钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　算法部汇考十六

　　算法统宗十二〈难题二〉

历法典第一百二十四卷

算法部汇考十六

《算法统宗十二》

难题二

少广四

歌

直田七亩半。忘了长和短。记得立契时。长阔争一半。 今特问高明。此法如何算。

答曰：“长六十步，阔三十步。”

法曰：置田七亩半，以亩法二四通之，得积一千八百 步，折半，得九百步，为实。以开平方法除之，约商三十 步自乘，得九百步，除实尽，得阔三十步为法。以除总 田积一千八百步，得长六十步。合问。

西江月

今有方田一段，中间有个圆池，步量田地可耕犁，十 亩无零在记。方至池边有数，每边十步无疑。外方池 径果能知，到处芳名说你。

《解题》“耕犁十亩” ，乃是池外馀地，忘却方、面、圆径二数，只记得方至池边十步。今问外方面、内圆径各若干。

答曰：“方面六十步，内圆池径四十步。”

法曰：置田十亩，以亩法二四通之，得二千四百步。另 以每边十步自乘，得一百步，又以三因之，得三百步， 加入积内，共得二千七百步为实。另以每边十步，以 六因之，得六十步，为纵方。于右以开平方带纵法除 之，约商三十步于左位。就置三十于右位，并入纵方 六十，共得九十步于左。商三十相呼，三九除二千七 百步，积尽，以商三十倍作六十步为方面，减去每边 各十步，共减二十步，馀得圆池径四十步。《合问》：

解法曰：方内容圆四分之三，故以三因池外自乘之数，得三百，并积为实。另以三倍之，为六乘，每边十步，得六十步，为纵方。平方开之。

西江月

今有圆田一段，中间有个方池。“丈量田地待耕犁，恰 好三分在记。池面至周有数，每边三步无疑。内方圆 径若能知，堪作算中第一。”

答曰：“圆径一十二步，内方池六步。”

法以亩法通田三分，得七十二步。以每边三步约之， 得圆径一十二步。自乘，得一百四十四步，三因四归， 得一百零八步。减田积七十二步，馀三十六步。平方 开之，得方池六步。《合问》：

又法以每边三步自乘，得九步。又以四因，得三十六 步。加入倍积，一百四十四步，共一百八十步为实。另 以每边三步，以八因之，得二十四步，为纵方。以平方 带纵法开之，约商六步于左，亦置六步于右，并入纵 方二十四步，共得三十步。与上商六步相呼，除实尽， 得半径六步。倍之，得全径一十二步是也。

孤峰马杰断古法曰：“以每边三步约之，得圆径一十二步。” 此数非圆田之正径乎？以正径论之，积步不及三分，岂有方池六步之容？前后不接，细考后矣　。《改正法》曰：“置耕犁地三分，通为七十二步，以四归之，得弧矢田积一十八步为实。另以此数倍之，得三十六步，以平方开之，得六步为法。除实，得矢三步，并法六步” ，共九步，为弦，折半得四步半自乘，得二十步零二分五釐，以矢三除之，得六步七分五釐，加矢三步，共九步七分五釐，为圆径。内减二矢阔六步，馀三步七分五釐，为方池。《合问》。予因二数不一，故将杰改正圆径九步七分五釐较之，具立图形于左。细究以辨曲直，其古法数准无疑。惟每边三步约之，得径十二。但“约之” 之说而无定法，含糊之甚。《孤峰》改正妄减数目，理甚不明。

《大位法》曰：“存方池馀地，取作上下二大弧矢，两边二 直，又二小弧矢，以每边三步为矢。”求弦法：置半径四。

求弦合总图

步八分七釐五毫自乘，得二十三步七分六釐五毫。另置半径减矢三步，馀一步八分七釐五毫自乘，得三步五分一厘五毫相减，馀二十步零二分五釐，以

平方法开之，得四步五分，倍之得九步，为上下弧弦。 用弧矢法得一，矢积一十八步，倍之得三十六步，为 上下二弧矢之积。又以方池左右两旁取直二段，阔 各二步六分二釐五毫，以池方三步七分五釐乘之得九步八分四釐四毫，倍之得一十九步六分八釐 八毫，为左右直积。再以东西二小弧矢，矢各三分七 “釐五毫，弦各三步七分五釐。各用弧矢法，得七分七 釐三毫五丝，并之得一步五分四釐七毫，为东西二 小弧矢积并四旁积只有五十七步二分三釐五毫， 加方池积一十四步零六釐二毫五丝，通共总得七 十一步三分。此乃较准，毫忽无差，并池地合原积七 十二步，尚且不足七分，焉得三分耕”犁之地乎？予思 马杰用《四归》七十二步，乃是圆内容方，弧弦方角俱 至边周，可用此法。若是钱形内容方池，角不通边，外 有馀空，岂可以四均而归之？重叠四角，其理明矣。

西江月

方田一十五亩，及时人去耕犁。圆池在内甚稀奇，圆 径不知怎记。方至池边有数，每边二十无疑。外方圆 径若能知，细演天源如积。

答曰：“面方六十步，圆径二十步。”

法曰：以亩法通田得三千六百步，以平方法开之，得 六十步。以减每边二十步，二边共减四十步，馀得圆 径二十步。《合问》：

西江月

今有圆田一所，不知顷亩端的直河一道，正中穿圆， 分弧矢两段，通田七十四步，二十四步河宽除河见 在几多，田水占如何得见？

圆变二弧矢

答曰：“见在田九亩八分九釐五毫八丝　，水占田七亩二分一厘六毫六丝。”

法曰：先置通径七十四步自乘。

得五千四百七十六步。以三因四归，得四千一百零 七步，为全圆总积。再置通径七十四步，减去河宽二 十四步，馀五十步折半，得二个弧矢，各得矢二十五 步。宜用圆径与截矢求截弦之法。另置通径七十四 步，折半，得半径三十七步，为弦自乘，得一千三百六 十九步。另以半径三十七步减矢二十五步，馀一十 二步，为股。自乘，得一百四十四步。以减弦自乘数，馀 一千二百二十五步。以平方法开之，得三十五步；倍 之，得七十步，为截弦并矢二十五步，共九十五步，折 半得四十七步五分，以矢二十五步乘之，得一千一 百八十七步五分，为一段《弧矢》田积倍之，得二千三 百七十五步，为见在田。以减通径，总田四千一百零 七步，馀一千七百三十二步，为水占田。各以亩法二 四除之，合问。

古法设弦七十步，并无用法出处，今用《求弦》之法也。

歌

今有梯田长一百小头十五大廿七截卖一百九十。

二欲从一边截去积

《解题》：“截积一边，如句股之形也。”

答曰：“截长八十步，阔四步八分。”

法曰：倍截积，得三百八十四步，以乘长一百步，得三 万八千四百步，为实。以大头二十七步减小头一十。

梯积句股图

五步，馀一十二步折半得六步，为法。除之，得六千四百步。以开平方法除之，得截长八十步。以所折半之六步乘之，得四百八。

十步，却以原长一百步除之，得截、阔《合问》。

歌

弧矢一亩积一假，更加九十七步半，矢不及弦十五 步，弦矢各长怎的算？

答曰：“弦三十步，矢一十五步。”

法曰：通田一亩得二百四十步，加零九十七步半，共 得三百三十七步半。以四因三归，得四百五十步为 实。以不及一十五步为纵方。于右。上商十步。下法亦 置十步，加于纵方一十五之上，共二十五，皆与上商 一十步。除实二百五十步，馀实二百步。另以下法，初 商一十倍之，得二十，次商五步于左。下法亦置五步， 加于纵方一十五之上，并倍初商，共得四十步，皆与 上商五除，实尽，得矢一十五步，加不及十五，共三十 步，为弦合问。

歌

梭田共积一千二又零二十有四步，阔不及长三十 二，要见阔长多少数。

答曰：“长六十八步，阔二十六步。”

法曰：倍积得二千四百四十八步为实，以不及三十 二步为纵方于右初商三十步于左。下法亦置三十 加于纵方之上，共六十二步，与左初商三十相呼，三 六除实，一千八百。又呼，二三除六十，馀五百八十八 步。另以下法六十二，加倍初商三十，得九十二，次商 六步于左。下法亦置六步，加于纵方九十二之上，共 九十八步。皆与次商六步相呼，六九除五百四十，又 呼，六八除四十八步，尽得阔三十六步，加不及三十 二步，得长六十八步。《合问

船缸均载歌

三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一 只，不许一船少一缸。

答曰：船一十九只，每只装缸一十九个。

法曰：置缸三百六十一只为实，以《开平》方法除之。初 商一十于左，亦置一十于右，为方法。左右相呼，一一 除实一百，馀实二百六十一。右法：初商一十，倍作二 十，为廉法。次商九于左，初商之次，亦置九于倍商二 十之次，皆与左次商九相呼，二九除实一百八十。又 呼九九，除八十一实，尽得一十九船。每船载缸一十 九个《合问》。

船粮均载歌

今岁都要纳秋粮，雇船搬载去，上仓五万七千六百 石，河中漏湿一船粮。每船负带一石，去船仍剩得一 石粮。秋粮纳米已有数，不知原用几船装。

解题问总粮用船、及每只装数相同、各该若干

答曰：船二百四十只，每只装二百四十石。

法曰：置米为实，以《开平方法》除之。初商二百于左，亦 置二百于右。左右相呼，二二除四万石。馀实一万七 千六百。另以右商二百倍作四百。次商四十于左，初 商之次，亦置四十于右，倍商四百之次，皆与上商四 十相呼，四四除一万六千。又呼，四四除一千六百，恰 尽。

驻马听

不比寻常，欲造金球内外光，要求高径尺寸，今有金 积耀眼睛。黄百二十一五分，详立圆高许如等杖。折 半曾量，折半曾量，金实虚积无偏向。

答曰：“立圆径，高六寸。”

法曰：置金积一百二十一寸五分，以十六乘，得一千 九百四十四寸；以九归之，得二百一十六寸，为实。以 开立方法除之，初商六寸，自乘，再乘，得二百一十六 寸，除实，恰是得径。《合问》　又曰：“要知金积将径六寸” 自乘再乘，以九因、十六除，得积。

西江月

假有坡地一段，中间一卖安茔，总皆一亩二分，平更 有八釐相应。只要纵多两堵，每堵八尺无零，筑墙选 日雇工兴几许封堆可定。

《解题》“假如有地一段，共积三百零七步二分，周围筑墙，每堵八尺，东西长比南北阔多二堵，问各该地并堵数若干。”

答曰：“东西各长一十九步二分，墙一十二堵；南 北各阔一十六步，墙十堵。”

法曰：置田一亩二分八釐，以亩法二四通之，得三百 零七步二分为实。以纵多二堵共一十六尺，以五归 之，得三步二分，为纵方。以平方带纵法除之，得阔一 十六步。加三步二分，得长一十九步二分。各以一步 六分除之，得墙一十二堵。合问。

解法纵多，二堵共一十六尺，以五归之，即每尺为二分也。各以一步六分除之，即每堵八尺也。

系羊问索歌

旷野之地有个桩，桩上系著一腔羊。团团踏破三亩 二，试问羊绳几丈长。

答曰：“绳长八尺。”

法曰：“此乃平圆之法。”置地三亩二分，以亩法二四通 之，得七百六十八步。以四因三归之，得一千零二十 四步为实。以开平方法除之，初商三十自乘，得九百 除实，馀一百二十四步。另以右位初商三十倍，作六 十次商二步于左。下法亦置二步于倍商六十之次， 皆与左次商相呼，二六除一百二十，又呼二二除四 步，恰尽，得三十二步，乃地之全径。折半得一十六步， 为羊所系桩处。再以每步五尺乘之，得八十尺，为羊 绳长。合问。

西江月

今有酒坛一垛，共积一百六十下，长多广整七枚广 少上长三只，堆积槽坊园内，上下长广难知。烦公仔 细用心机，借问各该有几

答曰：“上长八个，下长十二个，上广一个，下广。”

堆垛坛

五个

法曰：置积一百六十，以六乘之，得九百六十，为实。倍多广七个，得一十四个，加上长三个，共一十七个，为纵方。再加上长三个，共二十个，为纵廉。以

三为隅算。用开立方法除之，上商五个。下法亦置五 个自乘，得二十五个。又以隅三乘之，得七十五个，为 隅法。又以五乘纵廉二十，得一百，以方廉隅三法，共 得一百九十二，皆与上商五除，实尽，得下广五个。加 多七个，为下长，加多三个为上长。合问：

歌

红桃一垛积难知，共该六百八十枚。三角垛来尖上 一，每面底子几何为。

答曰：底子一十五个法曰：置果积六百八十，以六因之，得四千零八十个 为实。以二为纵方，三为纵廉。以开立方法除之。初商 一十于左，下法亦置一十于右，自乘，得一百，为隅法。 又以上商一十乘纵廉三得三十，并方二隅一百，共 一百三十二，皆与上商一十相呼。除实一千三百二 十，馀实二千七百六十，乃二乘纵廉三十，得六十，以 三乘隅法一百，得三百，皆并入纵方二，共三百六十 二，为方法。下法再置上商一十，以三因得三十，加入 纵廉三，共三十三，为廉法。次商五，下法亦置，五自乘， 得二十五，为隅法。又次商五，乘廉三十三，得一百六 十五，并方三百六十二，廉一百六十五，隅二十五，三 法共五百五十二，皆与上“商五”相呼，除实尽得底脚 一十五个。《合问》：

商功五

歌

穿渠二十九里，程再加一百四步零，上广一丈二尺 六，下广八足丈八深。每日一夫三百尺，问该夫数，雇 工兴。

答曰：三万二千五百八十人，不尽二百八十八尺。 法曰：置二十九里，以每里三百六十步乘之，得一万 零四百四十步。加零一百零四步，共一万零五百四 十四步，以每步五尺乘之，得五万二千七百二十尺 为长积。另并上下广二丈零六寸折半得一丈零三 寸，以深一丈八尺乘之，得一百八十五尺四寸；以乘 长积，得九百七十七万四千二百八十八尺为实，以 每人日开三百尺为法，除之，得三万二千五百八十 人。不尽，二百八十八尺不彀，一人一日合问。

西江月

张家三女，孝顺归家，频望勤劳。东村大女，隔三朝五 日；西村女到，小女南乡，路远依然。七日一遭。何朝齐 至，饮香醪，请问，英贤回报。

答曰：“一百零五日，同到相会。”

法曰：“以三朝五日”相乘，得一十五，再以七日乘之，得 一百零五日。合问。

歌

今有四人来做工，八日工价九钱银二十四人做半 月，试问工钱该几分？

答曰：“一十两零一钱二分五釐。”

法曰：置二十四人，以一十五日乘之，得三百六十，又 以银九钱因之，得三百二十四两，为实。以四人乘八 日，得三十二日，为法。除之合问。

均输六

粒米求程歌

庐山山高八十里，山峰峰上一黍米。黍米一转止三 分，几转转到山脚底。

答曰：“四百八十万转。”

法曰：“置山高八十里”，以每里三百六十步乘之，得三 万八千八百步，以每步五十寸乘之，得一百四十四 万寸为实，以米转三分为法，除之，合问。

排鱼求数歌

三寸鱼儿九里沟，口尾相衔直到头。试问鱼儿多少 数，请君对面说因由。

答曰：“五万四千个。”

法曰：“置九里，以每里三百六十步乘之，得三千二百 四十步；以每步五十寸乘之，得一十六万二千寸，以 每鱼长三寸为法”，除之，得鱼数合问。

推车问里歌

一人推车忙且苦，半径轮该尺九五。一日推转二万 遭，问君里数如何数。

答曰：“一百三十里。”

法曰：置半径轮一尺九寸五分，倍之，得三尺九寸，为 全径之数。以《周三》因之，得一百一十七寸，为一转之 数。却以二万遭乘之，得二百三十四万寸为实。另以 每里三百六十步，每步五尺，计五十寸乘之，得一万 八千寸为法。除之。合问：

迟疾求平。〈调寄《西江月》：〉

甲乙同时起步，其中甲快乙迟。甲行百步，且交立，乙 才六十步矣。使乙先行百步，甲行起步方追，不知几 步方追，及算得扬名《说伱》， 答曰：“二百五十步。”

法曰：置甲行百步，乘先行百步，得一万步为实。另以 甲行百步，减乙行六十步，馀四十步为法，除之，合问。

行程问日歌

三藏西天去取经，一去十万八千程。每日常行七十 五，问君几日得回程。

答曰：“一千四百四十日，计四年。”

法曰：置一十万零八千里，以每日行七十五里为法， 除之得日数，再以三百六十日除之，得年数，合问。

歌

“当年苏武去北边，不知去了几周年？分明记得天边 月，二百三十五番圆答曰：“一十九年”

法曰：置月圆二百三十五番，以每年十二月除之，得 一十九年，不尽七月，乃是闰月。合问。

歌

昨日街头干事毕，闲来税局门前立。见一客持三百 布，每匹必须税二尺。贴回铜钱六百文，收布一十五 半匹。不知每匹卖几何，只言“每匹长四十。”

答曰：“一贯二百文。”

《法》曰：置布三百匹，以税二尺乘之，得六百尺。另以收 布一十五匹半，以匹法四十尺乘之，得六百二十尺。 以减该税六百尺，馀得多税二十尺为法，以贴回钱 六百文为实，以法除之，得每尺价三十文。以乘每匹 长四十尺，得每匹价一贯二百文。合问。

鸡兔同笼”一条，前“《均输章》内已载，故不重述。

鹧鸪天

三足团鱼六眼龟，共同山下一深池。九十三足乱浮 水，一百二眼将人窥。或出没，往东西，倚栏观看不能 知。有人算得无差错，好酒重斟赠数杯。

《答》曰：“团鱼一十五个，龟一十二个。”

《解》曰：“以团鱼。”〈三足、二眼。〉龟：〈四足共九十三足六眼共一百二眼〉此乃托比兴也。

《法》曰：“置”〈三足二眼〉互。〈四足六眼〉互。〈九十三足一百二眼〉互乘先以三 足六眼乘，得一十八。以四足二眼乘，得八。以少减多， 馀一十为法。又以六眼乘九十三足，得五百五十八。 又以四足乘一百二眼，得四百零八。以少减多，馀一 百五十为实。以法除之，得团鱼一十五个；以三足乘 之，得足四十五；以减总足，馀四十八足。以龟四足除 之，得龟一十二个。《合问》：

西江月

甲、乙闻说牧放，二人暗里参详。甲云：“得乙九个羊，多 伱一倍之上。”乙说得甲九，只两家之数相当。二边闲 坐恼心肠，画地算了半晌。

答曰：“甲六十三只，乙四十五只。”

解曰：甲云借乙九只，共七十二，乙借与甲九，仍三十六，故曰“甲多乙一倍。” 乙云借甲九只，共五十四，甲仍五十四，故云“相当。”

法曰：甲羊添乙羊九个，多乙羊一倍者为二十分，却 减借乙羊九个为一分，净一十九分。另以乙羊添甲 九个，两家相当者为十分。内减借甲九个为一分，净 得九分。置甲一十九分，以九乘之，得一百七十一，又 以乙九分，以九乘之，得八十一，相减，馀九十，折半，得 乙羊四十五只。又以甲一百七十一，内减乙羊四十 五，馀一百二十六，折半，得甲羊六十三只。《合问》。〈原法置甲 七分乙五分各以九乘之亦得〉

凤栖梧

甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及 一百否？甲云：“所说无差谬，若得这般一群凑，再添半 群小半群，得伱一只来方凑，元机奥妙谁参透？” 答曰：“甲羊三十六只。”

《解题》甲原羊三十六只，为一群借一群亦三十六只，再借半群一十八只，又借小半群九只，又凑一只，共百只也。

法曰：置羊一百只，减乙羊一只，馀九十九只为实。并 群率原一群又一群，再凑得半群，即五分小半群即 二分半，共二群七分半，为法。除之，得甲原羊一群三 十六只，合问。

歌

今有程途二千七十八，人骑马七匹。言定十里轮转 骑，各人骑行怎得知？

答曰：人行一千六百五十里，骑马一千零五十里。 法曰：置程途二千七百里为实，以一十八人为法除 之，得每人一百五十里。以马七匹乘之，得骑马一千 零五十里。以减程途里数，馀得人行一千六百五十 里。合问。

歌

三人二日四升七，一十三口要粮吃。一年三百六十 日，借问该粮几多食。

答曰：“三十六石六斗六升。”

法曰：置今吃粮三百六十日，以乘一十三口，得四千 六百八十，又以原吃粮四升七合乘之，得二百一十 九石九斗六升为实。以原三人乘二日，得六为法，除 之合问。

歌

《诸葛统领》八员将，每将又分八个营，每营里面排八 阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八 队成。每队更该八个甲，每个甲头八个兵。

答曰：一千九百一十七万三千三百八十五人。 《法》曰：置总兵一，以八因之得将八员，又八因得营六 十四，又八因得阵五百一十二，又八因得先锋四千 零九十六人，又八因得旗头三万二千七百六十八 人，又八因得队长二十六万二千一百四十四人，又八因得甲二百零九万七千一百五十二人，又八因 得兵一千六百七十七万七千二百一十六人。除营 阵不作数，其总兵将先锋旗队甲兵并之，合问。

马杰曰：“以八八相因，得六十四，自乘，得数，又自乘，得数加总兵一，共得一千六百七十七万七千二百一十七人　。” 予据杰变用此法，差数二百馀万，改正之误也。

比如有钱一文，每日生利八文，问八日该生利并本 一文，问共若干？

答曰：“一千六百七十七万七千二百一十七文。” 法曰：置初日利八文自乘，得六十四文，又以六十四 文自乘，得四千零九十六文，又以四千零九十六自 乘，得一千六百七十七万七千二百一十六文，加本 钱一文。合问：

前《诸葛统兵》一问，出《吴氏九章》，因杰改正数差，反为不正，故设此问以明上意。

歌

“《一条竿子》一条索”，索比竿子长一托；折回索子却量 竿，却比竿子短一托。

答曰：“竿长一丈五尺，索长二丈。”

法曰：置倍短一托，得二托，并长一托，得竿三托，加长 一托，得索长四托。各以每托长五尺乘之，合问。

盈朒七

歌

隔墙听得客分银，不知人数，不知银“七两分之多，四 两；九两分之少半斤。”

答曰：“六人，银四十六两。”

法曰：置盈不足，以分七两互乘少八两，得五十六两。 另以分九两互乘多四两，得三十六两。并之，得九十 二两，为实。又以九两、七两相减，馀二两为法，除实，得 银四十六两。以多四两、少八两并，得一十二两，为人 实。以法二除之，得六人。合问。

浪淘沙

《昨日独看瓜》，因事来家，牧童盗去眼昏花。信步庙东 墙外过，听得争差十三俱分咱十五增加，每人十六 少十八，借问人瓜各有几何？先答：

《答》曰：“一十一人瓜，一百五十八个。”

法曰：并盈十五，不足十八，得三十三为实。以各十三 十六相减，馀三为法，除之得十一，以各得十六乘之， 得一百七十六，减不足十八，馀得瓜数。合问：

歌

我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七 客，一房九客一房空。

答曰：“房八间，客六十三人。”

法曰：置盈七客，以一房空九人乘之，得六十三；以九 客乘多七客，得六十三，并之，得一百二十六，为实。以 盈七客与不足九客相减，馀二为法，除之，得六十三 人；以减去多七客，馀五十六人，以每房七客除之，得 房八间。《合问》。

西江月

几个牧童闹耍，张家园内偷瓜。将来林下共分挐三 人，七枚便罢。分讫，剩馀一个，内有同人兜搭，四人九 个又分挐，又馀两个厮打。

《答》曰：“一十二人瓜，二十九个。”

《法》曰：“置两盈。”〈四人　三人〉互。〈九个　七个〉三人乘九个，得二十七； 四人乘七个，得二十八个，并之，得五十五个。加两盈 数三个，共五十八个，折半，得瓜二十九个。以三四相 乘，得一十二人。《合问》。

歌

牧童分杏各争竞，不知人数不知杏。三人五个多十 枚，四人八枚两个剩。

答曰：“二十四人，杏五十枚。”

法曰：置两盈，以三人互乘八枚，得二十四。以四人互 乘五个，得二十。以少减多，馀四为法。又以三人、四人 相乘，得一十二为实。却以多十枚减剩二个，馀八枚 为法，乘得九十六为实。又以前法四除之，得二十四 人。另以盈一十乘二十四，得二百四十人。盈二乘二 十，得四十。以少减多，馀二百为杏实。以法四除之，得 杏五十枚，《合问》。

歌

今有粮长犒劳夫，不分老幼唱名呼，“每人七个少三 个，五个却少四十五。”

答曰：“二十一人，钱一百五十文。”

《法》曰：“置两不足。”〈七文五文〉互。〈少三个少四十五个〉两不足相减， 馀四十二，为实。两分率七文，五文相减，馀二文为法。 除实四十二，得二十一，却以人分七文乘之，得一百 四十七，加不足三，得钱。合问：

歌

林下收童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十 四，每人八竿恰齐足。

答曰：“七人竹五十六竿法曰：置盈适足以多，十四为实，以分六竿，八竿相减， 馀二为法，除之，得七人，以适足八竿乘之，得竹五十 六竿。合问。

歌

隔墙听得客分绫，不知绫数不知人。每人六疋少六 疋，每人四疋恰相停。

答曰：“三人绫一十二疋。”

《法》曰：“置”〈不足适足〉以不足六疋为实，以分绫六疋，四疋相 减，馀二为法，除之，得三人，以适足四疋乘之，得绫一 十二疋。合问。

歌

今携一壶酒，游春郊外走，逢朋添一倍，入店饮斗九 相逄三处店，饮尽壶中酒，试问能算士，如何知原有？ 答曰：“原酒一斗六升六合二勺五抄。”

法曰：置三处倍饮，列一倍二、二倍四，并之，得七率，为 法；以乘一斗九升，得一石三斗三升，折半三遭，得原 酒合问。

又法置一斗九升并倍酒率七乘之，为实。另以倍酒 率七，加原酒率一，共得八，为法。除之亦得。　若要知 三处饮尽者，置原酒一斗六升六合二勺五抄，倍之 得三斗三升二合五勺，除第一处饮酒一斗九升，馀 一斗四升二合五勺，又倍之得二斗八升五合，除第 二处饮一斗九升，馀九升五合，倍之得一斗九升，是 第三处饮尽也。

原吴氏《用盈不足法》，今因其繁冗，故不录。

歌

昨日沽酒探亲朋，路远迢遥有四程。行过一程添一 倍，却被安童盗六升。行到亲家门里面，半点全无在 酒瓶。借问高明能算者，几何原酒要“分明。”

答曰：“原酒五升六合二勺五抄。”

《法》曰：“置四处，倍饮列。”〈一倍二　二倍四　四倍八〉并之，得一，十五 率为法，乘盗六升，得九斗，折半四遭，得原酒五升六 合二勺五抄，合问。

又法：置盗六升，以并《倍酒率》十五乘之，得九升为实。 以倍《酒率》十五加原酒一，共十六为法，除之亦得。 若以原酒倍饮四次，即知酒尽也。

西江月

待客携壶沽酒，不知壶内金波，逢人添倍。又相和，共 饮，斗半方可。添饮还经五处，壶中酒尽无多。要知原 酒无差讹，什么法儿方可。

答曰：原酒一斗四升五合三勺一抄二撮五圭。 法曰“置五处，恰饮列。”〈一　二　四　八　十六〉并之，得三十一，为 法。以乘一斗五升，得四石六斗五升，折半五遭，即得 原酒数。

又法：置饮一斗五升，以并《倍酒率》三十一乘之，得四 石六斗五升为实。以《倍酒率》三十一加原酒率一，共 三十二为法，除之亦得。　若以原酒倍之，除饮去一 斗五升，馀倍五次，得四斗五升，即知酒尽也。

歌

本利年年倍，债主催速还，一年取五斗，三年本利完。 答曰：“原本四斗三升七合五勺。”

《法》曰：“置三年本利、平列。”〈一倍二　二倍四〉共七率，乘“五斗”，得三 石。五斗折半，三遭合问。

又法置五斗，以七乘八除，亦得。

已前五款，原用“盈不足法” ，因繁冗删去不录。

鹧鸪天

百兔纵横走入营，几多男女𩰚来争。一人一个难拿 尽，四只三人始得停。来往聚，闹纵横，各人捉得往家 行。英贤如果能明算，多少人家甚法评。

答曰：“七十五人。”

法曰：置百兔为实，以四只归之，得二十五，却以三人 因之，《合问》。

自前问三处、四处、五处倍饮，并三年倍利还债，俱是原本一，初倍得利一，又倍得利二，再倍得利四，并其倍利倍饮乘饮酒为实，另以倍利加原本一，为法除之，得原本原酒也。

方程八

歌

今有布绢三十疋，共卖价钞五百七。四疋绢价九十 贯，三疋布价该五十。欲问绢布各几何，价钞各该分 端的。若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑。

答曰：“绢一十二疋，该钞二百七十贯；布一十八疋， 该钞三百贯。”

法曰：“列所问数。”

价。〈九十〉为法　价。〈五十〉　共。〈五百七十〉

绢：〈四疋〉　〈三疋〉得。〈二百七十〉　共。〈三十疋〉得。〈二千七百〉 先以右行价九十贯为法，遍乘左行中、下，得数却以 左行绢四为法，复遍乘右行中价五十，得二百，减左 行二百七十，馀七十为法。又以左四遍乘右行下，共 价五百七十，得二千二百八十，减左行二千七百，馀 四百二十，为实。以法除之，得六，为错综之数。以布三疋乘之，得布一十八疋。以减总绢布三十疋，馀得绢 一十二疋；布十八，以价五十乘之，得九百贯；以三疋 除之，得三百贯；绢十二，以绢四疋除之，得三，以价九 十贯乘之，得二百七十贯。《合问》。

西江月

甲借乙家七砚，还他三管毛锥，贴钱四百整，八十恰 好齐同了毕。丙却借乙九笔，还他三个端溪，一百八 十贴乙齐二色价该各几。

答曰：“笔价五十文，砚价九十文。”

法曰：“列所问数。”

先以右行砚正七为法，遍乘左行、中、下，得数。却以左 行砚正三为法，复遍乘右行、中笔负三，得九。同减左 行笔负六十三，馀得笔负五十四为法。价正四百八 十，得正一千四百四十，异加左行价负一千二百六 十，共得二千七百为实。以法除之，得笔价五十文。右 行价正四百八十里，加笔负三，价一百五十，共得六 百三十，以“砚七”除之，得砚价九十文，《合问》。

西江月

七钏九钗成器，钏子分两重多。九两四钱是相和。仔 细与公说过。二物相交，一只秤之适等，无那不能算 得是喽啰。二人却来问我。

答曰：“钏一只，重七钱；钗一只，重五钱。”

《法》曰：此问七钏九钗，共金九两四钱，交易其一，秤之 适等，乃六钏一钗重四两七钱，八钗一钏重四两七 钱，排列。〈六钏　一钗　重四两七钱　一钗　八钏　重四两七钱〉先以右行“六钏” 为法，遍乘左行中、下，得数，钏四十八，重二十八两二 钱。次以左行一钗为法，遍乘右行中一钗，得一，减左 行四十八，馀四十七为法。下重四两七钱，得四两七 钱。减左行二十八两二钱，馀二十三两五钱为实。以 法除之，得钗重五钱。右行重四两七钱，减一钗重五 钱，馀四两二钱。以钏六只除之，得钏重七钱，合问。

西江月

甲乙二人沽酒，不知谁少谁多，乙钞少半，甲相和二 百无零堪可。乙得甲钱，中半亦然，二百无那。英贤，算 得的无讹，将甚法儿方可。

答曰：“甲钱一百六十文，乙钱一百二十文。”

法曰：“列所问数。”〈甲二八一百六十　乙三四一百二十〉故。〈甲二分之一钱二百　乙三分之一钱二百〉 先以二分互乘二百，得四百；次以三分互乘二百，得 六百。以少减多，馀二百为实。以甲二分、乙三分并之， 得五分为法；除之，得四十，以乙三乘之，得乙该钱一 百二十文；以减原钱二百，馀八十，以甲二分乘之，得 甲该钱一百六十文。《合问》。

解曰：“甲借一半凑乙，乃八十并之为二百也。”

句股九

西江月

田中有一枯柱，丈六全没枝梢，尖头一马系难牢，吃 尽田中禾稻四分五釐，田地团团吃一周遭索长几 许？算偿招，不算难赔多少。

答曰：“三丈四尺。”

法曰：此为句股求弦。置四分五釐，以亩法二百四十 通之，得一百零八步，四因，得四百三十一。用三归之， 得一百四十四，为实。以开平方法除之，上商一十自 乘，得一百除实，馀实四十四步。以初商一十倍作二 十，为方法。次商二步，呼二二除四十，又呼二二除四 步，恰尽，得一十二步，为全径步。折半得六步，乃枯柱 系马之处。以每步五尺乘之，得三十尺，为股。自乘，得 九百尺。另以一十六尺为句，自乘，得二百五十六尺。 并之，得一千一百五十六，为实。以平方开之，初商三 十自乘，得九百除实，馀实二百五十六。以初商三十 倍，作六十为方法。次商四尺，呼四六除二百四十，又 呼四四除一十六，恰尽，得三十四尺，为索长，合问：

歌

二丈木长三尺围，葛生其下绕缠之。徐徐缠绕七周 遍，葛梢却与木梢齐。试问高明能算者，葛长多少请 君题。

答曰：“二丈九尺。”

法曰：置木围三尺，与周七相乘，得二十一，为股，自乘， 得四百四十一尺，以木长二十足为句，自乘，得四百 尺，并之，得八百四十一尺，为实。用开平方法除之，得 二丈九尺。《合问》：

西江月

三月清明节气，蒙童𩰚放风筝，托量九十五尺，绳被 风括起空中，量得上下相应，七十六尺无零，纵横甚 法，问先生算之多少为平？

答曰：“五十七尺。”

法曰：此弦股求句法也。以绳斜长九十五尺，如弦自 乘，得九千零二十五尺。又绳头量至风筝上下相应 七十六尺，如股自乘，得五千七百七十六尺，以减弦 积，馀三千二百四十九尺为实。以《开平方法》除之，得句五十七尺为高。合问。

歌

池河八分下钓钩，鱼吞水底是根由。钩绳五十岸齐 并，使尽机关无法筹。纵横源流虽辨认，水深几尺数 难求。

答曰：“水深三十尺。”

法曰：置圆池八分，以亩法二四通之，得一百九十二 步。以四因三归，得圆积二百五十六步为实。以开平 方法除之，得圆池径一十六步。折半得八步。以每步 五尺乘之，得池半面如股四十尺自乘，得一千六百 尺。钩绳五十尺。如弦自乘，得二千五百尺，相减，馀九 百尺为实。以开平方法除之，得水深三十足为句。合 问。

西江月

今有坡田一段，西高东下，曾量十步五寸是斜长，南 北均阔六丈。欲要修为平壤，东增一丈新墙，不知几 许，请推详，平阔须教相当。

答曰：“得平地四分九釐五毫，阔九步九分。”

法曰：此如句弦求股。置斜弦十步，以每步五尺乘之， 得五十尺，加零五寸自乘，得二千五百五十尺零二 寸五分。以减句墙一十尺自乘，得一百尺，馀二千四 百五十足零二寸五分，为实。以开平方法除之，得股 四丈九尺五寸。以步法五尺除之，得阔九步九分。以 乘南北均阔一十二步，得平地一百一十八步八分。 以亩法二四除之，合问。〈南北均阔一十二步即六丈也〉

歌

八尺为股六尺句，内容圆径怎生求。有人识得如斯 妙，算学方为第一筹。

答曰：“内容圆径四尺。”

法曰：置句六尺，以股八尺相乘，得四十八尺。倍之，得 九十六尺，为实。另以句六尺自乘，得三十六尺；以股 八尺自乘，得六十四尺，相并，得一百尺。以开平方法 除之，得弦一十尺。加句六尺，股八尺，共二十四尺为 法。除实，得内容圆径四尺。合问。

歌

《六尺为句》九尺股，内容方面如何取。有人达得这元 机，便是高明算中举。

答曰：“《内容》方面三尺六寸。”

法曰：置句六尺，以股九尺乘之，得五十四尺为实。另 并句六尺，股九尺，共一十五尺为法。除之，得内容方 面三尺六寸。合问：

西江月

《平地秋千未起》。板绳离地一尺。送行二步恰竿齐五 尺。板高离地。才子佳人争蹴。终朝语笑欢戏。良工高 士请言知，借问索长有几。

答曰：“一丈四尺五寸。”

法曰：置送行二步，化为十尺，如句自乘，得一百尺，为 实。以股弦较离地五尺，减去原离地一尺，馀四尺为 法，除之，得二十五尺，加较四尺，共得圆径二十九尺。 折半得索长一丈四尺五寸。合问。

西江月

今有方池一所，每边丈二，无移中心。蒲长一根，肥出 水过于二尺，斜引蒲梢至岸，适然与岸方齐。请君明 算“更能推蒲长水深各几。”

答曰：“蒲长一丈，水深八尺。”

法曰：此股弦差也。置半池方六尺，如句自乘，得三十 六尺。以减股弦较出水二尺，自乘，得四尺，馀三十二 尺为实。倍出水二尺，得四尺为法。除之，得股水深八 尺。加出水二尺，即蒲长一丈。合问：

西江月

今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争 奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜 去恰方齐。请问“三色各几？”

答曰：“门高八尺，广六尺，竿长一丈。”

法曰：置句弦较横阔四，以股弦较竖不出二尺，相乘， 得八尺，倍之，得一十六尺，为弦和较积。用开平方法 除之，得弦和四尺。加股弦较二尺，得六尺，为句，即门 广。另以弦和较四尺倍之，得八尺，为股，即门高。又以 句六尺，加句较四尺，得竿长，即斜一丈。合问。

一法置门广如句，以多四尺为句弦较。门高如股，以 多二尺为股弦较。二数相乘得八尺，倍之，得一十六 尺，以平方法除之，得四尺，即弦和较。加多竖之二尺， 得门广六尺；加多广之四尺，得门高八尺。全加多广、 多竖共六尺，得竿长，即门斜十尺也。