遍万国，则亦有所本也。

一、系星之命名，多系借义，非可过泥虚名，便谓实有其验。比如贯索一星，中以其象囹圄，名以贯索；西以其象冠冕，名以冠冕。一吉一凶，全由人意；岂天星实然乎？至谓诸星情性不同，敷施互异，是又理所必然，不得概置弗论也。故总图于某星属某纬者，咸附注之。

《二系》图星之法有二：一浑球有南北二极，有地平子午诸规界。判黄赤二道运之能肖天体旋转，以审各星经纬度分，以辨星中出没，以测夜时，甚便也。一平面图虽乏以上诸用，然诸星位置宫度，了若视掌，为用亦大。因有多种之分：曰见界图，以北极为心，其最南隐于地中星极，非此方人目可见者则截出之。一曰赤道图、黄道图，二者各以其极为心，其道为界，盖皆以天之南北平剖为二图者也。曰分星图，依黄道分天为二十图，均赋经纬，署以维辰。按图指陈天象，莫晰于此。外有浑盖所，用天盘，以极为心，截冬至规为界，亦图星于仪上，肖天运动，以觇诸星出没升降。又有平仪，从二极剖天为南六宫、北六宫，二面亦绘辰宿，可代浑仪旋转。至若古传“星经图” 、步天歌等，虽亦分有宿座，便于观览，而经纬度分，悉皆茫然挂漏，于测候无用也。

星中出没

太阳右旋，一日一度，终岁行天一周，必复与某恒星合，又必有某星与之冲。历家无从测其合者。测得其冲者，谓为岁差所从来矣。然由本方极出地度，恒星有出没者，亦有不出不没者。如京师北极出地四十度，则星距极四十度以外，皆为恒见，而距南极四十度以内者，在京皆不能见矣。至论恒星见伏，亦由太阳右旋至某宿度。附近之星，光为日夺，故不能见。迨太阳去离渐远，则此星光渐升东方，见而不伏矣。缘是而升至午点，即曰“中星。” 此其星中出没，在《立象学》为用甚巨，而历家但于中夜资之以定时刻而已。

日轨

“太阳之行黄道也。” 论其积岁平分之数，新法以天度计为五十九分八秒有奇，所谓平行度分是也。然平行齐而实行，则固非齐矣，冬盈而夏缩矣。所以然者，盖缘黄道圈与日轮天不同心，而黄道之心即地球心，是日轮天与地球不同心也。心既不同，则日行距地近远不等，距近即行疾，疾则所行之度，过于平行“而为盈。每冬月一日，计行一度一分有奇，以较平行，盈二分矣。距远即行迟，迟则所行之度，不及平行而为缩。每夏月一日，计行五十七分有奇，以较平行，则缩二分矣。盈缩相差若此，岂可谓之齐乎？终岁之间，但逢最高限、最庳限二日，平实二行，度数惟一。” 此外两行之较，日日不等。新法因其或过或不及也，故有加分减分，谓之加减差。盖以有恒率之平行为根，而以加减差定之，然后差而不差，非齐而齐矣。至论太阳之入某宫次以分节气也，亦有平、实二算。盖算平行十五日二十一刻有奇，为一节气，乃一岁二十四平分之一耳。若用躔度之日以算，则冬夏不齐。冬一节气为十四日八十四刻有奇。夏一节气。为十五日七十二刻有奇。总由夏迟冬疾。故其差如此。皆非《旧历》之所解也。

系太阳天距地极远之点，谓之最高；极近之点，谓之“最高冲。”〈亦名《最卑》。〉此二点者，乃盈缩二行之界。古法于冬夏二至，谓其恒在一点，其实非也。按古今诸测，皆各不齐。古测最高在夏至前数度，今则在后六度矣。以此推知，一年之内，太阳自行四十五秒也。

年月

“《纪年》者何？太阳随列宿东行旋天一周之期也。” 太阳之行界二，其一从某宫次度分行天一周。

“而复于元度，其数为三百六十五日二十四刻二十一分有奇，其一为太阳会于列宿天之某星，行天一周，而复与元星会。” 但其星每岁有本行，故须加本行以定岁。而其所须加者，新法定为五十一秒，所谓岁差也。然而日历纪年，惟以全日推算，不用小馀。如以太阳十二次会合太阴为岁也，为三百五十四日，每“二年三年而闰一月，中历是已。” 如以太阳周十二宫次为岁也，为三百六十五日，每四年而闰一日，西历是巳。此纪年之概也。纪月有二：或因太阴会朔一次以定，谓太阴之月。或因太阳行一宫次以定，谓太阳之月。顾其十二分年之一分则一也。一月之终分有大尽小尽者，比如初朔子正，苟二朔者，过二十九日外而不及第三十日之子正，则谓之小，过子正，则谓之“大。” 大则二朔同一天干，小则不同矣。故有三十日弱，时刻不及者，历家不得名“大” ；或二十九日强，而时刻已逾者，历家仍不得名“小” 也。且宇内地度不同，而月之大小因以互异。比如京师第二朔，在子初二刻，未到子正，其月为小。而西安此朔，则巳在子正初刻，又当为大尽矣。地度愈远，时刻愈差，非可强而同之也。月有闰者，太阳躔一宫之时，与月会合二次以成者也。其月因无中气，故谓之闰。但古法置闰用平节气，而新法用太阳所躔天度节气，故闰有合有否，或先后一月不等也。

昼夜晨昏

“太阳随宗动天，西行一周而复于元界，谓之一日。东升西降，循环无端。其在历家起算，判定一界，以为依据，则恒以太阳在子在午为准也。”论从子午起算之日，每岁实行度分，日日不等，差较一刻有馀。盖缘黄道夏迟冬疾，差馀四分，而黄、赤二道又广狭异距，则率度必不同分，此其所当审者也。今论昼夜，太阳在地平上。人目可得而睹，谓之昼。太阳渐隐，地平之下，人目无见，则谓之夜。是昼夜者。全由人居以分随方。〈极出地若干，〉随时。〈太阳躔某宫〉其昼夜刻分，皆可依法推算焉。然而法算与目见恒异，盖太阳体大算法，皆以体心出地为昼始，而人目以一见日轮即为昼始。又日出没升降度有斜正不同，又地平各曜出没之界，受清蒙气有变，凡此皆非人目能辨，故历家立有视差法也。一昼一夜平分为十二时，时各八刻，一日十二时共刻九十有六，此恒率也。其昼夜永短，逓迁之故，则不但日行南陆、北陆不同而己，亦由北极出地，高庳互异，而永短因焉。比如赤道正过天顶之地，两极合于地平，其昼夜均停，绝无永短。又极在天顶，赤道与地平平行其下，昼夜亦无长短之较。但太阳百八十日恒见，百八十日恒隐耳。此外诸方，各有永短。顾其一岁之中，昼夜均停者四日，握算者引而伸之，据四日之一日，逐渐加减，因得九十日之昼夜长短，随可以推终岁之数也。再论晨昏，是分昼分夜之二界也。太阳将出未出数刻之前，其光东发，星光斩为所夺，是名为晨；太阳已入，回光返照，亦经数刻，始逌然灭尽，是名为昏。其久暂分数，亦因冬夏而分短长。新法以日在地平下十八度内为晨昏之限。但太阳行此十八度，又各方各宫不等，因有五刻、七刻、十刻之别。若论极高七十二度以上之度，则夏月晨昏相切，虽至丙夜，无甚黯黑也。

太阴

太阴之行，参错不一，推步筹算，为力倍艰。苟或分秒乖违，交食岂能密合？故必细审其行度所以然，而后可立法致用也。盖月较诸曜本旋之外，行复多种。第一曰“平行，一日十三度有奇。但此行之界凡四：一界是从某宫次度分起，算此界定而不动。二界为本天之最高，此非定界。每日自顺天右行七分有奇，是月”距本天最高一日为十三度三分有奇也。故其平行二十七日三十刻有奇为一周，已复于宫次元度。又必再行二十三刻有奇为二十七日五十三刻，始能及于本天之最高。此行新法谓之《月自行中历》，于此周谓之转周，满一周谓之转终。其最高则行八年有奇而周天，谓之月孛。三界为黄白二道相交之所。所谓“正交”、“中交。”此界亦自有行，乃逆行也。〈自东而西。〉每日三分有奇，则月平行距正交一日为十三度十三分有奇，至二十七日二十七刻，减交行之一度二十三分，得二十七日十五刻有奇，月乃回于元界历，谓之“交终四界。”是与太阳去离太阳一日约行一度，则太阴距太阳为十二度十分有奇。至二十九日五十三刻有奇，逐及太阳，复与之会历，谓朔策是也。凡上

四行总归第一平行，其第二行曰“小轮”，每一朔内，行满轮周二次，每日为二十四度有奇。〈若以“不同心圈” 论，此即太阴中距圈也。〉因有此行，复生第二损益加减分。云第二者，盖于朔望所用加减分外，再加再减故也，此行中历所无。以上太阴诸行新法定其轨辙，不外三者：均圈一，不同；心圈一，小轮一。然不同心圈与小轮，名异而理实同，历家资以推算，两用互推，所得之数正等也。

一系月道惟一。古谓月行九道者，乃白道正交行及四正，阴阳二历，各异命之，因有八名，加以公名，共有九耳，非真有九道也。白道两交，黄道论最远之距，谓为五度，此系二历未甚大差之数。新法测得凡朔望外相距皆过五度，上下二弦，则为五度一十七分三十秒。推知二道相交之角，非定而不动者。要其广狭之行，恒以十五日为限也。

《二系》各朔后月夕西见，迟疾不一，甚有差至三日者。其故有三：一因月视行度，视行为疾段则疾见，迟段则迟见。一因黄道升降，或斜或正，正必疾见，斜必迟见。一因白道在纬南纬北，凡在阴历疾见，阳历迟见也。此外又有极出地之不同，朦胧分与炁差诸异，所以迟疾难齐也。

交食

凡日月之行二十九日有奇，而东西同度，谓之“会朔。” 至若日行在黄道近交，人视为与日同经同纬，是人目与月日相参直，而月魄正隔日光，于人目则为日食。日食者，非日失其光，光为月掩耳。凡太阴距太阳百八十度，而正与之冲，谓之望。若当冲时，月行近于两交，必入地景而为暗虚。此乃月日同在一线，而地居其中间，日光为地所阻，不能射照月体，则月失其光而为月食。此日月二食者，躔度有恒，持筹推步，分秒确然，而历家各法之疏密，于此更难掩也。试言其略，黄白二道相交之二所，名“正交、中交。” 凡日月行及二交为同度，同度则有食矣。然而论交又须论限，及交而在限内则食，限外则不食，此不可不审也。顾限度诸方不一，盖太阳于诸方之地，平高度不同，而阴阳二历之各限亦异。论暖带下之地，二历互相受变。如白道向南极半周，有时在天顶及黄道之中，势必反谓为阴历；白道向北半周，是时在黄道外，势必反谓为阳历。故其下日食之限，莫得而定之也。他域更近于北，必阴历限多，阳历限少；更近于南，必阳历限多、阴历限少。比如京师近北，约算阳历八度、阴历二十一度，则知日月相会。“凡在阳历近二交八度，在阴历近二交二十一度，其下必见日食。” 而过此限以往，则否，即北可以推南，莫不以远近分多寡矣。然而二历食限之度有异者，其故盖在月轮。月轮比日最近于地，而月又小于地。人目见月之所又在地面，不在地心，故以月天论地平。虽天与地球皆为平分，直过其心，而人在地面高，所以视天地之两界，则似地球与月天，非平分也。少半在上，多半在下，而差约一度。故以本法推算，月已出正地平，其于人目所视之地平，尚少一度。此其较谓之“视差。” 盖惟月在天顶正地平与视地平之极，皆以一直线合于天顶，无有视差。过此左右，不免有差。愈远天顶愈近，地平差必愈甚。夫视差无他，恒降下月体数十分耳。设令日月同度，同在近交之南，又因同度并在正地平上高二十度，则太阳于视地平为十九度五十八分，祇降二分，太阴于视地平为十九度，直降一度矣，而日月二差之较为五十八分。故以算论，虽二曜同高同度，而人目视之，太阴恒下于太阳，一度弱，不掩日光则不食。若二曜在地平上高七十度，则太阳无视差。太阴视差止二十分，其降于太阳亦止二十分，势必相切，或至掩数分而成食。若二曜在交北，又当以太阴算在太阳之上，庶因视差所降，而掩阳光以为食也。顾此二地平之差，又分二类：一加减交食分数，谓之气差；一加减时刻，谓之时差。历算之艰且剧，莫过于此，所最当究心者也。

系日食之全与不全，其故有二：一由天上之行，一由食时地平上高弧之度，故均一食也。有见全食者，有见食多寡不等者，有全不见食者。就南北论见食地界，设如北京见全食，其南北各距四十五度之地，为万一千有馀里，皆见有食，然而多寡不等。就东西论，各距六十度为万五千有馀里，各见食而分数多寡亦不等焉。即月食时刻南北亦有不同，而东西为甚也。

===三馀===

三馀。旧加紫气，名为四馀，亦谓之“四隐曜。” 然详求天行，实无紫气，且绝无当于推步之术，故《西法》弃而不录。第取三馀：一罗㬋，一计都，一月孛。罗㬋即白道之正交，计都即中交也。月道自南诉北，以交于黄道之一点，此点有本行，每日左旋三分有奇，而罗㬋正对之点，即为计都。盖两规斜络，其两交之二点，必正相对也。月孛是月所行圈，极高极远之点，谓月离于是其行极迟，其体见极小。盖孛云者，指其交转两行相悖之义，故其平行右旋，每日七分有奇。是三点者，土、木、火诸星，本圈亦有之，名义皆同，第其各行不同耳。古历悉所未谙，悉置不推不录。新法用算五星之纬，故于本历各详其名数云。独惜日者之流，以罗计、月孛等名，皆指为星，谓其所躔宿度，各有吉凶，用以推人禄命。不知周天诸道诸点，皆人所设，以便揆算其行度耳，并非实物，何与吉凶？至“紫气” 一曜，或谓生于闰馀，或谓土木相会，或谓古人以是纪直年宿，故二十八年而一周天，都无义理可考。故《月离历指》详论其必无是曜也。

五纬异行

“土木、火金水五曜，名为纬星”者，谓其日有近南近北之行，与恒星异也。夫五纬之行，各有二种：其一为本行。如填星约三十年行天一周日二分；岁星约十二年一周天，日五分；荧惑将满，二年一周天，日三十五分。太白、辰星皆随太阳，每年旋天一周，各有盈缩，各有加减，分各有本天之最高与最冲，即其最高，又各有本行。论其行界。亦分四种。非若《回回历》总一最高也。其二在于本行之外。西法称为岁行。盖各星会太阳一次成一周也。因此岁行之规。〈亦名《小轮》。〉推知各星顺逆留疾诸情。故依新法图五纬各有一不同，心圈一均，圈一小轮。凡星在小轮极远之所，必合太阳，其行顺而疾，其体见小。凡在小轮极近之所，其行逆而疾，其体见大。土木火行逆，则冲太阳，金水。行逆，夕伏而合；行顺，晨伏而合。其各顺行转逆，逆行转顺之两中界为留，留非不行，乃际于极，迟行之所也。留段前后，或顺或逆，皆有迟行。其土木火行逆即冲太阳，而金水则否者，缘土木火之本天，大皆以太阳为心而包地，得与太阳冲，而金水之本天，虽亦以太阳为心而不包地，不能冲太阳也。金水不能冲太阳，而能与之离。金离太阳四十八度，水离二十四度。

五纬纬行

太阳之行，因黄道斜交于赤道，故其距赤道之纬南纬北也，各二十三度有半，以成二至，是黄道者，太阳之轨迹也。太阴本道，又斜交于黄道，最远之距为五度，以生阴阳二历。五星之道，虽相距纬度各异，而其斜络黄道，则与月道同理，故皆借月道诸名名之。其两交之所，亦谓正交、中交。其在南、在北两半周，亦谓“阴阳二历。” 审是而五星纬行，庶可详求矣。盖各本道外之岁行小轮，恒与黄道为平行，而又斜交于本道，其上半恒在黄、本二道中。凡星躔于此，则减本道之纬，其下半恒在本道外。星躔于此，则加其纬。然此小轮之纬向，则恒不变。如土星三十年行天一周，其在正中二交之下，必无纬度分十五年恒北，十五年恒南耳。凡冲太阳，因在小轮下半，即加本道纬度。凡会太阳，因在小轮上半，即减纬度。他星亦犹是也。其或行近于地，小轮加纬益多，太白至夕伏合之际，因其近地，其纬几及八度矣。《中历》不谙纬行之原，一见金星在纬南北七、八、九度，即詑谓本星失行，岂非诬乎？又《中历》亦有五星南北纬行图，亦界以黄道，本道似矣，但其逆行之迹，恒作一斜方形，此甚非也。五纬不行，直线安得方形？以此新法图分二种：一，设人在地仰观天上进退诸行，故于上三星冲太阳、下二星夕伏时，第作一仅似之圆形。凡冲太阳如在本道交上，则不作圆形，即仿佛“一” 之字形而已。一，各星近远于地之图，要皆《旧历》所未谙也。

五星伏见

“五星之光与日相较，譬犹萤火之于庭燎，光本非灭，第为大光所夺，人莫能睹耳。” 旧历亦晓此理，故用黄道距度以定诸星伏见。如谓太阳在降娄初度，岁星在十五度，即以为见限，似矣。然而诸星各有纬南、纬北之分，黄道有正斜升降之势，各宫不同，何得泥距度以定限乎？新法定限，惟以地平为主。缘地平障蔽日光。能使星或伏或见耳。夫日之下于地平。其光渐杀。所谓晨昏。此晨昏光之久暂。四时不等。即冥漠等矣。而

“星见时刻，又自不等。所以然者，太阳由黄道而下，地平或十度或十五度，或至三十度有奇，原自不等。而星在黄道南，相距必多数度；在北，相距必少数度，其限岂可泥乎？大略土、木、火三星较太阳行迟，行后太阳夕伏晨见。金、水二星顺天东旋，较太阳行疾，行先太阳晨伏夕见。逆行反是。其与太阳遇也，亦夕伏晨见。太阴行较太阳更疾，晨伏夕见。至于金星之纬，不及八度，则凡逆行合太阳于寿星、大火二宫，而其纬又在北七度以上，虽与日合，其光不伏，一日晨夕皆可见之。水星之纬惟四度，馀若其纬向南，合太阳于寿星，此后去离夕必不见；合太阳于降娄，此后去离晨必不见。金合而不伏，水离而不见” ，此二故者，《浑仪》解之。他如恒星，亦有夕伏晨见者，一因黄道之经纬度，一因其小大等第，即为见伏之限，故亦可推也。。