钦定古今图书集成经济汇编乐律典

　第五十二卷目录

　律吕部汇考六

　　宋蔡沈律吕新书一〈序　黄钟第一　黄钟之实第二　黄钟生十一律

　　第三　十二律之实第四　变律第五　律生五声图第六　变声第七　八十四声图第八

　　　六十调图第九　候气第十〉

乐律典第五十二卷

律吕部汇考六

《宋蔡沈律吕新书》

一

《序》

古乐之亡久矣，然秦、汉之间去周未远，其器与声犹有存者，故其道虽不行于当世，而其为法犹未有异论也。迨于东汉之末，以接西晋之初，则已浸多说矣。历魏、周、齐、隋、唐、五季，论者愈多而法愈不定。爰及我朝，功成治定，理宜有作，建隆、皇祐、元丰之间，盖亦三致意焉，而和、胡、阮、李、范、马、刘、杨诸贤之议，终不能以“相一也。” 而况于崇、宣之季，奸谀之会，黥涅之馀，而能有以语夫天地之和哉？丁未南狩，今六十年，神人之愤，犹有未摅，是固不遑于稽古礼文之事，然学士大夫因仍简陋，遂无复以钟律为意者，则已甚矣。吾友建阳蔡君元定季通，当此之时，乃独心好其说而力求之，旁搜远取，巨细不捐，积之累年，乃若冥契。著书两卷，凡若干言，予尝得而读之，爱其明白而渊深，缜密而通畅，不为牵合附会之谈，而横斜曲直，如珠之不出于盘。其言虽多出于近世之所未讲，而实无一字不本于古人已试之成法。盖若黄钟围径之数，则汉斛之积分可考；寸以九分为法，则《淮南》、太史、小司马之说可推；五声二变之数，变律、半声之例，则杜氏之《通典》具焉。变宫、变征之不得为调，则孔氏之《礼疏》因亦可见。至于先求声气之元，而因律以生尺，则尢所谓卓然者。而亦班班杂见于两汉之制、蔡邕之说，与夫《国朝会要》以及程子、张子之言，顾读者不深考，其间虽或有得于此，而又不能无失于彼，是以晦蚀纷拏，“无复定论。大抵不拘挛于习熟见闻之近，即肆其胸臆，妄为穿穴，而无所据依。季通乃能奋其独见，超然远览，爬梳剔抉，参互考寻，用其半生之力，以至于一旦豁然而融会贯通焉，斯亦可谓勤矣。及其著论，则又能推原本根，比次条理，撮取机要，阐究精微，不为浮词滥说以汨乱于其间，亦庶几乎得《书》之体者。” 予谓国家行且平定中原，以开中天之运，必将审音协律，以谐神人。当是之时，受诏典领之臣能得此书而奏之，则东京郊庙之乐，将不待公孙述之瞽师而后备，而参摹《四分》之书，亦无待乎后世之子云而后知好之矣。抑季通之为此书，辞约理明，初非难读，而读之者往往未及终篇，辄已欠伸思睡，固无由了其归趣。独以予之顽钝不敏，乃能熟复数过，而仅得其指意之仿佛。季通于是亦许予为能知己志者，故属予以序引，而予不得辞焉。季通更欲均调节族，被之管弦，别为乐书，以究其业。而又以其馀力，发挥武侯《六十四陈》之图，绪正邵氏《皇极经世》之历，以大备乎一家之言，其用意亦健矣。予虽老病，倘及见之，则亦岂非千古之一快也哉！朱熹《序》。

朱子曰：蔡神与名发，博学强记，高简廓落，不能与世俗相俯仰。因去游四方，闻见益广，遂于《易》象、天文、地理、三代之说，无所不通，而皆能订其得失。杜门扫轨，专以读书教子为事。季通生十年，即使读《西铭》。稍长，则示以程氏《语录》、邵氏《经世》、张氏《正蒙》，而语之曰：“此孔、孟正脉也。” 季通承厥志，学行之馀，尢邃律历，讨论定着，遂成一家之言，使千古之误，扩然一新，而诉其源流，皆有成法，是亦足以显其亲于无穷矣　。西山真氏曰：先生尝特召，坚辞不起，世谓之聘君。聘君以师事文公，而文公顾曰：“季通，吾老友也。” 凡性与天道之妙，他弟子不得闻者，必以语季通焉。异篇奥传，微辞邃旨，先令讨究，而后亲折衷之。先生于经无不通，尝语三子曰：“渊，汝宜绍吾《易》学” ；曰：“沈，汝宜演吾《皇极数》” ，而《春秋》则以属知方焉　。律吕书，盖朱、蔡师弟子相与成之者。朱子《与西山书》云：“但用古书古语或注疏，而以己意附其下方。” 甚简约而极周尽，学者一览，可得梗概。其他准说之泛滥，旁正之异同，不尽载也。

《律吕本原》

《黄钟第一〈以汉志〉》

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长九寸，空围九分，积八百一十分。

按“天地之数，始于一，终于十，其一三五七九为阳，九 者阳之成也；其二四六八十为阴，十者阴之成也。”“黄 钟者，阳声之始，阳气之动也，故其数九。分寸之数，具于声气之元，不可得而见，及断竹为管，吹之而声和， 候之而气应，而后数始形焉。均其长，得九寸；审其围， 得九分；积其实，得八百一十分。长九寸，围九分，积八” 百一十分，是为“律本。”度量权衡于是而受法，《十一律》 由是而损益焉。

算法：置八百一十分，分作九重，每重得九分。《圆田术》三分益一，得一十二，以开方法除之，得三分四釐六毫强，为实径之数。不尽二毫八丝四忽。今求圆积之数，以径三分四釐六毫自相乘，得十一分九釐七毫一丝六忽，加以开方不尽之数二毫八丝四忽得一十二分，以管长九十分乘之，得一千八十分，为方积之数，四分取三为圆积，得八百一十分　。朱子曰：“本原第一章围径之数，此是最大节目。”又曰：“古者只说空围九分，不说径三分，盖不啻三分，犹有奇也　。”彭鲁斋曰：“黄钟律管有周，有径，有面羃，有空围内积，有从长。如《史记》论从长，《律历志》论从长及积，东汉郑氏注《月令》论羃，东汉蔡氏《月令章句》论从长”，皆不易之论。独周径之说，汉以前俱无明文，《汉律历志》开端未竟，东汉蔡氏始创为径三分之说，晋孟氏以后诸儒续为径三分、围九分之说，宋胡氏、蔡氏又为径三分四釐六毫、围十分三釐八毫之说。然考之古方围周径羃积率，皆未有合。尝依东汉蔡氏所言，径三分以九章少广内祖氏密率乘除，止得空围内面羃七分七釐奇，乃少一分九十二釐奇。空围内积实止得六百三十六分奇，乃少一百七十三分奇。如此则黄钟之管无乃太狭。盖黄钟空积忽微，若径内差一忽，即面羃及积所差忽数至多。此东汉蔡氏之说所以不合也。晋孟氏诸儒，言径三分，围九分，又用径一围三之法，虽是古率，然古人大约以此圆田。若以密率推之，径一则围三有奇，假如径七则围当二十有二。今依孟氏所言，径三分则围长当九分四釐二毫一秒，强不但止于九分也。若依九分围长之数，则径当止有二分八釐六毫二秒六忽，强又不及三分也。此晋孟氏诸儒之说，所以不合也。宋胡氏不主径三围九之说，大意疑其管狭耳。然所言径长三分四釐六毫，围长十分三釐八毫，亦用径一围三之率。若依所言三分四釐六毫径，当得围长十分八釐七毫六秒二忽，强不但止于十分三釐八毫也。若依十分三釐八毫围长之数，则径止得三分三釐奇，又不及三分四釐六毫也。此宋胡氏之说所以不合也。宋蔡氏说径围分数与胡氏同。至于算法，用圆田术，三分益一，得一十二，开方除之，求径，又以径相乘，以管长乘之，用“三分益一、四分退一”之法求羃积。今姑依其说，以九方分平置。�又三分益一，以三方分割置于九方分之外，如此。�“共积十二方，分其从横可得三分四釐六毫，强不尽二毫八丝四忽。”的如蔡氏之说，但依此径以密率相乘，则空围内面羃，不但止得九方分，乃得九方分零四十釐六十毫五十七秒十四忽奇；空围内积实，不但止得八百二十分，乃得八百四十六分五百四十五釐一百四十二秒六百忽奇。如此，则黄钟之管，无“乃太大。细考之，方内之圆，所占者不止四分三，圆外之方，所当退者又不及四分一。以此知三分益一，四分退一，乃虚加实退，算家大约之法。此宋蔡氏之说，所以又不能以尽合也。今欲求黄钟律管从长、周径羃积的实定数者，须依蔡氏多截管候气之说，又依祖氏冲之密率乘除方可。”盖祖冲之乃古今算家之最，而蔡氏多截管候气之说，实得造律本原，其说有前人未发者。今宜依此说，先多截竹以拟黄钟之管，或短或长，长短之内，每差纤微，各为一管，悉以此诸管埋地中，俟冬至时验之，若诸管之中有气应者，即取其管而计之，知此管合于造化自然，非人力可为。即以此管分作九寸，“寸作九分，分作九釐，釐作九毫，毫作九秒，秒作九忽，以合八十一终天之数，及元气运行，自子至亥，得十七万七千一百四十七之数。”凡用此管三分损益，上下相生由此。又取此管九寸，寸作十分，分作十釐，釐作十毫，毫作十秒，秒作十忽，以合天地五位终于十之数。而以十乘八十一，得八百一十分。以八百一十分配九十分管，知此管长九十分空围中容八百一十分，即十分管长空围中容九十分，一分管长空围中容九分。凡求度量权衡由此，乃以此管面空围中所容九分，以《平方羃法》推之，知一分有百釐，釐有百毫，毫有百秒，秒有百忽。积而计之，一平方分通有面羃一万万忽，九平方分通有面羃九万万忽。乃以此九万万忽，依《算经少广章》所载宋祖冲之密率乘除，得圆周长的计十分六釐三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二。又以圆周求径，计三分三釐八毫四秒四忽万分忽之五千六

百四十五。又以半径半周相乘，仍得九万万忽，内一忽弱，通得面羃九平方分也。既以周径相乘，复得面羃，如此，则黄钟之广与长，及空围内积实皆可计矣。故面羃计九方分，深一分管，则空围内当有九立方分；深九十分管计九寸，则空围内当有八百一十立方分。此即黄钟一管之实，其数与天地造化无不相“合，此算法所以成也。”算法既成之后，或以竹，或以铜别为之，依其长各作八十一分，以为《十二律相生》之法。又依其长作九十分，乃以九十分之分，计三分三釐八毫四秒四忽、万分忽之五千六百四十五，以合孔径。如此则圆长面羃与夫空围内积，自然无不谐会。特径数自八毫以下非可细分，而算法积忽与秒，不容不然。〈《集览》：〉祖冲之按《南宋书》：“冲之，范阳道人。祖台之，晋侍中。冲之博学，明历法，造指南车欹器，有巧思入神之妙。宋初累官长水校尉。所著有《老庄论语》《孝经解》数十篇行世。”〈补注〉长九寸，九十分长也。每长一分，空围内积实九分，长九十分，内积实八百一十分也。黄钟长九寸，空围九分，积八百一十分；林钟长六寸，亦空围九分，积五百四十分。《太簇》长八寸，亦空围九分，积七百三十分：盖长短异而围径同也。馀仿此。黄钟之管长九寸，既可以三分损益生十一律之度，则黄钟之空积八百二十分，亦可以三分损益生十一律之量；其重十二铢，亦可以三分损益生十一律之权衡也。按本注“吹之而声和，候之而气应”，是以声气并言。而或者以为黄钟一管，但以候气，气应而后数始形，数形以之制器，而后声可得，非谓十二律就可以吹之有声也。

《黄钟之实第二〈以淮南子汉前志定其寸分厘毫丝之法以律书〉》

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子一，　　　　　　　　　　　　黄钟之律。 丑三，　　　　　　　　　　　　为《丝法》。

寅九　　　　　　　　　　　　为寸数。

卯二十七　　　　　　　　　　为毫法

辰八十一　　　　　　　　　　为分数。

巳：二百四十三　　　　　　　　为釐法。

午七百二十九　　　　　　　　为釐数。

未二千一百八十七，　　　　　　为分法。

申：六千五百六十一，　　　　　　为毫数。

酉一万九千六百八十三，　　　　为“寸法。”

戌五万九千囗囗四十九　　　　为丝数。

“亥一十七万七千一百四十七，　　黄钟之实。” 按黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰，得一 十七万七千一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所 得之数，在子寅辰午申戌六阳辰，为黄钟寸分厘毫 丝之数。

子为“黄钟之律” ，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九釐，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝。

在亥酉未巳卯丑六阴辰，为黄钟寸分厘毫丝之法。

亥为“黄钟之实” ，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为釐，卯之二十七为毫，丑之三为丝。

其寸、分、厘毫丝之法，皆用九数。故“九丝为毫，九毫为 釐，九釐为分，九分为寸为黄钟。”盖黄钟之实一十七 万七千一百四十七之数，以三约之为丝者五万九 千四十九，以二十七约之为毫者六千五百六十一， 以二百四十三约之为釐者七百二十九，以二千一 百八十七约之为分者八十一，以一万九千六百八 “十三，约之为寸者九，由是三分损益以生十一律焉。” 或曰：“径围之分以十为法，而相生之分厘毫丝以九 为法，何也？”曰：“以十为法者，天地之全数也。以九为法 者，因三分损益而立也。全数者即十而取九，相生者 约十而为九。即十而取九者，体之所以立。约十而为 九者，用之所以行。体者所以定中声”，用者，所以生《十 一律》也。

或问：“算到十七万有馀之数当何用？”朱子曰：“以定管之长短而出是声。”大扺，考究其法是如此。〈《补注》：〉海虞桑氏悦曰：“子一为黄钟之律，三其一则丑为三。三其三则寅为九。三其九则卯为二十七。三其二十七则辰为八十一。三其八十一，则巳为二百四十三。三其二百四十三则午为七百二十九。三其七百二十九则未为二千一百八十七。三其二千一百八十七则申为六千五百六十一。三其六千五百六十一，则酉为一万九千六百八十三；三其一万九千六百八十三，则戌为五万九千四十九；三其五万九千四十九，则亥为一十七万七千一百四十七。以是数为黄钟之实，而定管之短长。以三为丝，故有五万九千四十九丝；以二十七为毫，故有六千五百六十一毫；以二百四十三为釐，故有七百二十”九釐。以二千八百八十七为分，故有八十一分；以一万九千六百八十三为寸，故有九

寸。合而观之，积丝毫厘分之长为寸皆九，合丝毫厘分寸之数，皆一十七万七千一百四十七，不容一毫私意牵合者也。刘氏曰：“常数用十，律吕之数用九。九丝为毫，九毫为釐，九釐为分，九分为寸。” 黄钟之数，历十二辰至亥，得十七万七千一百四十七，以丑三约之，为丝者五万四千九十九，戌之数也。以卯二十七“约之为毫者六千五百六十一，申之数也；以巳二百四十三约之为釐者七百二十九，午之数也；以未二千一百八十七约之为分者八十一，辰之数也；以酉一万九千六百八十三约之为寸者九，寅之数也。盖在阳辰顺而左行” ，为寸分厘毫丝之数；在阴辰逆而右行，为起寸分厘毫丝之法。

《黄钟生十一律》

第三

“子。”一分

一为九寸

丑三，分二。

一为三寸

寅九分《八》。

一为一寸

卯二十七，分十六。

三为一寸　，一为三分。

辰八十一分六十四。

九为一寸　，一为一分。

巳，二百四十三分。一百二十八。

二十七为一寸　，三为一分　，一为三釐。

午七百二十九分五百一十二。

八十一为一寸　，九为一寸　，一为一厘。

未：二千一百八十七分一千二十四。

二百四十三为一寸　，二十七为一分　，三为一厘　，一为三毫。

申，六千五百六十一分四千九十六。

七百二十九为一寸　，八十一为一分　，九为一厘　，一为一毫。

酉，一万九千六百八十三分八千一百九十二。

二千一百八十七为一寸　，二百四十三为一分，二十七为一厘　，三为一毫　，一为三丝。

戌，五万九千四十九分三万二千七百六十八。

六千五百六十一为一寸　，七百二十九为一分，八十一为一厘　，九为一毫　，一为一丝。

亥，一十七万七千一百四十七分六万五千五百三。

十六

一万九千六百八十三为一寸　，二千一百八十七为一分　，二百四十三为一厘　，二十七为一毫　，三为一丝　，一为二忽。

按“黄钟生十一律，子寅、辰午申、戌六阳辰皆下生，丑 卯、巳、未、酉、亥六阴辰皆上生”，其上以三历十二辰者， 皆黄钟之全数，其下阴数以倍者。〈即算法倍其实〉“三分本律” 而损其一也，阳数以四者，〈即算法四其实〉“三分本律而增其 一也。”六阳辰当位自得，六阴辰则居其冲。其林钟、南 吕、应钟三吕在阴，无所增损。其大吕、夹钟、仲吕、三吕 在阳，则用倍数，方与十二月之气相应。盖阴之从阳， 自然之理也。

习轩吴氏曰：“子一分者，数起子得一也。丑三分二者，三其法为三分，两其实为二也。寅九分八者三其法为九分，四其实为八也。以下生者，倍其实。以上生者，四其实也。其法以子析为三分，每分五万九千四十九。丑于三分之中得其二，为十一万八千九十八，积六寸为林钟，比黄钟之实三分损一，下生林钟也。以”子一析为九分，每分得万九千六百八十三，寅于九分之中得其八，为十五万七千四百六十四，积八寸为太簇，此林钟之实三分益一，上生太簇也。自卯而下仿此　。黄瑞节曰：“其上云者，十二辰分字以上，如子一分、丑三分是也。其下云者，十二辰分字以下，如二八十六是也。其上为黄钟全数，其下”为损益相生之数　。此损益数，即下章十二律实数。吴氏《算法》全载图类，今举二律起例附于此　：子为阳辰，黄钟当位自得也。丑为未冲，林钟以未而居丑，居其冲也。他仿此。冲一作衡，馀载后辩证。〈《补注》：〉子一分，一为九寸，为黄钟之律也。三其一则丑为三分，倍其一为二分，一为三寸，二为六寸，为林钟之律也。三其二则寅为九分，四其二为八分，一为一寸，八为八寸，为太簇之律也。三其九则卯为二十七分，倍其八为十六分，三为一寸，以十五为五寸，馀一为三分，共五寸三分，为南吕之律也。三其二十七则辰为八十一分。四其十六为六十四分，九为一寸。以六十三为七寸，馀一为一分。共七寸一分，为姑洗之律也。三其八十一，则已为二百四十三分。倍其六十四为二百一十八分。二十七为一寸，以一百八为四寸。馀二十分三为一分，以十八为六分，又馀二分一为三

釐，二为六毫，共四寸六分六釐，为应钟之律也。三其二百四十三，则午为七百二十九分，四其一百二十八为五百一十二分，八十一为一寸。以四百八十六为六寸，馀二十六分九为一分，以十八为二分，又馀八分一为一厘，八为八釐，共六寸二分八毫，为蕤宾之律也。下未一千二十四止，得大吕半律之数。酉八千一百九十二，止得夹钟半律之数；亥六万五千五百三十六，止得仲吕半律之数。不然则阴反以四，而阳反以倍矣。其上以三历十二辰者，皆黄钟之全数。假令子一分，则一为九寸，是黄钟之全数；丑三分二，则一为三寸。三三如九，亦是黄钟之九寸。三分取其二，故林钟得六寸；寅九分八，则一为一寸，亦是黄钟之九寸九分。取其八，故太簇得八寸。卯二十七分十六则三为一寸，亦是黄钟之九寸二十七分，取其十六，故南吕五寸三分。辰八十二分六十四则九为一寸，亦是黄钟之九寸八十二分。取其六十四，故姑洗七寸一分。其下阴数以倍，阳数以四者，假令黄钟九寸下生，则倍其实为一尺八寸；以三分之，每分六寸而得其一为林钟，即三分黄钟九寸而损其一者也。林钟六寸上生，则四其实为二尺四寸；以三分之，每分八寸而得其一为太簇，即三分林钟六寸而增其一者也。馀仿此。其候气之法，六阳辰当位自得，子居子而寅居寅也。六阴辰则居其冲，丑则居未而卯则居酉也。其林钟在未，南吕在酉，应钟在亥，为阴，原无半数，故无所增损。其大吕在丑，夹钟在卯，仲吕在巳，为阳。吹之则用半数，方其声和；候之则用一数，方其气应。此特其《本注》之意耳。究其实，十二律自午以下则重上生，而大吕、夹钟、仲吕仍用全数。而候气之时，则十二律皆用全数，而旋相为宫，则十二律皆有“半数” ，非此三律为然也。

《十二律之实》

第四

子：黄钟，十七万七千一百四十七。

全九寸　半无

“丑”林钟十一万八千囗囗九十八

全六寸　半，三寸不用。

寅太簇，十五万七千四百六十四。

《全》八寸　。半四寸。

《卯南吕》十，囗万四千九百七十六。

全五寸三分　，半二寸六分不用。

辰姑洗，十三万九千九百六十八。

《全》七寸一分　，半三寸五分。

巳，应钟九万三千三百一十二。

全四寸六分六釐　，半二寸三分三釐不用。

午，蕤宾十二万四千四百一十六。

《全》六寸二分八釐　，半三寸一分四釐。

“未，大吕”，十六万五千八百八十八。

全八寸三分七釐六毫　，半四寸一分八釐三毫。

申：《夷则》十一万，囗囗五百九十二。

全五寸五分五釐一毫　，半二寸七分二釐五毫。

酉，夹钟，十四万七千四百五十六。

全七寸四分三釐七毫三丝　，半三寸六分六釐三毫六丝。

戌：无射：九万八千三百囗囗四。

全四寸八分八釐四毫八丝　，半二寸四分四釐三毫四丝。

亥“仲吕”十三万一千囗囗七十二。

全六寸五分八釐三毫四丝六忽；〈馀二算。〉

半三寸二分八釐六毫二丝二忽。

按：十二律之实，约以寸法，则黄钟、林钟、太簇得全寸。 约以分法，则南吕、姑洗得全分。约以釐法，则应钟、蕤 宾得全釐。约以毫法，则大吕、夷则得全毫。约以丝法， 则夹钟、无射得全丝。至仲吕之实十三万一千七十 二，以三分之，不尽二算，其数不行。此律之所以止于 “十二”也。

〈补注〉海虞桑氏悦曰：“或问黄钟之数一十七万七千一百四十七。林钟得其二则损五万九千四十九，故林钟之实十一万八千九十八。《太簇》又倍其一则益三万九千三百六十，故太簇之实十五万七千四百六十四。南吕又得其二则损五万九千四百八十八，故南吕之实十万四千九百七十六。姑洗又倍其一则益”三万四千九百九十二，故姑洗之实十三万九千九百六十八。《应钟》又得其二，则损四万六千六百五十六，故应钟之实九万三千三百一十二。《蕤宾》又倍其一，则益三万一千一百十四，故蕤宾之实十二万四千四百一十六。“由是而上生大吕”，当损四万一千四百七十二而为大吕八万二千九百四十四可也，何反益《蕤宾》之一，而得十六万五千八百八十八之数乎？先儒云：“黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌六阳辰皆下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六阴辰皆上生。”阴数倍其实，阳数四其

实，大吕当未未阴辰也，而四其实可乎？损之而益，益之而损，此律之所由成也。蕤宾既益应钟之一，大吕又益蕤宾之一，可乎？曰：“朱子云：‘十二管隔八相生，自黄钟之管阳皆下生，阴皆上生，自蕤宾之管阴反下生，阳反上生，以象天地之气也。若拘占法，而以阳必下生，阴必上生，则以之候气而气不应，以之作乐而’” 乐不和。皆郑氏重上生法，所以为不易之论也。学者以是求之，则有得矣。惜乎西山当时失载其说，不能不使初学之疑也。范氏曰：“从子至巳，阳生阴退，故律生吕，言下生、吕生律言上生；从午至亥，阴升阳退，故律生吕，言上生、吕生律言下生　。” 《长乐》陈氏曰：“黄钟、太簇、姑洗，损阳以生阴；林钟、南吕、应钟，益阴以生阳。何则？黄钟至姑洗，阳之阳也；林钟至应钟，阴之阴也。阳之阳，阴之阴，则阳息阴消之时，故阳常下生而有馀，阴常上生而不足；蕤宾至无射，则阴之阳也。大吕至仲吕，则阳之阴也。阴之阳，阳之阴，则阳消阴息之时，故阳常上生而不足，阴常下生而有馀。” 临江梁氏寅曰：“《班志》隔八相生，一” 下一上，则终于仲吕，其长止三寸三分有奇。京房之法，则至蕤宾重上生下，五下六上，终于仲吕，其长六寸六分有奇。若仲吕止三寸三分有奇，则虽三分益一，不能复生黄钟之律，故用六寸六分，则三分益一而可以复生黄钟也。

《变律》

第五

黄钟，十七万四千七百六十二。〈小分四百八十六〉

全八寸七分八釐一毫六丝二忽，不用。

半四寸三分八釐五毫三丝一忽。

林钟十一万六千五百囗囗八〈小分三百二十四〉

全五寸八分二釐四毫一丝一忽三初；

半二寸八分五釐六毫五丝六初。

太簇，十五万五千三百四十四。〈小分四百三十二〉

全七寸八分二毫四丝四忽七初不用；

半三寸八分四釐五毫六丝六忽八初。

南吕十。囗万三千五百六十三。〈小分四十五〉

《全》五寸二分三釐一毫六丝一初六秒。

半二寸五分六釐七丝四忽五初三秒。

姑洗：十三万八千，囗囗八十四。〈小分六十〉

全七寸一厘二毫二丝一初二秒不用。

半三寸四分五釐一毫一丝一初一秒。

应钟九万二千。囗囗五十六。〈小分四十〉

全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒；〈馀算。〉半二寸三分三毫六丝六忽六秒。强不用。

按：“十二律各自为宫，以生五声二变。其黄钟、林钟、太 簇、南吕、姑洗、应钟六律，则能具足。至蕤宾、大吕、夷则、 夹钟、无射、仲吕六律，则取黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、 应钟六律”之声，少下不和，故有变律。变律者，其声近 正，而少高于正律也。然仲吕之实一十三万一千，囗 囗七十二，以三分之，不尽二算。既不可行，当有以通 之。律当变者有六，故置一而六三之，得七百二十九。 以七百二十九因仲吕之实十三万一千囗囗七十 二，为九千五百五十五万一千四百八十八。三分益 一，再生黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律。又以七 百二十九归之，以从十二律之数，纪其馀分，以为忽 秒，然后洪纤高下，不相夺伦。至应钟之实六千七百 一十囗万八千八百六十四，以三分之又不尽一，算 数又不可行，此变律之所以止于六也。变律非正律， 故“不为宫”也。

朱子曰：“自黄钟至仲吕，相生之道至是穷矣。遂复变而上生黄钟之宫。再生之黄钟，不及九寸，只是八寸有馀。然黄钟，君象也，非诸宫之所能役，故虚其正而不复用。所用即再生之变者，就再生之变，又缺其半。所谓缺其半者，盖若大吕为宫，黄钟为变宫时，黄钟管最长，所以只得用其半，其馀宫亦仿此。”〈《补注》：〉按：本注谓“黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律则能具足。如黄钟为宫，则林钟为征，太簇为商，南吕为羽，姑洗为角，应钟为变宫，蕤宾为变征；林钟为宫，则太簇为征，南吕为商，姑洗为羽，应钟为角，蕤宾为变宫，大吕为变征。十二律中，自能具足五声二变。至蕤宾为宫，未免反取黄钟为变征；大吕为宫，未免反取黄”钟、林钟为变宫、变征，少下不和，故有变律也。然仲吕之实一十三万一千七十二，以三分之，不尽二算。盖律法得全寸、全分、全釐、全毫、全丝者为正律。有忽秒者为不尽算。不尽二算者，以三分之，除二分也。不尽一算者，馀一分也。非惟律管长短有忽秒不尽算，而空围内积亦有忽微不尽算者，所谓“空积忽微”是也。律当变者有六，故至子之一而六至午。以三历之，得七百二十九。以七百二十九曰仲吕之实，得九千五百五十五万一千四百八十八。又以七百二十九归之为六变律之数。纪其六小分为忽少、忽秒以下又不尽算。此变律之所以止于六也。愚谓变律不候

“气者，变律非正律也，所以补正律声音之不足者也。犹闰月非正月也，所以补正月日数之不足者也。盖阳者天之气也，阴者地之气也，日者，阳之精也，月者，阴之精也。日月会于上，则阴阳合于下，故律管所以候阴阳会合中和之气也。必于中气候之者，盖天气先至，故十二节气常先半月；地气后至，故十二中气” 常后半月。律管所以候地下之气，至中气始应也。闰月下候者，无中气也。变律不以之候气，非中声，故不为宫也。

《律生五声图》

第六

宫声八十一，　　商声七十二，　　角声六十四， 征声五十四，　　羽声四十八，

“按黄钟之数，九九八十一，是为五声之本。三分损一 以下生征，征三分益一以上生商，商三分损一以下 生羽，羽三分益一以上生角，至角声之数六十四。以 三分之不尽一算，数不可行，此声之数所以止于五 也。”或曰：此黄钟一均五声之数，他律不然。曰：“置本律 之实，以九九因之，二分损益以为五声，再以本律之” 实约之，则宫固八十一，商亦七十二，角亦六十四，征 亦五十四，羽亦四十八矣！

假令“应钟”九万三千三百一十二。以八十一乘之，得七百五十五万八千二百七十二为宫。以九万三千三百一十二约之得八十一；三分宫损一得五百，囗囗三万八千八百四十八为征。以九万三千三百一十二约之得五十四；三分征益一得六百七十一万八千四百六十四为商。以九万三千三百一十二约之，得七十二。三分商损一得四百四十七万八千九百七十六为羽。以九万三千三百一十二约之，得四十八。三分羽益一，得五百九十七万一千九百六十八为角。以九万三千三百一十二约之，得六十四。〈《补注》：〉愚谓：“十二律”虽生于黄钟九寸，长短不齐，及其旋相为宫，以生五声二变，皆约以八十一分起数，则八十四声各有所归。

《变声》

第七

变宫声四十二：〈小分六〉　变征声五十六：〈小分八〉 按：五声，宫与商，商与角，征与羽，相去各一律。至角与 征，羽与宫，相去乃二律。相去一律则音节和，相去二 律则音节远。故角征之间，近征收一声，比征少下，故 谓之“变征”；羽宫之间近宫收一声，少高于宫，故谓之 “变宫”也。角声之实六十有四，以三分之不尽一算既 不可行，当有以通之。声之变者二，故置一而两三之， 得九，以九因角声之实六十有四，得五百七十六。三 分损益，再生变征、变宫二声，以九归之，以从五声之 数，存其馀数以为强弱。至变征之数五百一十二，以 三分之又不尽二，算其数又不行，此变声所以止于 二也。变宫、变征，宫不成宫，征不成征，古人谓之《和缪》， 又曰“所以济五声之不及也。”变声非正。故不为调也。 朱子曰。五声之序。宫最大而沈浊。羽最细而轻清。

“商之大，次宫，征之细，次羽，而角居四者之中焉。然世之论中声者，不以角而以宫，何也？”曰：“凡声阳也，自下而上，未及其半，则属于阴而未畅，故不可用上而及半，然后属于阳而始和，故即其始而用之以为宫。因其每变而益上，则为商、为角、为变征、为征、为羽、为变宫，而皆以为宫之用焉。是以宫之一声，在五行为土，在五常为信，在五事为思。”盖以其正当众声和与未和，用与未用，阴阳际会之中，所以为盛。若角则虽当五声之中，而非众声之会，且以七均论之，又有变征以居焉，亦非五声之所取正也。然自其声之始和者，推而上之，亦至于变宫而止耳。自是以上，则又过乎轻清，而不可以为宫。于是就其两间而细分之，则其别又十有二：以其最大而沈浊者为黄钟，以其极细而轻清者为应钟。及其旋相为宫，而上下相生，以尽五声二变之用，则宫声常不越乎十二之中，而四声者或时出于其外，以取诸律半声之管，然后七均备而一调成也。黄钟之与馀律，其所以为贵贱者亦然。若诸半声以上，则又过乎轻清之甚，而不可以为乐矣。盖黄钟之宫，始之始，中之中也。十律之宫，始之次而中少过也。应钟之宫，始之终而中已尽也。诸律半声过乎轻清，始之外而中之上也。半声之外过乎轻清之甚，则又外之外，上之上，而不可为乐者也。正如子时初四刻属前日，正四刻属后日，其两日之间，即所谓“始之始”、“中之中”也。然则声自属阴以下，亦当默有十二正变半律之地，以为中声之前。假如子之初四刻为者，无声气之可纪。〈疑有“错” 字。〉由是论之，则审音之难，不在于声，而在于律；不在于宫，而在于黄钟。盖不以十二律节之，则无以著夫五声之实，不得黄钟之正，则十一律者，又无所受以为本律之宫也。〈补注〉“黄钟之宫：太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟，此十二律隔八相生”之序也。假令黄钟为宫，则相去一律而太簇

为商。又相去一律，而姑洗为角；又相去二律，而林钟为征；又相去一宫，而南吕为羽。羽距黄钟之宫，又相去二律焉。声之变者二律，置子之一而两至寅，以二历之，得九，以九因角声之实六十有四，得五百七十六。以九归之，为变宫、变征之间，存其小分以为强弱之下，又不尽算。此变声所以止于二也。

八十四声图第八（正律墨书变律朱书　　半声朱书半声墨书）

按：“律吕之数，往而不返”，故黄钟不复为他律役。所用 七声，皆正律，无空积，忽微，自林钟而下，则有半声。

大吕太簇一半声；夹钟姑洗二半声，《蕤》。�林钟四半声，夷则南吕五半声，无射、应钟六半声，仲吕为十二律之穷三半声：

《自》蕤。�而下《则有变律》。

蕤：�一变律《大吕》，二变律《夷则》，三变律《夹钟》，四变律《无射》，五变律《仲吕》，六变律。

皆有空积忽微不得其正，故黄钟独为声气之元。虽 十二律八十四声，皆黄钟所生，然黄钟一均，所谓纯 粹中之纯粹者也。八十四声，正律六十三，变律二十 一。六十三者，九七之数也；二十一者，三七之数也。

或问声气之元。朱子曰：“律历家最重元声。元声一定，向下都定；元声差，下都差。”〈《补注》：〉此言“十二律还相为宫，生八十四声。”其十一律受法于黄钟，虽其管长短不齐，及当月而为宫待者，约以八十一分起数。如应钟全四寸六分六釐，则约以八十一分又三分损益，以生四声二变。馀律皆然。如十一月黄钟为宫，斜数去，则林钟为征，太蔟为商，南吕为羽，姑洗为角，应钟为变宫，蕤宾为变征，皆正律，无空积忽微。如林钟为宫，则以大吕为变征；太蔟为宫，则以大吕为变宫，一半声也。南吕为宫，则以大吕为角，夹钟为变征；姑洗为宫，则以大吕为羽，夹钟为变宫，二半声也：皆不得其正。如蕤宾为宫，则以黄钟变为变征，一变律也；大吕为宫，则以黄钟变为变宫，林钟变为变征，二变律也。皆有空积忽微，此黄钟一均所以为纯粹中之纯粹者也。所谓空积忽微者，非律管长短之数，乃空积多寡之数，其实则一而已矣。一说大吕变宫是黄钟变半声，太簇变宫是大吕半声，故曰“大吕太簇一半声”；夹钟羽是黄钟变半声，变宫是太簇变半声，姑洗羽一大吕半声宫是夹钟半声，故曰“夹钟姑洗二半”声，见《六十调图》

六十调图第九（以周礼淮南子礼记郑氏注孔氏正义定）

按：十二律旋相为宫，各有七声，合八十四声，宫声十

二，商声十二，角声十二，征声十二，羽声十二，凡六十 声，为六十调。其变宫十二，在羽声之后，宫声之前；变 征十二，在角声之后，征声之前。宫不成宫，征不成征， 凡二十四声，不可为调。黄钟宫至夹钟羽并用黄钟 起调；《黄锺毕曲》，大吕宫至姑洗羽并用大吕起调；《大 吕毕曲》太蔟宫至仲吕羽并用太蔟起调；《太蔟毕曲》 夹锺宫至蕤宾羽并用夹锺起调；《夹锺毕曲》姑洗宫 至林锺羽并用姑洗起调；《姑洗毕曲》仲吕宫至夷则 羽并用仲吕起调；《仲吕毕曲》蕤宾宫至南吕羽并用 蕤宾起调；《蕤宾毕曲》林锺宫至无射羽并用林锺起 调；《林锺毕曲》夷则宫至应锺羽并用夷则起调；夷则 毕曲南吕宫至黄锺羽并用南吕起调；南吕毕曲无 射宫至大吕羽并用无射起调；无射毕曲应锺宫至 太蔟羽并用应锺起调；应锺毕曲是为六十调。“六十 调即十二律也，十二律即一黄锺也。黄锺生十二律， 十二律生五声，二变五声各为纲纪，以成六十调。六 十调皆黄锺损益之变也。宫商角三十六调，老阳也； 其徵羽二十四调，老阴也，调成而阴阳备也。”或曰：“日 辰之数，由天五地六错综而生；律吕之数，由黄锺九 寸损益而生。二者不同，至数之成，则日有六甲，辰有 五子，为六十日；律吕有六律，五声，为六十调。若合符 节，何也？”曰：即上文之所谓调成而阴阳备也。夫理必 有对待，数之自然也。以天五地六，合阴与阳言之，则 六甲五子，究于六十，其三十六为阳，二十四为阴。以 “黄钟九寸”，纪阳不纪阴言之，则六律五声，究于六十， 亦三十六为阳，二十四为阴。盖一阳之中，又自有阴 阳也。非知天地之化育者，不能与于此。

《朱子》曰：“律吕有十二个，用时只使七个。若更插一声，便拗了　旋宫。且如大吕为宫，则大吕用黄钟八十一之数而三分损一，下生夷则；又用林钟五十四之数而三分益一，上生夹钟。其馀皆然　，旋相为宫。若到应钟为宫，则下四声都当低去，所以有半声亦谓之子声” ，近时所谓清声是也　。乐家大率最忌臣民陵君，故商声不得过宫声　。如应钟为宫，其声最短而清，或蕤宾为之商，则是商声高似宫声，为臣陵君，不可用。遂乃用蕤宾律，减半为清声以应之。虽然，减半只是此律，故亦能相应也　。若以黄钟为宫，则馀律皆顺。若以其他律为宫，便有相陵处。今且以黄钟言之，自第九宫后，四宫则或为角，或为羽，或为商，“或为征。” 若以为角，则

“是民陵其君。”若以为商，则是臣陵其君。征为事，羽为物，皆可类推，故制黄钟四清声用之。清声短其律之半，是黄钟清长四寸半也。若后四宫用黄钟为角、征、商、羽，则以四清声代之，不可用黄钟本律以避陵慢。沈存中曰：“唯君臣民不可相陵事物，则不必避。”〈《补注》：〉按：五声二变，以相生之序言之，则曰宫、曰征、曰商、曰羽、曰角、曰变宫、曰变征；以高下清浊言之，则曰宫、曰商、曰角、曰变征、曰征、曰羽、曰变宫。以七声而为一调，以五调而当一曲，一曲既毕，而别起调，至于太簇羽，凡十二曲六十调四百二十声也。其正者，以正律全声应也；其半者，以正律半声应也；变半者，以变律半声应也。其变者，以变律全声应也。　阳律为宫，而商角皆阳，至变征则变而为羽。阴徵羽为阴，至变宫又变而为阳也。阴律为宫，而商角皆阴，至变征则变而为阳。徵羽为阳，至变宫又变而为阴也。　朱子曰：大凡压入音律，只以首尾二字，章首一字是某调，章尾即以某调终之。如《关睢》“关”字，合作无射调，结尾，亦著作无射声应之。《葛覃》“葛”字，合作黄钟调结尾，亦著作黄钟声应之。如“七月流火”三章，皆七字起，七字则是清声，调末亦以清声调结之。如“五月斯螽动股”，二之“日，凿冰冲冲”，五字二字皆是浊声，黄钟调末以浊声结之。如今俗乐，亦只有商宫羽三调而已。《沈氏笔谈》曰：十二律并清宫，当有十六声。今之燕乐，止有十五声。盖本乐高于古乐二律以下，故无正黄钟声，只以“合”字当大吕，犹差高，当在大吕、太簇之间，“下四”字近太簇之“高”四字近夹钟，“下一”字近姑洗，“高一”字近仲吕，“上”字近蕤宾，“勾”字近林钟，“大”字近夷则，二字近南吕，“高”二字近无射，“六”字近应钟，“下凡”字为黄钟清，“高凡”字为大吕清，下五字为太簇清高五字为夹钟清。法虽如此，然此调杀声，不尽归本律，故有偏杀、侧杀、寄杀、元杀之类，虽与古法不同，推之亦皆有理。知声者皆能言之，此岂不备哉？

《候气》

第十

候气之法，为室三重，户闭，涂衅必周，密布缇缦。室中 以木为案，每律各一案，内卑外高，从其方位。加律其 上，以葭灰实其端，覆以缇素，按历而候之。气至则吹 灰动素。小动为气和；大动为君弱臣强，专政之应；不 动为君严猛之应。其升降之数，在冬至则黄钟九寸。 〈升五分二釐三毫〉“大寒则大吕”八寸三分七釐六毫。〈升三分七釐六 毫〉雨水则太簇八寸。〈升四分五釐一毫六丝〉《春分则》“夹钟七寸 四分三釐七毫三丝。”〈升三分三釐七毫三丝〉谷雨则姑洗七寸 一分。〈升四分囗囗五毫四丝三忽〉小满则“仲吕六寸五分八釐三 毫四丝六忽。”〈升三分囗囗三毫四丝六忽〉夏至则蕤宾六寸二分 八釐。〈升二分八釐〉大暑，则林钟六寸。〈升三分二釐四毫〉“处暑则《夷 则》”五寸五分五釐五毫；〈升二分二釐五毫〉秋分则南吕五寸 三分。〈升三分囗囗四毫一丝〉《霜降》则无射四寸八分八釐四毫 八丝。〈升二分二釐四毫八丝〉“小雪，则应钟四寸六分六釐。 按阳生于《复》，阴生于姤，如环无端。今律吕之数，三分 损益，终不复始，何也？”曰：“阳之升始于子午，虽阴生，而 阳之升于上者未巳，至亥而后穷上反下。阴之升始 于午子虽阳生，而阴之升于上者亦未巳，至巳而后 穷上反下。律于阴则不书，故终不复始也。是以升阳 之数，自子至巳差强，在”律为尤强，在吕为少弱；自午 至亥渐弱，在律为尤弱，在吕为差弱。分数多寡，虽若 不齐，然其丝分毫别，各有条理，此气之所以飞灰，声 之所以中律也。或曰：“《易》以道阴阳，而律不书阴，何也？” 曰：“《易》者，尽天下之变，善与恶无不备也；律者致中和 之用，止于至善者也。以声言之，大而至于雷霆，细而 至于蠛”蠓，无非声也，《易》则无不备也；律则写其所谓 黄钟一声而已矣。虽有十二律、六十调，然实一黄钟 也。是理也，在声为中声，在气为中气，在人则喜怒哀 乐未发阴阳而中节也。此圣人所以一天人，赞化育 之道也。

鲁斋彭氏曰：“西山蔡氏所述《礼记月令章句》，蔡邕说也。如邕所云，则是为十二月律布室内十二辰，若其月气至，则辰之管灰飞而管空也。然则十二月各当其辰，斜埋地下，入地处卑，出地处高，故云内卑外高。黄钟之管，埋于子位，上头向南，以外诸管推之，可悉知。又《律书》云：‘以河内葭莩为灰，宜阳金门山竹为管’。”熊氏云：“灰实律管，以罗縠覆之，气至则吹灰动縠矣。”又长乐陈氏曰：“候气之法，造室三重，各启门。为门之位，外之以子，中之以午，内复以子，《扬子》所谓九闭之中也。盖布缇缦室中，上圆下方，依辰位埋律管，使其端与地齐，而以薄纱覆之。中秋白露降，采葭莩为灰，加管端以候气至。灰去为气所动者”，灰散。为物所动者其灰聚。今采诸说证辩。〈《补注》：〉刘氏曰：“日者太阳之精，凡天之气，以日为主焉。月者太阴之精，凡地之气，以月为主焉。故日月会于上，则阴阳合于下，自阴生至于冬至。”凡

“六管之长短者，皆阳气入地之深浅而始与阴合也。阴合于阳，上进而葭灰飞动者，皆其月之中气也。阳生至于夏至，凡六管之长短者，皆阴气入地之深浅而始与阳合也。阳合于阴，上进而葭灰飞动者，皆其月之中气也。故日月交会于上以成度，则阴阳交合于下以成时，取其管以为声；天地之中声也，取其律以候气，阴阳之和气也。” 非圣人其能与于此乎？愚按：本注谓“律于阴则不书” ，则是律管飞灰，皆阳气吹而阴不吹也。刘氏之意，谓子月以后，阴在上，阳在下，黄钟六管埋之地中，则阴从管入地，下合阴阳气升，而黄钟六管所以飞灰，犹大海每子时后，亦阴与阳合而潮生也。午月以后，阳在上、阴在下，“《蕤宾》六管埋之地中，则阳从管入。地下合阴，阴气上升，而《蕤宾》六管所以飞灰，犹大海每午时后，亦阳与阴合而汐至也。必以子月为始也，十二月之首也；必以黄钟为重者，十二律之所由终也。” 刘说近是。。