钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十三卷目录

　算法部汇考十五

　算法统宗十一〈难题一〉

历法典第一百二十三卷

算法部汇考十五

《算法统宗十一》

难题一

序目

夫难题昉于永乐四年，临江刘公仕隆，偕内阁诸君 预修大典，退公之暇，编成《难法》，附于《九章通明》之后， 及钱唐吴信民九章比类，与诸家算法中诗词歌括、 口号总集，名曰《难题》。难者，难也，然似难而实非难，惟 其词语巧捏，使算师一时迷惑，莫知措手。不知难法 皆不离于九章。非九章之外，其难题惟在乎立法，立 法既明，则迎刃而破，又何难之有哉？今分列九章，《立 法明辩》，附集杂法于《统宗》之后，俾好事者共览云。

方田一。〈凡七问。〉

歌

《昨日丈量田地》，回记得长步整三十，广斜相并五十 步，不知几亩及分釐。

答曰：“二亩。”

法曰：置广斜相并，五十步自乘，得二千五百步。另以 长三十步自乘，得九百步。二位相减，馀一千六百步， 折半，得八百步为实。以广斜五十步为法，除之，得阔 一十六步，以乘长三十步，得四百八十步。以亩法二 四除之，合问。〈此是句弦和〉

歌

三十八万四千步正长端的无差误，“六丝二忽五微 阔，不知共该多少亩。”

答曰：“一亩。”

法曰：“置长三十八万四千步为实，以阔六丝二忽五 微”为法，乘之，得二百四十步，以亩法二四除之，合问。 〈此是直田长阔间积〉

歌

一段环田径不知，二周相并最幽微。皆知一亩无零 积，一百六十不差池。三般可以见端的，只要名家仔 细推。

答曰：“径三步，外周八十九步，内周七十一步。”

法曰：通田一亩，得二百四十步为实。另以二周相并 一百六十步折半，得八十步为法。除之，得径三步。以 三步自乘，得九步，以减八十步，馀七十一步为内周。 以减总一百六十，馀得外周八十九步。合问。

凤栖梧

一假环出余久虑，众说分明，亦有谁人悟。忘了二周 并径步，人道二周不及为差处。七十有馀单二步，三 事通知，答曰分明注。五亩二分无零数，元机奥妙堪 思慕。〈题解内周不及外周七十二〉

答曰：“径一十二步，内周六十八步，外周一百四 十步。”

法曰：以亩法通田五亩二分，得一千二百四十八步， 倍之，得二千四百九十六步，为实。以不及七十二步， 以六除，得径一十二步为法。除之，得二百零八步。以 减不及七十二步，馀一百三十六步，折半，得内周。六 十八步。加不及七十二步，得外周。合问。〈此是环田问周径〉 《弧矢问难》已载《少广章》中，故不重述。

双捣练

长十六，阔十五，不多不少恰一亩内有八个古坟墓。 更有一条十字路，阔一步，每个墓周六步，十字路阔 一步，每亩价银二两五。除了墓，除了路，问君该剩多 少数？

答曰：“路墓共占地二分二釐五毫。”〈内八墓计二十四步路计三十步〉

路墓地图

《剩地》七分七釐五毫，该银一两九钱三分七釐五毫。

法曰：通田一亩，为二百四十步。于上，另置墓八个，以每个周六步自乘，得三十六步，以十二除。

之，得三步八墓，共积二十四步。又十字路阔一步长 一十六步，阔一十五步，二共三十一步。除路中心一 步，实三十步，加八墓，共二十四步，通共占地五十四 步。以亩法二四除之，得二分二釐五毫，为占地数。以 减去一亩，馀剩地七分七釐五毫，以每亩价银二两 五钱乘之，得剩地价银。合问。

竿上安箍歌

“圆圆三丈一高，竿稍尖，头径尺二宽，今有铁箍径九 寸，试问将来何处安答曰：“自上而下，二丈二尺五寸。”

法曰：“置竿高三丈为实，以头径一尺二寸为法。”除之， 得二尺五寸。以箍径九寸乘之，得自上而下二丈二 尺五寸。上安箍只离头七尺五寸，合问。〈此如方锥作方台问截高〉

歌

今有直田，不知亩长阔相和十七步，平不及长廿五 尺，请问田该多少数？

答曰：“二分五釐，计六十步。”

法曰：置相和一十七步，减不及五步，馀一十二步为 长，以阔五步相乘，合问。

歌

今有直田用较除，一百二十步无馀。长阔相和该一 百，问公三事几何如？

答曰：“长六十步，阔四十步，较二十步。”

法曰：置较除一百二十步，减长、阔相和一百步，馀二 十步，为较。以减相和一百步，馀八十步，折半，得四十 步为阔。加较二十，得长六十。合问。

粟布二

哑子买肉歌

哑子来买肉。难言钱数目。一斤少四十。九两多十六。 试问能算者。合与多少肉。

答曰：“一十一两，每两该钱八文。”

法曰：置少四十，加多十六，共五十六为实。以多十六 减九两，馀七两为法，除之得八文，却以九两因之，得 七十二，加多十六，共得原钱八十八文。以八归之，得 肉一十一两。《合问》：

解曰：若买一斤，少钱四十文；若买九两，多钱十六文。

老人问甲歌

有一公公不记年，手持竹杖在门前。借问公公年几 岁，家中数目记分明。“一两八铢泥弹子，每岁盘中放 一丸。日久岁深经雨湿，总然化作一泥团。秤重八斤 零八两，加减方知得几年。”

答曰：“一百零二岁。”

法曰：置总八斤半，以每斤三百八十四铢乘之，得三 千二百六十四铢为实。以每岁一两作二十四铢，加 入八铢，共三十二铢为法。除之《合问》。

西江月

“白面，秤来四斤，使油一斤相和。今来有面九斤，多六 两五钱，不错，已用香油和合二斤十二无讹，再添多 少面来和，不会，应须问我。” 答曰：“添面一斤九两五钱。” 法曰：合，用异乘同除法。置今有油二斤十二两，先将 十二两化为七五于二斤之次，以乘原面四斤，得面 一十一斤为实。以原用油一斤为法，除之如故，仍得 实面一十一斤，减去已用面九斤六两五钱，馀为添 面一斤九两五钱，《合问》。

梅气清

三石五斗粟，会换芝麻三石足。又有五斗五升麻，换 来小麦量八斗。今有小麦换粟米九石六斗无零数。

《解题》曰：假如有粟米三石五斗，换芝麻三石，又如芝麻五斗五升，换折小麦八斗，今却有小麦九石六斗，要换粟米，问该若干？

答曰：“粟米七石七斗。”

法曰：合用异乘、同乘法，置今有小麦九石六斗，以乘 所问芝痳五斗五升，得五石二斗八升，再以粟米三 石五斗乘之，得一十八石四斗八升，为实。又用异除、 同除法，置所换芝麻三石，以乘小麦八斗，得二石四 斗，为法；除之，得粟米七石七斗，合问。

《解法》曰：置米三石五斗为实，以换麻三石为法除之，得麻每石换米一石一斗有零。又云：“麻五斗五升，换麦八斗。” 置麻五斗五升，以每石折米一石一斗，并零乘之，得米六斗四升，并零为实，以换麦八斗为法，除之，得麦每石折米八斗有零。又云：“今有麦九石六斗，换米问该几何？” 置麦九石六斗，以麦每石折米八斗，并零乘之，得米七石七斗，此乃用法之理，是一乘一除，理之然也。盖因除法多有畸零，数之不尽，故前法用总乘，然后用总除，真是大术矣。

西江月

甲钏九成二两，乙钗七色相同。《李银铺》内偶相逢，各 欲改成器用。其子未详所以，误将一处销镕。当时闷 恼，李三翁又把算师扰动。

答曰：“共销镕八成色金四两甲，该分二两二钱五 分。”〈折足色一两八钱〉　乙该分一两七钱五分。〈折足色一两四钱〉 《法》曰：置甲金二两，折足色一两八钱，乙金七成，二两， 折足色一两四钱，并之，得足色三两二钱。以原金二， 共四两归之，得八色。就以八为法，除甲一两八钱，得 甲金二两二钱五分。亦以法八除乙一两四钱，得乙 金一两七钱五分。合问。

歌

肆中听得语吟吟，薄酒名醨厚酒醇。好酒一瓶醉三

客，薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九，三十三客醉 醺醺。试问高明能算士，几多醨酒几多醇。

答曰：“好酒十瓶，薄酒九瓶。”

《解》曰：“共三十三人饮酒一十九瓶，好酒三人饮一瓶，薄酒一人饮三瓶。”

《法》曰：“列置问衰。”〈一瓶三人〉互。〈三瓶一人　十九瓶三十三人〉先以右 上一瓶，互乘左中一人，得一人；又以左上三人互乘 右中三瓶，得九瓶，相减馀八瓶，为法。另以右中三瓶， 互乘左下三十三人，得九十九人；另以左上三人乘 右中三瓶，得九瓶，再乘共酒一十九瓶，得一百七十 一人；内减九十九人，馀七十二人，为实。以法八瓶除 之，得薄酒九瓶，以减总酒，馀得好酒十瓶。《合问。

水仙子

为商出外去经营，将带白银去贩，参为当初不记原 银锭，只记得七钱七分，买六斤脚钱，便使用三分，总 记“用牙钱四锭，是六分中取二分，问先生贩买数分 明。”

答曰：“人参四万三千五百斤，原银六千两，牙钱 二百两，脚钱二百一十七两五钱。”

《解》曰：“每人参六斤，价七钱七分，又用脚钱三分，牙钱二百两，乃是六十分中取二分也。”

法曰：置牙钱四锭，以锭率五十两乘之，得二百两。以 六十分取二分，该得原银六千两。减牙钱二百两，馀 剩五千八百两。以买参六斤因之，得三万四千八百 斤为实。却以价七钱七分用脚钱三分，共八钱为法。 除之，得参四万三千五百斤。以每六斤归之，得七千 二百五十斤。以参价七钱七分乘之，得参价五千五 百八十二两五钱，以减总银五千八百两，馀得脚银 合问。

歌

二丈四长尺八阔，四两半银休打脱；三丈六长尺六 问，该银多少要交割。

答曰：“六两。”

法曰：用异乘同除法，置令长三丈六尺、阔一尺六寸 相乘，得五丈七尺六寸。以乘卖银四两五钱，得二百 五十九两二钱为实。以原长二丈四尺、阔一尺八寸 相乘，得四丈三尺二寸为法。除之合问。

歌

足色黄金整一斤，银匠误侵四两银。斤两虽然不曾 耗，借问却该几色金。

答曰：“八色。”

法曰：置金一十六为实，另以金加银四两，共二十两 为法，除之，合问。

歌

足色纹银十二两，欲倾八成预忖量。分两虽然添得 重，入铜多少得相当。

答曰：“入铜三两。”

法曰：置纹银一十二两，以八色归之，得一十五两，减 去原银一十二两，馀三两为入铜数。合问。

歌

一斤半盐换斤油，五万白盐载一舟。斤两内除相为 换，须教二色一般筹。

答曰：“各二万斤。”

《法》曰：置总盐五万斤为实，并盐、油共得二斤半为法。 除之，得各二万斤合问。

铺金问积歌

皇城内，丹墀中，周围有八里，铺金二寸深方寸，十六 两，秤来有一斤。不知多少数，特来问缘因。

答曰：“金七百二十万斤。”

法曰：置周八里，以四归之，得每面二里。自乘得四里。 又以每里三百六十步乘之，得一千四百四十步；以 每步二千五百寸乘之，得三百六十万寸。又以深二 寸因之，得七百二十万寸，即七百二十万斤也。《合问》：

西江月

客向新街籴米，共量八十四石一千二百七十，知石 价尽，依乡例雇觅小车搬运，装钱三百三十脚，言“家 内缺粮食，只据原钱要米。”

答曰：客米六十六石六斗七升五合，脚米一十七 石三斗二升五合。

《法》曰：此乃就物抽分之法。置米八十四石，以价一千 二百七十文乘之，得一十万零六千六百八十文为 实，另以石价并脚钱共一千六百文为法，除实得客 米数，以减总米，馀为脚米。合问。

衰分三

西江月

净拣棉花，弹细相和，共雇王孀，九斤十二。是张昌李 德，五斤四两。纺绩织成，布匹，一百八尺曾量。两家分 布要明彰，莫得些儿偏向。

答曰：“张昌七丈零二寸，李德三丈七尺八寸。”

法曰：列各衰，张昌九斤十二两，李德五斤四两。各以两法通之，张得一百五十六两，李得八十四两，副并 共得二百四十两为法。另以织布一百零八尺乘张 一百五十六两，得张一千六百八十四丈八尺；乘李 八十四两，得李九百零七丈二尺。各自为实，以法除 之，《合问》。

歌

赵嫂自言快绩麻，李宅张家雇了他。李宅六斤十二 两，二斤四两是张家。共织七十二尺布，二人分布闹 喧哗。借问乡中能算士，如何分得的无差。

答曰：“张宅五丈四尺，李宅一丈八尺。”

法曰：置共织布七十二尺为实，并二麻张六斤一十 二两，以斤加六得一百零八两，李二斤四两，以斤加 六得三十六两，共一百四十四两为法，除之，每两得 五寸，以乘各出麻合问。

诵课增倍歌

有个学生心性巧，一部《孟子》三日了。每日增添一倍 多。问君每日读多少？

答曰：头一日读四千九百五十五字，第二日读九 千九百一十字，第三日读一万九千八百二十字， 法曰“置。”〈一　二　四〉并为七衰为法，以《孟子》字数三万四 千六百八十五字为实，以法除之，得四千九百五十 五字，为头日之数，倍之，为第二日数，又倍之，为第三 日数。合问：

行程减等歌

《三百七十八里关》，初行健步不为难。次日脚痛减一 半，六朝才得到其关。要见每朝行里数，请公仔细算 相还。

答曰：“初日一百九十二里，次日九十六里，三日 四十八里，四日二十四里，五日一十二里，六。”

日“六里。”

《法》曰：“置三百七十八里为实，列置衰。”〈一　二　四　八　十六　三 十二〉并得六十三衰，为法，除实得六里，为第六日之数。 逓加一倍，《合问》。

浮屠增级歌

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯。

答曰：“顶层三盏。”

《法》曰：“置共灯数为实，列置衰。”〈一　二　四　八　十六　三十二　六十四〉 并之，得一百二十七衰，为法，除实得三，为顶层灯数。 各加倍，得各层灯数。《合问》。

“三等赔偿。” 《鹧鸪天》。

八马九牛十四羊，赶在村南牧草场。吃了人家一段 谷，议定赔他六石粮。牛一只，比二羊，四牛二马可赔 偿，若还算得无差错，姓字超群到处扬。

答曰：马八共赔三石；牛九共赔一石六斗八升七 合五勺；羊十四共赔一石三斗一升二合五勺。

解曰：“马八只、牛九只、羊十四只，共议赔谷六石、羊一分、牛二分、马四分。”

法曰：置米六石为实，另置马八，以四因得三十二衰。 牛九，以二因得一十八衰。羊一十四衰，并得六十四 衰为法。除之，得九升三合七勺五抄为一，羊所吃赔 谷数为法。遍乘各衰，先以羊一十四衰乘之，得一石 三斗一升二合五勺，为羊主赔数；又以牛衰十八乘 之，得一石六斗八升七合五勺，为牛主赔数。又以马 衰三十二乘之，得三石，为马主赔数。《合问》。

五爵分金歌

公、矦、伯子男五、四、三、二、一，假有金五秤，依率要分讫。 答曰：“公一秤十斤，矦一秤五斤，伯一秤；子一 十斤，男五斤。”

法曰：置金五枰，以每秤一十五斤乘，得七十五斤为 实。列公五矦四伯三子二、男一副，并得一十五，为法。 除实得五斤，为男所得数。加五得十斤，为子所得数。 再加五得一秤，为伯所得数。又加五得一秤，零五斤， 为矦所得数。再加五得一秒，一十斤，为公所得数。合 问。

八子分绵歌

九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十 七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外 人传。

答曰：“长子一百八十四斤，次子一百六十七斤， 三子一百五十斤，四子一百三十三斤，五子一 百一十六斤，六子九十九斤，七子八十二斤。”

八子，六十五斤。

《法》曰：置七衰。〈一　二　三　四　五　六　七〉并得二十八衰，为实。 以多十七乘之，得四百七十六。以减总绵数，馀五百 二十，以八子除之，得六十五斤，为第八子数。加十七， 得八十二斤，为七子数。仿此。递加十七至长，合问。

九儿问甲歌

“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三 岁，共年二百七岁期，借问长儿多少岁，各儿岁数要 详推《答》曰：“长儿三十五岁，次儿三十二岁，三儿二十 九岁，四儿二十六岁，五儿二十三岁，六儿二。”

十岁七儿一，十七岁八儿一，十四岁九儿一。

十一岁。

《法》曰：“列八衰。”〈以一　二　三　四　五　六　七　八〉各以差三岁因之 为各人之衰数。长儿因得三，次儿因得六，三儿因得 九，四儿因得十二，五儿因得一十五，六儿因得一十 八，七儿因得二十一，八儿因得二十四，并入衰，得一 百零八数以减，总二百零七岁，馀九十九岁。以九人 除之，得一十一岁，为第九儿之年。岁次递加，三岁至 长合问。

依等算钞歌

甲、乙、丙、丁、戊、己庚七人钱本不均平，甲乙念三七钱 钞。〈二十三两七钱〉念“六一钱戊己庚。”〈二十六两一钱〉惟有丙丁钞无 数，要依等第数分明。请问高明能算者，细推详算莫 差争。

答曰：甲该钞一十二两二钱，乙该钞一十一两五 钱，丙该钞一十两零八钱，丁该钞一十两零一 钱，戊该钞九两四钱，己该钞八两七钱，庚该

钞八两。

法曰：置戊己庚三人，添一为四，以三乘之，得十二，折 半得六，减去三，馀三，为下差率。另以甲乙二人乘总 七人，得十四，减去下差率三，馀得十一，为上差率。 列置戊己庚甲乙。〈三二〉互。〈馀三　得六　二十六两一钱　得五十二两二钱　馀十一　得三十三　二十三两七钱　得七十一两一钱〉 先以左上二互乘右中三，得六；又以左上二乘右下 二十六两一钱，得五十二两二钱；次以右上三乘左 中十一，得三十三；以减去右中六，馀二十七为法；又 以右上三乘左下二十三两七钱，得七十一两一钱； 减去右下五十二两二钱，馀一十八两九钱，为实；以 法二十七除之，得七钱，为一差之数。另置《甲乙》，共钞 二十三两七钱，加入差七钱，共二十四两四钱，折半 得一十二两二钱，为甲所得数，除差七钱，馀一十一 两五钱，是乙钞。各减七钱，得各数。

竹筒容米歌

家有九节竹一茎，为因盛米不均平。下头三节三升 九，上稍四节贮三升。惟有中间二节竹，要将米数次 第盛。若是先生能算法，教君直算到天明。

答曰：“第一节。”�“容米一升四合。”第二节。�《一升三 合》第三节：�“一升二合”第四节：�“一升一合” 第五节。�一、《升》第六节�《九、合》第七节�《八合》 第八节�《七、合》第九节�六《合 法》曰：置上四节，加一，为五与四乘，得二十，折半，得一 十，减去四，馀得六，为下差率。另以下三节，以总九节 乘之，得二十七，减去下差率六，馀二十一，为上差率。 列置。〈右四　左三〉互。〈馀六　得一十八　三升　得九分　馀二十一　得八十四　三升九合　得一十五分六釐〉 先以左上三互乘右中六，得一十八；次以右上四互 乘左中二十一，得八十四。以少减多，馀六十六，为法。 复以左上三乘右下三，得九分；又以右上四乘左下 三，升九合，得一十五分六釐，减去九分，馀六分六釐， 为一节之差数。却以下三节盛米三升九合为实，以 法六十六乘之，得二百五十七分四釐，以三归之，得 八十五分八釐，是第二节数。加六分六釐，为第一节 数。减六分六釐，得七十九分一厘，为第三节数。又减 去六分六釐，馀七十二分六釐，为第四节数。每节次 第减六分六釐，得各数。以法六十六除之，《合问》

原法下头三节贮四升米，不尽者多，今改为“三升九合” ，却尽矣。

歌

一万六百八两银，四个商人依率分。原银轮递四六 出，休将“《六折术》瞒人。”

答曰：“甲四千四百零六两四钱；乙，二千九百三十 七两六钱；丙一千九百五十八两四钱；丁一千 三百零五两六钱。”

解曰：“四六者，乃是每两多五，故自丁起递用加五为衰，并之为法，除实。”

《法》曰：“各列置衰。”〈丁四　丙六　乙九　甲一十三衰五分〉副并得三十二 衰，五分为法。另以银一万零六百零八两，以乘各衰 甲十三衰，五分得一十四万三千二百零八两，乙九 衰得九万五千四百七十二两，丙六衰得六万三千 六百四十八两，丁四衰得四万二千四百三十二两。 各自为实，以法各除之，合问。

歌

三千四百十两银，五个为商照本分。原银轮递二八 出，休将“八折易瞒人。”

答曰：“甲，二千五百六十两；乙，六百四十两；丙，一 百六十两；丁，四十两；戊，一十两。”

解曰：“二八者，乃是每两多四，故自戊起，依次递用，四因为衰，并之为法。”

《法》曰：“各列置衰。”〈戊二　丁八　丙三十二　乙一百二十八　甲五百一十二〉副并， 得六百八十二衰，为法。以所分银三千四百一十两 为实。以法除之，得五十，为一衰。以乘各衰，得各人数合问。

歌

三百六十九斤丝，出钱四客要分之。原本皆是八折 出，莫教一客少些儿。

答曰：“甲，一百二十五斤，乙，一百斤；丙，八十斤。”

丁，六十四斤。

《法》曰：“各列置衰。”〈甲一千　乙八百　丙六百四十　丁五百一十二〉副并得二 千九百五十二为法。另以所分丝三百六十九斤乘 未并各衰甲一千，得三十六万九千。乙八百得二十 九万五千二百。丙六百四十得二十三万六千一百 六十。丁五百一十二得一十八万八千九百二十八。 各自为实。以法除实，得各人丝。合问。

歌

甲、乙、丙、丁、戊分银一两五，甲多，戊钱三，互和折半与 答曰：“甲三钱六分五釐，乙三钱三分二釐五毫， 丙三钱，丁二钱六分七釐五毫，戊二钱三分五 釐。”

《解》曰：“甲多戊，一钱三分也。”

《法》曰：此互和减半之法，置分银一两五钱为实，以例 用。〈一分　三分　五分　七分　九分〉并之，得二钱五分为法；除之得 六钱，乃首尾之数。于内减中多戊一钱三分，馀四钱 七分折半，得戊二钱三分五釐。仍加多一钱三分，得 甲三钱六分五釐。互和甲、戊共得六钱，折半得丙三 钱。互和加甲三钱六分五釐，共得六钱六分五釐，折 半，得乙银三钱三分二釐五毫。并丙、戊共五钱三分 五釐，折半，得丁二钱六分七釐五毫。合问。

西江月

群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊，羔先 剪二羊比较，大羊剪毛斤二一十二两，羔毛百五十 斤是根苗，子母各该多少。

答曰：“大羊一百二十只，小羊二十只。”

法曰：置羊一百四十，以大羊剪毛一斤，二加六为一 十八两。乘之，得二千五百二十两。以减共剪毛一百 五十斤，亦加六为二千四百两，馀一百二十两为实。 另以大羊毛一十八两减小羊毛一十二两，馀六两 为法。除之，得小羊二十只。以减总羊馀，得大羊一百 二十只。合问。

二果问价歌

九百九十九文钱。“甜果苦果买一千。”甜果九个十一 文，苦果七个四文钱。试问甜苦果几个？又问各该几 个钱。

答曰：“甜果六百五十七个，该钱八百零三文；苦果 三百四十三个，该钱一百九十六文。”

《法》曰：列置。〈九个十一文〉互。〈七个四文　一千个九百九十九文〉先以 右上九个互乘左中四文，得三十六个；次以右中七 个互乘左上一十一文，得七十七文；以少减多，馀四 十一，为长法。又以右中七个互乘左下九百九十九 文，得六千九百九十三文；再以左中四文互乘右下 一千个，得四千；以少减多，馀二千九百九十三文；却 以长法除之，得七十三，为短法。若求《甜果》，以七十三 乘九个，得甜果六百五十七个。另以七十三乘一十 一文，得甜果钱八百零三文。于总果内除六百五十 七，馀苦果三百四十三个。又于总钱减去甜果钱，馀 得苦果钱。合问。

均舟载盐歌

四千三百五十盐，大小船只要齐肩。五百盐装三大 只，三百盐装四小船。请问船只多少数？每只船载几 引盐？

答曰：大船一十八只，装盐三千引；小船一十八只， 装盐一千三百五十引。

《法》曰：列置。〈四只　三只〉互。〈三百　五百〉先以左上三只互乘右下 三百引，得九百。次以右上四只互乘左下五百，得二 千，并之，得二千九百为法。列置三四乘，得一十二只； 以乘总盐，得五万二千二百为实；以法除之，得十八， 是大小船数。先以大船盐五百因之，得九千；再以船 三只归之，得盐三千引。又置小船一十八只，以盐三 百因之，得五千四百。又以船四只归之，得盐一千三 百五十引，《合问》。

增钱剥浅歌

邻家有客乱争喧，相见问其所以然。二百三十六担 货，程途远近论船钱。九十五担六分算，八十五担四 分还。更有五十六担货，二分五釐算为先。只因剥浅 争船价，二两五钱二分添。请问高明能算士，各人分 派免忧煎。

《解》曰：假如赵一、钱二、孙三三人共货二百三十六担，雇船一只，原各以程途远近不等，水脚多寡不同。内“赵一” 货九十五担，交卸甚远，每担船脚银六分；钱二货八十五担，卸处颇近，每担船脚四分；孙三货五十六担，程途又近，每担船脚二分五釐。算其银付足外，因中途剥浅，贴银二两五钱二分，照依远近船钱派“分，各该若干。”

答曰：“赵一该贴一两三钱六分八釐，钱二该贴八

钱一分六釐，孙三该贴三钱三分六釐。”

法曰：“置赵一货九十五担，以每担船脚银六分乘之， 得五两七钱。另以钱二货八十五担，以每担船银四 分乘之，得三两四钱。又以孙三货五十六担，以每担 船银二分五釐乘之，得一两四钱。”并三数原船脚银 一十两零五钱为法。却以贴银二两五钱二分为实， 以法除之，得二钱四分，乃是船脚每两贴剥之数。就 以此二钱四分为法，以乘各客船脚银数，即得。

笔套取齐歌

八万三千短竹竿，将来要把笔头安。“管三套五为期 定，问君多少配成完。”

答曰：“管套各得一十五万五千六百二十五个，管 竹五万一千八百七十五竿，套竹三万一千一百 二十五竿。”

《解题》共有短竹八万三千竿，每一竿截作笔管三个，每一竿截为笔套五个，问各该用竹若干，裁截配合成笔。

法曰：置竹八万三千，为实。以管三、套五并作八，为法。 除之，得一万零三百七十五，又为实。另以管三乘套 五，得一十五，又为法。乘实得管、套各得一十五万五 千六百二十五个，列置问。管竹以三归之，问套竹以 五归之，合问。

金球问积歌

有个金球里面空，球高尺二，厚三分一寸，自方十六 两，试问金球多少金。

答曰：“一百三十八斤一十两零二钱四分。”

解曰：“金球者，形如立圆，高尺二，即圆中之径也。” 厚三分者，乃中径之两头俱有，故并共厚六分，以减全径尺二，馀得内中空径一尺一寸四分也。其用立圆之法，自再乘毕，又用九因、十六除者，何也？其平圆居方内四分之三，故用三因。四归得积。今立圆而又多一再乘者，故以三三如《九因》之。平圆四归而一，今立圆亦再以四自乘，得一十六而除之，是也。若球周问积，置周数以三归求出径数，同法算积。

法曰：置球高一十二寸，自乘再乘，得一千七百二十 八寸。以《九因》十六除，得九百七十二寸，是全个金球 之实。另置径一十二寸，减去径两头共厚六分，馀得 球中空径一十一寸四分。亦自乘，再乘，得一千四百 八十一寸五分四釐。亦以九因十六除，得八百三十 三寸三分六釐，为球内空积之数。以减全球积数，馀 一百三十八寸六分四釐；以一百三十八寸变为一 百三十八斤零者，用“加六”之法，得一十两零二钱四 分。《合问》：

西江月

帝城三五元宵，鳌山两样灯球，都来一秤三斤油。七 两又来添凑，三两分为四盏，四两分作三瓯，三停盏 子二停瓯，请问先生知否？

《答》曰：“瓯一百二十只，油十斤，盏一百八十个，油八 斤七两。”

法曰：置油一秤，为一十五斤，又添三斤，共一十八斤。 每斤用加六法，得二百八十八两。又添七两，共二百 九十五两。以每两二十四铢乘之，得七千零八十铢 为实。另置油三两，以二十四铢乘，得七十二铢。以四 盏归之，每盏得一十八铢。又以三停乘之，得五十四 铢，为盏之法。另又置油四两，以二十四铢乘之，得九 十六铢。以三瓯归之，每瓯得三十二铢。又以二停乘 之，得六十四铢。为瓯之法。并瓯盏二法共一百一十 八为总法。除实七千零八十铢，得六十为则。以二停 因得一百二十为瓯数。以每瓯油三十二铢乘之，得 三千八百四十铢。以每斤三百八十四铢除之，得十 斤为瓯油总数。另以则六十，以三停因之，得一百八 十，为盏总数。以每盏油一十八铢乘之，得三千二百 四十铢。以每两二十四铢除之，得一百三十五两。以 斤法一十六两除之，呼见一无除作九，一无除，起一 下还一六八除四十八，馀七两不可除，即是八斤七 两为盏油总数。并瓯总油，共一十八斤七两。《合问》

以碗知僧歌

“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧？三百六十四只 碗，恰合用尽不差争，三人共餐一碗饭，四人共尝一 碗羹，请问高明能算者，算来寺内几多僧？” 答曰：“六百二十四人，饭碗二百零八只，羹碗一 百五十六只。”

法曰：以三人四人相乘，得一十二人，以乘总碗三百 六十四，只得四千三百六十八为实。另以三四并之， 得七为法，除之得僧数。用三归得饭碗，用四归得羹 碗。《合问》：

河边洗碗歌

妇人洗碗在河滨，试问“家中客几人？”答曰：“不知人数 目，六十五碗自分明，二人共餐一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无馀数。”请问布算莫差争？ 答曰：“客六十人，饭碗三十只，羹碗二十只，肉 碗一十五只。”

法曰：以二人乘三人，得六人；又以四人乘之，得二十 四人。以乘总六十五碗，得一千五百六十为实。另列 维乘。〈得六　得一十二〉先以二乘三得六，次

以三乘四得一十二，又以四乘二得八，并之，得二十 六，为法。除实得六十人，各列。以二归得饭碗，以三归 得羹碗，以四归得肉碗。《合问》。

书生分卷歌

《毛诗》春秋《周易》书，九十四册共无馀。《毛诗》二册三人 共，《春秋》一本四人呼。《周易》五人读一本，要分每样几 多书。就见学生多少数，请君布算莫踌蹰。

答曰：“《毛诗》四十本，《春秋》三十册，《周易》”二十四本。 学生各经一百二十名，总计三百六十人。

法曰：列置三人、四人、五人维乘。以三人乘四人，得一 十二。又以四人乘五人，得二十。又以五人乘三人，得 一十五。并之得四十七，为法。另以共书九十四本在 位。以《诗》三人乘之，得二百八十二本。再以《易》四人乘 之，得一千一百二十八本。又以《书》五人乘之，得五千 六百四十本，为实。以法四十七除之，得各经学生一 百二十名，列三位，以三人归之，得《诗经》四十本，以四 人归之，得《春秋》三十本，以五人归之，得《易经》二十四 本，并三经学生共三百六十人，合问。

僧分馒头歌

一百馒头一百僧，大和三个更无争。小和三人分一 个，大小和尚得几丁。

答曰：“大和尚二十五人，该馒头七十五个；小和尚 七十五人，该馒头二十五个。”

法曰：置僧一百名为实。以三个、一个并得，四个为法。 除之，得大僧二十五人。以每人三个因之，得馒头七 十五个。于总僧内减大僧，馀七十五为小僧。以三人 归之，得馒头二十五个。《合问》。

歌

一千官军一千布，一官四匹无零数，四军才分布一 匹，请问官军多少数？

答曰：“官二百员，该布八百匹。军八百名，该布二百 匹。”

《法》曰：置官军共一千为实。以四匹、一匹并得五匹为 法。除之，得官二百员。以每员四匹因之，得布八百匹， 于总官军内减二百，馀八百名为军，以四军归之，得 布二百匹。合问。

歌

“今有千文买百鸡，五十雄价不差池。”草鸡每个三十 足，小者十文三个知。

答曰：“公鸡八只，价钱四百文；母鸡十一只，价钱三 百三十文；小鸡八十一只，价钱二百七十文。”

《原法》曰：置钱千文为实。另置公鸡一、母鸡一，各以小 鸡三因之，得公鸡三、母鸡三、小鸡三，共得九，为法。除 实得十一，为母鸡数。不尽，一返减下法九，馀八为公 鸡数。另列总鸡一百只，减去公鸡八只，母鸡一十一 只，馀八十一只，为小鸡数。各以价钱因之合问。

又引前法，置所答数，公鸡八只，增四作十二；母鸡十一，减七为四；小鸡八十一，益三为八十四，共百鸡千文也。此乃张丘建云：“鸡公增四，鸡母减七，鸡雏益三。” 又细参之，仍置原数，却将鸡公八只，减四得四只，鸡母十一，增七得一十八只，鸡雏八十一，减三得七十八只，亦得百鸡千文也。其一法而生三，故在变通之意也。

水仙子

元宵十五闹纵横，来往观灯街上行，我见灯上下红 光映，绕三遭数不真，从头儿三数无零。五数时四瓯 不尽，七数时六盏不停，端的是几盏明灯。

《解题》初以三算之恰尽，次以五算之馀四盏，再以七算之馀六盏。问共灯若干。

答曰：“六十九盏。”

法曰：此如孙子物，不知总法也。先置三数无零，不必 下五数剩四，每一下二十一数四，共该下八十四数； 七数剩六，每一下十五数六，共该下九十数。并之，共 得一百七十四，减去满法一百零五，馀得六十九盏。 合问。