钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十卷目录

　算法部汇考十二

　算法统宗八〈少广章第四下　商功章第五　均轮章第六〉

历法典第一百二十卷

算法部汇考十二

《算法统宗八》

少广章第四下

分田截积法下

原有直田一丘，今从东北角截句股形积三十八步 七分二釐，其股数与句数相同，问该田若干？

答曰：“东北角各八步八分。”

法曰：置截积三十八步七分二釐，倍得七十七步四 分四釐为实。以开平方法除之，得截东北角各八步 八分。合问若还原，以句股自乘，折半，即得。

梯田截积歌

梯田截积细端详，倍积阔差乘最良，却用原长为法 则，归除乘数实之行。若截大头田积步，大阔自乘减 实当。若截小头田积步，小阔自乘，并实傍，俱用开方 为截阔。两广并来折半强，折半数来为法则，法除截 积便知长。

今有梯田，长九十步，西广二十步，北广三十八步。今

梯截小头图

自南边小头截积八百二十二步五分，问截长阔各若干？答曰：“截上长三十五步，截中阔二十七步。”

法曰：置截积八百二十二步五分，倍之得一千六百 四十五步，以二广相减，馀一十八步为阔差。以乘倍 积，得二万九千六百一十步，以原长九十步除之，得 三百二十九步。另以小头自乘，得四百步，并入三百 二十九步，共七百二十九步为实。以开平方法除之， 得截阔二十七步。就以截阔二十七步并小头原阔 二十步，共四十七步，折半，得二十三步五分为法。以 除截积八百二十二步五分，得截长三十五步。《合问》 今有梯田长九十步，小头阔二十步，大头阔三十八

梯截大头图

步。今自大头截积一千七百八十七步五分，问截长阔各若干？答曰：“截下长五十五步，截中阔二十七步。”

法曰：置截积倍之，得三千五百七十五步。以大小二 阔相减，馀一十八步为阔差。以乘倍积，得六万四千 三百五十步，以原长九十步除之，得七百一十五步。 另以大阔三十八步自乘，得一千四百四十四步，减 去七百一十五步，馀七百二十九步为实。以开平方 法除之，得二十七步，为截中阔。就以此阔二十七步 并大头原阔三十八步，共得六十五步，折半得三十 二步五分为法。以除截积一千七百八十七步五分， 得截长五十五步。《合问》，若作三假分者，先截大小 二头长并中阔，馀长即是中假数也。或又作四五 假分者，亦先截去大小二头长阔，再将原长内减截 去二头长数、馀长步数并截二假中广，复作梯法截 之是也。其斜形截法与梯形同理，如截东西两 旁积，具载《难题少广章》中。

环田截积歌

环田要截外周积，倍积二周差步乘原径，为法，除见 数，另以外周周自乘，以少减多，馀作实开方便，得内 周成二周相减馀零数六而取一径分明。

今有环田，外周七十二步，内周二十四步，径八步，今

环截外圆图

自外周截积二百八十五步。问截中周并径若干？

答曰：中周四十二步，截径五步。法曰：“置截积二百八十五步，倍之，得。”

五百七十步，却以外周减内周二十四步，馀四十八 步，为差步。以乘倍积五百七十步，得二万七千三百 六十步。以原径八步除之，得三千四百二十步。又置 外周七十二步，自乘，得五千一百八十四步，以少减 多，馀一千七百六十四步，为实。以《开平方法》除之，得 中周四十二步。以减外周七十二步，馀三十步，以六 除之，得径五步。合问。

今有环田，外周七十二步，内周二十四步，径八步。欲

环截内周图

从内周截积九十九步。问截中周并径若干？

答曰：“中周四十二步，径三步。” 法曰：“先将内外二周并之，折半以径。”

乘之，得总积三百八十四步。内减今截内积九十九步，馀二百八十五步，即是前截外周积也。

圆田截积

“今有圆田，中径一十三步。今从边截积三十二步。”问。

圆田截积图

所截弦矢各若干

答曰：“弦一十二步，矢四步。”

法曰：倍积得六十四步，自乘，得四千零九十六步，为实。另以四因积三十。

二步，得一百二十八步，为上廉。又以四因径一十三 步，得五十二步，为下廉。以五为负隅，用开三乘方法 除之，商四步于左上为法，以乘上廉，得五百一十二 步。就以商四乘隅五，得二十，以减下廉五十二步，馀 三十二。另以商四自乘，得一十六，以乘下廉三十二， 得五百一十二，并上廉五百一十二，共一千零二十 四，为下法。除实，得矢四步，另置积倍之，得六十四步， 以矢除之，得一十六步，减矢四步，馀得弦一十二步。 《合问》：

今有圆田径二十六步，今从旁截一弧矢积一百二 十八步，问截弦矢各若干？

答曰：“矢八步，弦二十四步。”

法曰：倍积自乘，得六万五千五百三十六步为实。另 以四因积，得五百一十二步，为上廉。又以四因径，得 一百零四步，为下廉。又以五为负隅，法商得八，于左 上为法。以乘上廉，得四千零九十六步。又以商八乘 隅五，得四十，以减下廉，馀六十四步。另以商八步自 乘，得六十四步，以乘馀下廉，得四千零九十六步。并 上廉，共八千一百九十二步，为下法除实，得矢八步 也。若问求弦法曰：置积倍之，得二百五十六步，以 矢八除之，得三十二，于内，减矢八步，馀得弦二十四 步。合问。

弧矢法

《圆径与截矢》，求截弦歌：

圆径与矢求弧弦，半径自乘，立一边，另以半径减去 矢，馀亦自乘，减却，前又馀，平方开见数倍之，名即是 弧弦。

假如有圆径十寸，弧矢阔一寸，问截弦若干？

答曰：“弦六寸。”

弧矢内股弦求句图

法曰置半径五寸为弦自乘得二十五寸另以半径五寸减矢一寸馀四寸为股自乘得一十六寸相减馀九寸平方开之得三寸为句倍之得六寸为截弧弦即是二句相并为弦馀皆仿此

又法以圆径自乘得一百

寸为弦幂。另以圆径减倍矢二寸，馀八寸。自乘，得六 十四寸，为股幂；相减馀三十六寸，为句幂。平方开之， 得全弦六寸。

《圆径与截弦》求截矢歌：

圆径与弦求截矢：半径，为弦自乘，是弧弦折半名为 句，亦自乘之，相减矣。馀用开方，得股数。半径减股，馀 者，矢。

假如有圆径十寸，弧弦长八寸，问截矢若干？

答曰：“矢二寸。”

弧矢内句弦求股图

法曰以半俓五寸为句股之弦另以弧弦八寸折半得四为句各自乘相减馀九寸平方开之得股三寸以减半径五寸馀二寸即矢圆径与截矢求截弧背其截弦求弧背同术曰先求出弦径除矢幂得半弦背差

解曰：“圆之大小，本于弧背之长短，系于圆之大小与矢之多寡。假如平圆十寸，平分一半，则矢长五寸” ，自乘得二十五寸，以径除之，得二寸五分为半弦背差倍之，得五寸，加入圆径，得一十五寸为半圆周。故不论圆之大小，矢之多寡，皆准也。

弧矢求积，积求弦矢。〈调寄《西江月》：〉

一假田禾之外东边，近有荒丘，离边五步系头牛，只 为绳长，游走，践迹五分，八步，如同弧矢弦。畴索长多 少是根由，演立天源穷究。

原在难题《少广章》中，无图，今共图之于此，以便检阅，并具法于后。

假如今有弧矢田积一百二十八步，离径五步，问矢 阔、弦长各若干。

答曰：索长一十三步，弧周二十八步有零，矢阔 八步，离径五步，弧弦二十四步，圆径二十六。

步。

法曰：置积一百二十八步为实，另以此数倍之，得二 百五十六步，以开平方法除之，得一十六步，为法。除

弧矢求积积求弦矢图

实得矢八步加法十六共二十四步是弦长折半得一十二步自乘得一百四十四步为实以矢八步为法除之得一十八步加矢八步共得圆径二十六步若问索长以矢八步加离边五步乃是索长一十三步合问

弧矢求积歌

弧矢求积《弧矢形丈量之法》注：“分明弧矢弦长，并矢 步半之，又用矢相乘。”

《法》曰：置弦二十四步，并矢八步，共三十二步，折半得 一十六步。以矢八步乘之，得积一百二十八步。

积求弧弦歌

弧矢之积求弧弦倍积，以矢除为先，除来之数，减去 矢馀存此，即是弧弦。

法曰：置积一百二十八步，倍之，得二百五十六步，为 实。以矢八步为法，除之，得三十二步，减矢八步，馀得 弧弦二十四步。

积求矢阔歌

《积求》矢阔倍为实，弦为纵方莫教迟。商于左位右并 纵，前后呼除矢得宜。

法曰：置积一百二十八步，倍得二百五十六步为实。 以弦二十四步于右为纵方。约初商八步于左，亦置 商八步于右，纵方二十之下，共三十二步，皆与上商 八相呼。三八除实二百四十，二八除实一十六步，恰 尽，得矢八步。

《弦矢求圆径》并《离径》歌：

弦矢求圆径可推。半弦自乘，矢除之，再加矢阔为圆 径。半之，减矢离无疑。

法曰：置弦二十四步，折半得一十二步，自乘得一百 四十四步，为实。以矢八步为法，除之，得一十八步，再 加矢阔八步，得圆径二十六步。复折半得一十三步。 减矢八步，馀为离径五步。

圆径及弧径求离径并矢阔歌：

径弦求离径矢阔圆径弧弦各折半，各自乘减馀，开 方离径、圆径弧矢辨。

法曰：置圆径二十六步，折半，得一十三步；自乘，得一 百六十九步。另以弧弦二十四步，折半，得一十二步； 自乘，得一百四十四步。二数相减，馀二十五步。以《开 平方法》除之，得离径五步。另以圆径二十六步，折半， 得一十三步。减离径五步，馀为矢八步。

圆径及矢阔，求弧弦歌：

圆径矢阔求弧弦。圆径矢阔减馀，存复，以矢阔乘，为 实，开方倍之，得弧弦。

法曰：置圆二十六步，减矢八步，馀一十八步。以矢八 步乘之，得一百四十四步。以《开平方》法除之，得一十 二步。倍之，得弧弦二十四步。

弧弦及离径求圆径歌

弧弦离径求圆径，弧弦折半自相乘，离径自乘，并为 实，开方倍数为圆径。

法曰：置弦二十四步，折半得一十二步，自乘得一百 四十四步，以离径五步自乘，得二十五步，相并得一 百六十九步，为实。以《开平方法》除之，得一十三步，倍 之得二十六步，为圆径。

圆径及离径求弧弦歌

圆径、离径求弧弦。圆径折半自相乘，离径自乘，减馀 实，开方倍得弧弦成。

法曰：置圆径二十六步，折半得一十三步，自乘，得一 百六十九步，以离径五步自乘，得二十五步，相减，馀 一百四十四步为实。以《开平方法》除之，得一十二步， 倍之得弧弦二十四步。

解曰：弧矢状类句股，句股得直方之半，故倍其积，以股除之，即得句弧背曲。倍积则长一弦而又一矢。以矢乘积倍之，恰得一弦一矢之数。因未知矢，故以积自乘为实，约矢一度乘积以为上廉，两度乘径以为下廉，并之为法，而后可以得矢。用三乘者何也？积本平方，以积乘积，是两度平方矣。故用三乘方法开之，上廉、下廉俱用四因者，何也？倍积则乘出之数，为积者四，故上下廉俱四以就之。减径者何也？径乃圆之全径，矢乃截处之句，矢本减径而得，故亦减径以求矢。五为负隅者，何也？凡平圆之积，得平方四分之三，在内者七五，在外者二五，不拘圆之大小，每方一尺，该虚隅二寸五分其矢得四，其虚隅得一，合而为五，亦陞实就法之意也。如不倍积廉，不用四因，以一、二、五为隅法，亦通。或不减，径作添积，三乘方法，亦通。

商功章第五

商，度也，商量用力之法也。此章以坚壤之率求穿地 之实，以广阔高深求城堑沟渠之积，以车担往来求程途负载之功。

《商功》歌：〈即修筑。〉

商功须要问工程，长阔相乘深又乘，乘此数来以为 实，每日工程为法行。惟以筑城别一样，上下将来折 半平。高以乘之长又续。〈又以长乘之也〉“以为城积甚分明，五 因其积三而一”，此是坚求壤法行穿地，四因为壤积， 法中仍用五归成。

穿地四尺，为壤五尺，为坚三尺。〈壤是虚土也坚是实土也〉 《穿地　求壤》。〈五因〉　《求坚》：〈三因〉　皆四归之。

壤地　求穿。〈四因〉　《求坚》：〈三因〉　皆五归之。

《坚地　求穿》。〈四因〉　《求壤》。〈五因〉　皆三归之。

《城垣堤沟》求积，并上下广折半，以高深乘之，又以长 乘之，得积。

《方台》求积：上方自乘，下方自乘，另以上、下方相乘并 之，又以高乘，再以三归之。如方窖刍童者，倍上长，加 下长，以上广乘之；又倍下长，加上长，以下广乘之，并 二数，以高乘，又以六归之。

《圆台》求积，上周自乘，下周自乘，上下周相乘，并之，又 以高乘，再用三十六除之，如圆窖圆锥者，下周自乘， 又以高乘，再用三十六除之，如尖堆。

方锥求积，下方自乘，以高乘之，又三，归之，如圭形。〈下方 上尖〉

方堡壔求积，以方自乘，又以高乘之，如方仓方柱也。 圆堡壔求积，以周自乘，又以高乘之，再用十二除之， 如圆仓圆柱也。

“刍荛”倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之 一，如屋脊上斜下平。

羡除并三广，以深乘之，用六归之。〈上平下尖或倍上长加下长〉 假如今有坚地积七千五百尺，问“穿地壤土各该若 干？”

答曰：“穿地一万尺，壤土一万二千五百尺。”

法曰：置坚地积，以五因三归之，为壤土积。另置壤积， 以四因五归之，得穿地积。合问。

今有开河长七千五百五十尺。上广五十四尺、下广 四十尺、深一十二尺。每日一工、开三百尺。问用工若 干

答曰：“一万四千一百九十四工。”

法曰：并上下二广，折半，得四十七尺。以深一十二尺 乘之，得五百六十四尺，又以长乘之，得积四百二十 五万八千二百尺为实。以每工三百尺为法，除之，即 得。

今有穿渠，上广二丈四尺，下广二丈一尺，深九尺，长 三百八十四尺。每用人夫一十二名，日开积六百尺。 问该人夫几何？

答曰：“一万五千五百五十二名。”

法曰：并两广共得四十五尺，折半得二十二尺五寸， 以深九尺乘之，得二百零二尺五寸，又以长乘之，得 七万七千七百六十尺为积，又以人夫一十二名乘 之，得九十三万三千一百二十尺为实，却以六百尺 为法除之。

今有开濠上广七尺，下广九尺，深四尺，长一千八百 尺。每人日穿一百四十四尺。今用人夫二百名。问几 日开毕？

答曰：“二日开毕。”

法曰：并上下广折半，得八尺，以深四尺乘之，得三十 二尺，又以长乘之，得五万七千六百尺为实。另置二 百人，以每人一百四十四尺乘之，得二万八千八百 尺为法。除之。《合问》：

筑台歌

筑台丈尺要推详，上长倍之加下长，上广乘之别列 位，另倍下长加上长，仍以下广乘见数，二数共并积 相当，原高乘并积为实，六归实数积如常。

今有筑直台一所，上广八尺，长二丈；下广一丈八尺， 长三丈，高一丈八尺。问积若干？

答曰：“六千尺。”

法曰：倍上长，得四十尺。加下长，共七十尺。以上广八 尺乘之，得五百六十尺。另倍下长，得六十尺，加上长 二十尺，共八十尺。以下广一十八尺乘之，得一千四 百四十尺。并二数，共二千尺。以高一十八尺乘之，得 三万六千尺。以六归之，《合问》。

今有筑方台，上方六尺，下方八尺，高一十二尺，问积 若干？

答曰：“五千九百二十尺。”

法曰：依《方窖》法，以上方六尺自乘，得三十六尺；下方 八尺自乘，得六十四尺。又以上方乘下方，得四十八 尺。并三数，共一百四十八尺。以高一十二尺乘之，得 一千七百七十六尺。以三归之，合问。

一法：依《筑台歌》，倍上方，加下方，共二十尺，以上方乘 之，得一百二十尺。另倍下方，加上方，共二十二尺；以 下方乘之，得一百七十六尺。并二数，共二百九十六 尺；以高一十二尺乘之，得三千五百五十二尺；以六归之，亦得。

今有圆台，上周一十八尺，下周二十四尺，高一十二 尺，问积若干？

答曰：“四百四十四尺。”

法曰：置上周自乘，得三百二十四尺。以下周自乘，得 五百七十六尺。又以上下二周相乘，得四百三十二 尺。并三数共一千三百三十二尺，以高一十二尺乘 之，得一万五千九百八十四尺为实。以圆率三十六 除之，合问，此如圆窖。

今有立锥，高三十二尺，下方二十四尺。问“积若干？” 答曰：“六千一百四十四尺。”

法曰：置下方自乘，得五百七十六尺，以高乘之，得一 万八千四百三十二尺，为实。以三归之合问。

今有圆锥，高三十二尺，下周七十二尺。问积若干？ 答曰：“四千六百零八尺。”

法曰：置下周自乘，得五千一百八十四尺，再以高三 十二尺乘之，得一十六万五千八百八十八尺为实。 以圆率三十六尺除之，得积合问。

《筑墙截高》问今上广歌。

上下原广数相减，馀用今高数相乘，原高为法，除为 积。积减下广，上广存。

假如原筑墙，上广一尺，下广三尺，高一十二尺，今已 筑高九尺，问上广若干？

答曰：“一尺五寸。”

法曰：将原下广三尺减原上广一尺，馀二尺。以今筑 高九尺乘之，得一十八尺，为实。以原高一十二尺为 法，除之，得一尺五十。却于原下广三尺减去一尺五 寸，馀得今筑上广。《合问》。

一法将原下广三尺减原上广一尺，馀二尺。另以原 高一十二尺，内减今高九尺，馀三尺；以乘二尺，得六 尺为实。以原高一十二尺为法，除之，得五寸；加原上 广一尺，共一尺五寸，亦得。

原筑墙上广一尺，下广三尺，高一丈二尺。今欲筑高 一丈五尺。问上广若干

答曰：“上广五寸。”

法曰：置原下广三尺，减原上广一尺，馀二尺。另以原 高一丈二尺减今高一丈五尺，馀三尺；以乘二 六尺为实。以原高一丈二尺为法，除之，得五寸。以减 原上广一尺，馀五寸，为今上广。合问。

筑墙截下，广问今高歌。〈即是截今下节。〉

原今下广数相减，馀以原高乘，为实。“原下广，减原上 广”，馀为法。除高数是。

原筑墙上广一尺。下广四尺、高一十二尺。今只筑下 广二尺一寸。问今高若干

答曰：“七尺六寸。”

法曰：置原下广四尺，减今筑下广二尺一寸，馀一尺 九寸。以原高一十二尺乘之，得二十二尺八寸为实。 另以原下广四尺减原上广一尺，馀三尺为法，除之。 《合问》。

原筑墙、上广二尺。下广六尺、高二丈。今已筑上广三 尺六寸。问今筑高若干

答曰：“一丈二尺。”

法曰：置原下广六尺，内减去今筑上广三尺六寸，馀 二尺四寸。以原高二十尺乘之，得四十八尺为实。另 以原下广六尺减原上广二尺，馀四尺为法。除之，得 今高《合问》。

原筑墙、上广十尺。下广三十尺、高四十尺。今欲筑上 广九尺、问接高若干

答曰：“二尺。”

法曰：置原高四十尺为实。另以原上广十尺减原下 广三十尺，馀二十尺除之，得二尺，又为实。以今欲筑 上广九尺，减原上广十尺，馀一尺为法，除之，得接高 二尺。《合问》：

《筑方锥》丈尺今改作《方台歌》。

今上方与原高乘，便为实积数。分明原下方数宜为 法，法除实积，截高成。

原筑方锥，下方二十四尺，高三十二尺，今改作“方台”， 只用上方六尺问截去高若干

答曰：“截去高八尺。”

法曰：置原高三十二尺，以今只用上方六尺乘之，得 一百九十二尺为实，以下方二十四尺为法，除之，得 截去高八尺。《合问》。

原有方锥，下方二十四尺，高三十二尺，今改作方台， 已筑高二十四尺，问今上方若干？

答曰：“六尺。”

法曰：置原高，内减今高二十四尺，馀截去八尺，以乘 下方二十四尺，得一百九十二尺，为实。以原高为法 除之，得上方合问。

原有方锥，下方二十四尺，高三十二尺，今改作方台， 只用上方六尺，问今高若干？

答曰：“二丈四尺法曰：置原下方二十四尺，内减今上方六尺，馀一十 八尺。以原高三十二尺乘之，得五百七十六尺为实， 以原下方二十四尺为法，除之，得今高二十四尺。《合 问》：

《筑方台》丈尺今改作，方锥问接高歌。

上方与高乘，为实。下方内减上方积，馀积为法除实 数，便见接高今丈尺。

原方台上方六尺，下方二十四尺，高二十四尺，今改 作“方锥”，问接高若干。

《答》曰：“接高八尺。”

法曰：置原高二十四尺，乘原上方六尺，得一百四十 四尺为实。另以原下方二十四尺，内减原上方六尺， 馀一十八尺为法。除之，得接高八尺。合问。

原有圆锥，下周七十二尺，高三十二尺，今改作圆台， 只用上周一十八尺问。今筑高若干？

答曰：“二十四尺。”

法曰：置原下周七十二尺，内减今用上周一十八尺， 馀五十四尺。以原高三十二尺乘之，得一千七百二 十八尺为实。以原下周七十二尺为法，除之，得今高 二十四尺。《合问》。

原有圆锥，下周七十二尺，高三十二尺，今改作圆台， 已筑高二十四尺，问今上周若干？

答曰：“一十八尺。”

法曰：置原高三十二尺，减今高二十四尺，馀八尺。以 乘原下周七十二尺，得五百七十六尺。以原高为法， 除之，《合问》。

筑堤歌

筑堤之法最蹊跷，东高倍之加西高，上下广并乘折 半。西高另倍加东高，上下广并。仍乘折一折数并共 相交。却用原长乘为实，五归其实积无饶。

今筑堤一所，东头上广八尺，下广一十四尺，高九尺； 西头上广二十尺，下广二十二尺，高二十一尺。东至 西长九十六尺，问积若干？

答曰：“二万八千八百尺。”

法曰：倍东高九尺为一十八尺，加西高二十一尺，共 三十九尺。却以东头上下广相并为二十二尺乘之， 得八百五十八尺，折半得四百二十九尺。另倍西高， 加东高，共五十一尺。却以西头上下广相并为四十 二尺，乘之，得二千一百四十二，折半得一千零七十 一。二数相并，共一千五百尺。再以长九十六尺乘之， 得一十四万四千尺为实。以五归之，得积《合。问》： 今有甲、乙二人开渠，甲日开积四百尺，乙日开积三 百五十尺。先甲开七十日，后令乙开，问几日与甲同？ 答曰：“八十日。”

法曰：置甲开七十日，以每日四百尺乘，得二万八千 尺为实。却以乙日开三百五十尺为法，除之，得八十 日，才与甲同数。

今有人快行者日行九十五里，慢行者日行七十五 里。今令慢行者先行八日，问快行者几日赶至，追及 之。行路程各若干。

答曰：“快行者三十日，慢行者多八日，路程二千 八百五十里。”

法曰：置慢行者日行七十五里，以八日乘之，得六百 里为实。以慢行减快行，馀二十里为法，除之，即得。 今有慢行者已去，七日后令快行者赶去，六日追至 中途及之，其路程已行一千一百七十里。问快慢每 日各行若干？

答曰：“快者，日行一百九十五里，慢者，日行九十里。” 法曰：“置已行路程一千一百七十里为实，以六日为 法除之，得快者日行一百九十五里”，另将先行七日 并后赶六日，共一十三日为法，除总一千一百七十 里，得慢行里数。合问。

今有甲、乙二人行步不等，甲日行八十里，乙日行四 十八里。令乙先行二百四十里。甲才发步追之，问几 里可及？

答曰：“六百里，甲七日半，乙十二日半。”

法曰：置先行二百四十里，以甲日行八十里乘之，得 一万九千二百里为实。却以甲乙日行里数相减，馀 三十二里为法，除之合问。

今有人盗马乘去，已去三十七里。马主方觉，追去一 百四十五里，不及二十三里。仍复追之，问几里可及？ 答曰：“二百三十八里又一十四分里之三。”

法曰：置不及二十三里，以马主追去一百四十五里 乘之，得三千三百三十五里为实。另置已行三十七 里，减去不及二十三里，馀一十四里为法。除实二百 三十八里不尽，三以法约之。

今有《大都路》，至杭州四千二百七十五里。马从大都 往南，日行一百二十里；船从杭州往北，日行七十里。 问船马几日相会，“各行若干？”

答曰：“二十二日半，马行二千七百里，船行一千 五百七十五里法曰：“置四千二百七十五里为实，却并船马日行共 一百九十里为法”，除之，得二十二日半，又为实。各以 原行里数乘之，得各行里数。

原有“一夫日耘田七亩，一夫日耕三亩，一夫日种五 亩。”今令一夫自耘自耕自种，问治田若干，

答曰：“一亩四分七釐又七十一分之六十三。”

法曰：以田为分母，夫为分子。以母互乘之，列分母分 子之位。〈七亩一夫　三亩一夫　五亩一夫〉先以七亩乘三亩，得二 十一亩。又以五亩乘之，得一百零五亩为实。又以七 亩乘三亩，得二十一亩。又以三亩乘五亩，得一十五 亩。又以五亩乘七亩，得三十五亩。并之，得七十一亩 为法。除实得一亩四分七釐，不尽六十三，以法命之。 原有三女，各纳锦一方，长女五日完，中女七日完，小 女九日完。今令三女共纳锦一方，何日可毕。

答曰：“二日又一百四十三分日之二十九。”

法曰：以日为分母，方为分子。以三母相乘，先以五日 乘七日，得三十五日，又以九日乘之，得三百一十五 日，为实。以母互乘子法。〈五日长女　七日中女　九日小女〉先以五 日乘七日，得三十五日。又以七日乘九日，得六十三。 次以九日乘五日，得四十五。并之，得一百四十三日， 为法。除实得二日，不尽二十九，以法命之。

堆垛歌

缶瓶堆垛要推详，底脚先将阔减长，馀数折来添半 个，并入长内阔乘良。再将阔搭一乘实，以三除之数 相当，一面尖堆只添一，乘来折半积如常。三角果垛 亦堪知，脚底先求个数齐。一二添来乘两遍，六而取 一不差池。要知四角盘中果，添半仍添一个，随乘此 数来以为实，如三而一法求之。

今有酒瓶一垛，底脚阔八个，长一十三个，问该积若 干？

答曰：“三百八十四个。”

法曰：置长内减阔馀五个，折半，得二个半；添半个作 三个，并入长，共一十六个。以底脚八个因之，得一百 二十八个。另以阔八个添一个，作九个乘之，得一千 一百五十二个；以三除之，合问。

今有物靠壁，一面，尖堆底脚阔一十八个。问“积若干？” 答曰：“一百七十一个。”

法曰：置阔一十八个为实。另以一十八个加顶一个， 共一十九个为法，乘之，得三百四十二个，折半即得。 今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个。问积若干？ 答曰：“二十五个。”

法曰：置底脚七个，减去上阔三个，馀四个，加一个，共 五个，为法，乃是五层也。另并上下阔，共得十个为实， 以法五乘之，得五十个，折半得二十五个。合问 堆垛。图式具左。

一面尖堆图

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右二图用法权变，便人易晓，故立此以仿其馀。

今有《三角果》一垛，底阔每面七个，问该若干？

答曰：“八十四个。”

法曰：置底阔七个，另以七个添一个，共八个，相乘，得 五十六个；又以七个添二个，共九个，乘五十六个，得 五百零四个，为实。以六归之《合问》。

今有《三角半堆果》一垛，每面上阔五个，底阔一十二 个，问该若干？

答曰：“三百四十四个。”

法曰：“亦用三角法”，先以底阔一十二个，求出全积三 百六十四。另以上尖虚底阔四个，求出虚积二十。以 减全积，馀半堆积三百四十四个。

一法上阔五个自乘，得二十五；下法十二自乘，得一 百四十四。上阔五乘下阔十二，得六十。又倍下阔，得 二十四；加上阔五，得二十九，并四数，共二百五十八， 为实。另以下阔十二减上阔五，馀七加一，得高八，为 法。乘实，得二千零六十四，以六除之，合问。

今有物四面尖堆底阔一十二个，问该若干？

答曰：“六百五十个。”

法曰：置底阔一十二个，另以十二加一个，共一十三 个乘之，得一百五十六个；又以十二加半个，共一十 二个。半乘一百五十六个，得一千九百五十个，以三 归之，即得。

今有物一堆，横面下阔十个，上阔一个，正面下阔一 十二个，上阔三个，问该若干？

答曰：“四百九十五个。”

法曰：置正面下阔一十二个，倍之，得二十四，加上广三，共二十七，以横面下广一十乘之，得二百七十。另 置二百七十，以横下广一十乘之，得二千七百，并入 二百七十，共得二千九百七十，以六除之，即得。

半堆歌

《半堆瓶》法另推详，上长倍之，加下长，却用上阔乘见 数，下长仍倍加上长，别以下阔乘见积，下长另减上 头长，馀存三位同相并，再以高乘为实良。要知其积 从何见，六而取一积该当。

今有《半堆酒瓶》一栈，上长二十五个，阔一十二个，下 长三十个，阔一十七个，高六个。问积若干。

答曰：“积二千四百一十个。”

法曰：倍上长，加下长，以上阔乘之，得九百六十。又倍 下长加上长，以下阔乘之，得一千四百四十五，并之， 得二千四百零五。又以下长减去上长，馀五并入，共 得二千四百一十。以高乘之，得一万四千四百六十， 为实。以六为法除之，即得。

今有砖一堆、长三丈、高九尺、入深四尺、每块、长一尺、 阔五寸、厚二寸、问共该若干

答曰：“一万零八百块。”

法曰：置长三丈为实，以每块二寸为法，归之，得一百 五十块。另以高九尺，以每块阔五寸归之，得一十八 块乘之，得二千七百块。又以入深四尺乘之，合问。

《挑土计方》歌：〈每一方长阔各一丈，高一尺。《开塘法》同。〉

东西并折半，南北亦如斯。互乘为实位，深数再乘之。 今有田内开土挑泥填基，东六丈五尺，西七丈五尺， 南八丈，北九丈，深二尺，问取泥该方数若干？

答曰：“一百一十九方。”

法曰：置东六丈五尺并西七丈五尺，共一十四丈，折 半得七丈。又以南八丈并北九丈，共一十七丈，折半 得八丈五尺，相乘，得五十九丈五尺。又以深二尺乘 之，得一百一十九，方合问。

《量木梱》。〈调寄《西江月》：〉

《梱》：有《封书》模样。

梱法不一，一名“一封书” ，一名“方梱。”

深阔各倍相乘，

如阔若干，深若干，俱各加倍，以五寸为一根，即是为“倍法” 也。

丈五除长再乘行。

“如长若干，以每根长一丈五尺” 除之，馀数再乘。

《书》“梱加深”为定。

如一封书，梱深、阔长俱乘讫，又照原深若干加之是也。

《方梱》须知加阔。

如方梱深、阔、长俱乘讫，又照原阔若干加之，是也。

《荒深》，《三折倍成》。

又名“荒排” 者，异前二形，即以深三，归而一方可倍之，即一尺二根也。

阔长皆是照前因。

“虽《荒排》阔亦倍之，与《三归》深” 者相乘，长亦照前丈五除者相乘。

《三折一加》有准。

“但荒排阔深长” 俱乘讫，亦照深三归而一加之。

今有《一封书》，梱深七尺五寸，阔四丈七尺，长九丈，问 木若干。

答曰：“一万四千八百零五根。”

法曰：置深七尺五寸，以每尺二根计之，得一十五根， 即倍法也。又以阔四丈七尺倍作九十四根相乘，得 一千四百一十根为实。另置长九丈，以每根长一丈 五尺除之，得六根为法。乘实，得八百四十六根。又以 深七尺五寸加之。或用一、七五乘，亦可合问。

今有方梱深七尺，阔五丈，长六丈，问木若干。

答曰：“八千四百根。”

法曰：置深七尺，倍作一十四根，又以阔五丈，亦倍作 一百根，相乘，得一千四百根，为实。另置长六丈，以一 丈五尺除之，得四根，为法。乘实得五千六百根，又以 阔五丈加之。合问。

今有荒排深二丈一尺，阔四丈四尺，长六丈，问木若 干？

答曰：“八千三百七十七根六分。”

法曰：置深二丈一尺，以《三归》得七尺，倍作一十四根， 又以阔四丈四尺，倍作八十八根，相乘，得一千二百 三十二根，为实。另以长六丈，以一丈五尺除之，得四 根，为法。乘之，得四千九百二十八根。又以深二丈一 尺，用《三归》得七尺，加之。合问若量方圆束木法，已 见前《少广章》中。

右《梱法》虽设，则“厂弊” 、“客弊” 或差免，但一封书并荒，排法无异，其方梱所加，或阔深长不一，法难必矣。

均输章第六

均，平也。输，送也。此章以户数多寡，道里远近，而求车 数、粟数，以粟数高下，而求僦直，以钱数多少，而求佣 钱

歌曰

“《均输》只要一般般，不许亏民及损官。”劳费程途知远 近，分毫依法要详端。“行道驾船皆一体，负挑车载重 轻看。”

今有银二十二两八钱，买黄、白蜡，各要均平。其黄蜡 每三斤价银四钱，白蜡每斤价银五钱，问黄、白蜡各 若干？

答曰：“各三十六斤，黄，该银四两八钱；白该银一 十八两。”

法曰：置总银，以黄蜡三斤乘之，得六百八十四斤为 实。另置黄蜡三斤，以白蜡价五钱乘之，并黄蜡价四 钱，共得一两九钱为法除之，得黄白各三十六斤。就 以白蜡三十六斤，以每斤五钱乘之，得价一十八两。 再置黄蜡三十六斤，以价四钱乘之，得一十四两四 钱。又以蜡三斤为法除之，得价四两八钱。合问 今有银三十七两八钱，籴米麦豆三色各要均平，每 石米价八钱，麦价六钱，豆价四钱，问各若干

答曰：“米、麦、豆各二十一石。”

法曰：置总银为实，并米、麦、豆价共一两八钱为法，除 之，得每色二十一石之数，各以价乘之，合问。

右法不拘四色五色者，仿此推之。

今有甲、乙、丙三人，以田多寡应当一年差役。甲田三 十五亩，乙田二十五亩，丙田二十亩，问各该值月若 干？

答曰：“甲该五个月，零七日半，乙该三个月，二十二 日半，丙该三个月。”

《法》曰：置甲、乙丙三人田，共并，得八十亩为法。另置甲 田，以十二月乘之，得四百二十为实；以法八除之，得 五个月零二五。却以三十日乘二五，得七日半。又置 乙田，以十二月乘之，得三百为实；以法八除之，得三 个月零七五；却以三十日乘七五，得二十二日半。又 置丙田，以十二月乘之，得二百四十为实；以法八除 之，得三个月，合问。

又法：置一年，计三百六十日为实，并甲乙丙三人田， 共八十亩为法，除之，每亩得值月，四十五日以乘各 人田数，亦得。

今有甲乙二人往县应役，甲该十二日一往，乙该十 五日一往。问一人何日同会？

答曰：“六十日会。”

法曰：置甲十二日，以乙十五日乘之，得一百八十日， 为实。却以乙十五日减甲十二日，馀三日为法，除之， 合问。

今有官派粮八百四十石，令四县照依田地多寡纳 之。甲县田五十六亩，乙县四十四亩，丙县三十二亩， 丁县二十八亩，问各该纳若干？

答曰：“甲，三百九十四石；乙，二百三十一石；丙，一 百六十八石；丁，一百四十七石。”

法曰：置列甲乙丙丁四县田数，各以官派粮八百四 十乘之，各列为实。另以四县田并之，得一百六十亩 为法，以除各县乘数，即得各县该纳之数，合问。 又法：置总粮为实，并四县田为法，除之，以乘各田数， 亦得。

“今有五县，输粟二万石，照人户多少、道里远近、价值 上下而均输之。每车载二十五石，行道一里，与僦里 钞一钱。甲县二万零五百二十户，粟石价二两，乙县 一万二千三百一十二户粟石价一两，远输所二百 里；丙县七千一百八十二户粟石价一两二钱，远输 所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟石” 价一两七钱，远输所一百五十里。《戊县》五千一百三 十户粟价一两三钱，远输所一百五十里，问各输粟 若干？

答曰：甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺。 乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺，该僦里 钞二十两；丙二千七百七十七石五斗八升四合， 该僦里钞一十五两；丁三千四百三十八石九斗 一升四合，该僦里钞二十五两；戊一千八百七十 九石五斗六升八合三勺，该僦里钞一十五两。

解曰：“甲县乃自输本县，而无僦里，惟乙、丙、丁、戊四邑有之，各昭里数远近以僦钞，一钱因之，各得僦里钞也。”

法曰：置甲县户数为实，以粟价二两为法除之，得一 千零二十六衰。乙县行道二百里，以每车载二十五 石除之，得八钱，并粟价一两，共一两八钱，除户数，得 六百八十四衰。丙县行道一百五十里，以每载二十 五石除之，得六钱，并粟价共一两八钱，除户得三百 九十九衰。丁县行道二百五十里，亦以二十五石除 之，得一两，并粟价共二两七钱，除户得四百九十四 衰。戊县行道一百五十里，亦以二十五石除之，得六 钱，并粟价共一两九钱，除户得二百七十衰。就以五 衰列置五县，再并五衰，共二千八百七十三衰为法。 另以赋粟二万石以乘五县，各衰为实，以法除之。《合问》。

原有绫每疋价四两一钱，绢每疋价二两一钱。今欲 将绫换绢，问多少可均？

答曰：“绫二疋一，绢四疋一。”

《法》曰：以绫绢价相乘，得八两六钱一分为实，以绢疋 价除之，得绢数；以绫价除之，得绫数，合问。

其疋下有零者，照“疋长若干” 加之是也。

今有麻每石价九钱，米每石价八钱，豆每石价七钱。 今三主只以价均，扣算麻、米豆数及价，问各若干？ 答曰：“各该价五钱零四釐，麻五斗六升，米六斗 三升，豆七斗二升。”

法曰：先置麻豆价，相乘，得六斗三升，退位为米数；又 以米豆价相乘，得五斗六升，退位为麻数；再以麻米 价乘之，得七斗二升，退位为豆数。各以价乘之，合问。

但“相乘数，多者为贱，少者为贵” ，可以辨之。

原有人挑茶九十斤，行道五百里，脚银九钱；今挑一 百二十斤，行道三百里，问该银若干？

答曰：“七钱二分。”

法曰：以今挑茶一百二十斤，乘今行三百里，得三百 六十。又以脚银九钱乘之，得三两二钱四分为实。另 以九十斤乘原行五百里，得四百五十里为法。除之。 《合问》。

原雇车一辆，议行道一千里，载重一千二百斤，与银 七两五钱。今重一千五百斤，行一千三百里，问该银 若干？

各曰“一十二两一钱八分七釐五毫。”

法曰：置今重一千五百斤，以今行一千三百里乘之， 得一千九百五十里。又以银七两五钱乘之，得一十 四两六钱二分五釐为实。以原重一千二百斤乘原 行一千里为法，除之合问。

今有货重一千六百斤，先付车主银六两，照前议行 道一千里，载重一千二百斤，价七两五钱，问该行道 若干？

答曰：“六百里。”

法曰：置“今付车主银六两”，以原行道一千里乘之，得 六千里。又以原重一千二百斤乘之，得七千二百里 为实。另以今重一千六百斤，以原价七两五钱乘之， 得一十二两为法。除之合问。

今有道一千七百里，车主已支去银七两六钱五分。 照前议每一千里载重一千二百斤，价七两五钱，问 该载重若干？

答曰：“七百二十斤。”

法曰：置原重，以原行道乘之，仍得一千二百里。又以 今去银七两六钱五分乘之，得九两一钱八分为实。 另置今行道，以原与银七两五钱乘之，得一十二两 七钱五分为法。除之，即得。

原有人担物一百五十斤，行道一百三十里，与脚银 二钱。今担一百八十斤，行道九十里，问该银若干？ 答曰：“一钱六分六釐一毫五丝。”

《法》曰：置今重一百八十斤，乘今行道九十里，得一百 六十二里。又以原脚银二钱乘之，得三钱二分四釐 为实。另以原担重一百五十斤，乘原行道一百三十 里，得一百九十五斤为法。除之，即得。

今有空车日行七十里，重车日行五十里；今载谷至 仓，五日三返，问“路远若干？”

答曰：“四十八里又三十六分之二十二。”

法曰：置空车、重车日行里数，相乘得三百五十里，又 以五日乘之，得一千七百五十里，为实。另并空车、重 车日行里数，以三返乘之，得三百六十为法。除之不 尽二十二，以法命之。

原有人负米一石一斗二升，行三十步，日五十返。今 负米一石二斗，行四十步问日几返。

答曰：“三十五返。”

法曰：“置负米一石一斗二升”，以行三十步乘之，得三 百三十六，又以五十返乘之，得一千六百八十，为实。 另以今负米一石二斗，以行四十步乘，得四百八十 为法。除之《合问》。

今有众兄弟辈出钱买物，长兄出钱八文，次兄以下 各加一文，顺至小弟出钱六十文。问兄弟辈及共钱 各若干？

答曰：“五十三人共钱一千八百零二文。”

法曰：以八文并入六十文，共得六十八文。另置六十 文于内，减去八文，馀五十二文再加长兄一人，共得 五十三人。另以六十八文乘五十三人，得三千六百 零四文，折半，即得。

今有中式举人一百名，第一名官给银一百两；自第 二名以下，挨次各减五钱，问该银若干？

答曰：“七千五百二十五两。”

法曰：置一百名，减去第一名，馀九十九名；以五钱乘 之，得四十九两五钱；以减一百两，馀五十两零五钱， 为第一百未名之数，并入第一名，给一百两，共一百五十两零五钱；以乘一百名，得一万五千零五十两， 折半《合问》。

今有钱一文，日增一倍，倍至三十日。问该若干？ 答曰：“十亿零七千三百七十四万一千八百二十四 文。”

《法》曰：置钱一文，以十度八因，即得。〈一度八因乃三日倍数十度八因乃 三十日数〉

一法以五度、六十四乘，亦得。〈一度六十四乘乃六日倍数五度六十四乘是 三十日数〉

一法以三度三十二乘得数，自乘亦得。〈三度三十二乘乃十五日 数自乘即三十日也〉

解曰：“十度者，以八因十次也。五度者，以六十四乘五次也。馀仿此。”

今有天干十位，地支十二位。问干支相配若干？ 答曰：“六十甲子。”

法曰：置天干十位，以地支十二乘之，得一百二十为 实。却以天干十位减地支十二，馀二为法，除之，即得。 今有车一轮，轮高六尺，推行二十里。问输转若干？ 答曰：“输转二千次。”

法曰：置二十里，以《里率》一千八百尺乘之，得三万六 千尺为实。另以轮高六尺，三因，得周一十八尺为法， 除之。合问。

今有人车，不知其数，凡三人共车，二车空，二人共车， 九人步行，问“人车各若干。”

答曰：“一十五车，三十九人。”

法曰：置二人，以三人乘之，得六，加九人，得车一十五。 又以二人乘车十五，得三十，加九人，得人数。

今斋僧不知人数，初日每五人米八斗，次日每九人 米七斗，凡二日，共米三十二石一斗，问僧并米，各该 若干。

答曰：“一百三十五人，初日米二十一石六斗，次 日米一十石零五斗。”

法曰：“置列。”〈五人　九人〉互。〈八斗　七斗〉另以九人乘八斗，得七十 二，又以五人乘七斗，得三十五，并之，得一百零七，为 法。另以九人、五人相乘，得四十五，复乘，共米三十二 石一斗，得一千四百四十四石五斗，为实。以法除之， 《合问》。

今有围兵二万三千四百人，以布围之，各相去五步。 今围内缩除一十六里，九十步而止。问围兵各相去 若干？

答曰：“四步七分五釐。”

法曰：置兵数，以五步乘之，得一十一万七千步。另以 一十六里，以三百六十步通之，得五千七百六十步， 加零九十步，共五千八百五十步。以减上数，馀一十 一万一千一百五十步。以围兵二万三千四百为法， 除之，即得。

今有粮三千六百石，只云“每石《则例》令三处仓上纳， 东仓二斗三升四合，西仓三斗四升五合，南仓四斗 二升一合，依则均开问各仓该米若干。”

答曰：“东仓八百四十二石四斗，西仓一千二百四 十二石，南仓一千五百一十五石六斗。”

法曰：置总粮为实，以各仓《则例》数乘之，合问。

今有夏税麦二百七十四石，三限催征：初限五分，六 月完；中限三分半，七月完；末限一分半，八月完。问各 限该征若干。

答曰：初限一百三十七石；中限九十五百九斗， 末限四十一石一斗。

法曰：列置麦数三位，一位以五分乘为初限数，二位 以三分半乘为中限数，三位以一分半乘为末限数。 《合问》：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡 兔各若干？

《答》曰：“鸡二十三只，兔一十二只。”

法曰：置总头，倍之，得七十。于总足内减七十，馀二十 四，折半得一十二，是兔。以四足乘之，得四十八足。于 总足减之，馀四十六足，为鸡足。折半得二十三只。《合 问》。

一法：以四因总头减去总足，馀折半，得鸡。另以二因 四归总足，减总头，馀得兔。

倍头减足，折半是兔。

不分鸡、兔，以鸡二足乘头数，于共足内减之，所馀者是一兔剩二足，故“折半为兔” 也。

《四》、“头减足折半是鸡。”

不分鸡、兔：以兔四足乘头数，以共足减之，所馀者鸡足也。故“折半为鸡。”

此法名《二率分身》，即贵贱差分也。

今有狐狸，一头九尾，鹏鸟，一尾九头。只云“前有七十 二头，后有八十八尾。”问“二禽兽各若干？”

答曰：“狐狸九个，鹏鸟七只。”

法曰：置总头七十二，以减总尾八十八，馀一十六，是 二禽兽共数。以尾九因之，得一百四十四，内减总尾八十八，馀五十六为实。另以尾九内减一头，馀八为 法。除实，得鹏鸟七只，以减共数，馀得狐九个。合问。