钦定古今图书集成经济汇编乐律典

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　律吕部汇考十六

　　明朱载堉律吕精义二〈不取围径皆同〉

乐律典第六十二卷

律吕部汇考十六

明朱载堉律吕精义二

不取围径皆同第五之上

旧律围径皆同，而新律各不同。《礼记注疏》曰：“凡律空， 围九分。”《月令章句》曰：“围数无增减。”及《隋志》安丰王等 说，皆不足取也，故著此论。论曰：“琴瑟不独徽柱之有 远近，而弦亦有巨细焉。笙竽不独管孔之有高低，而 簧亦有厚薄焉。弦之巨细若一，但以徽柱远近别之， 不可也。簧之厚薄若一，但以管孔高低别之，不可也。” 譬诸律管，虽有修短之不齐，亦有广狭之不等。先儒 以为长短虽异，围径皆同，此未达之论也。今若不信， 以竹或笔管制黄钟之律，一样二枚，截其一枚，分作 两段，全律半律，各令一人吹之，声必不相合矣。此昭 然可验也。又制大吕之律，一样二枚，周径与黄钟同， 截其一枚，分作两段，全律半律，各令“一人吹之，则亦 不相合。而大吕半律，乃与黄钟全律相合，略差不远。” 是知所谓半律者，皆下全律一律矣。大抵管长则气 隘，隘则虽长而反清；管短则气宽，宽则虽短而反浊。 此自然之理，先儒未达也。要之，长短广狭，皆有一定 之理，一定之数在焉。置黄钟倍律九而一，以为外周。 用弦求句股术，得其内周。又置倍律，四十而一，以为 内径。用句股求弦术，得其外径。盖“律管两端，形如环 田，有内外周径焉。外周内容之方，即内径也；内周外 射之斜，即外径也。方圆相容，天地之象，理数之妙者 也。黄钟通长八十一分”者，内周九分，是为八十一中 之九，即约分法九分中之一也。若约黄钟八十一分 作为九寸，则其内周当云一寸。旧以九十分为黄钟， 而云“空围九分”者，误也。况又穿凿，指为面羃九方分， 则误益甚矣。《方圆相容》，有图如左。

密率周径图

第一层《倍》。

《律》，外周也。

第二层“倍”；

《律内周》即。

《正律》外周。

也。三层四

层皆放此。

推之。

密率源流图

法曰：“圆周。”

四《十、容方》

九句股求：

弦数可知。

遂以此为。

求径率求。

周求积，亦。

如之。

新法密率算术周径羃积相求。

周。求径者，置周全数，九因四十除之，所得，自乘，倍之， 为实，开平方法除之，得径。径求周者，置径全数自乘， 半之，为实，开平方法除之，所得，四十乘之，九归得周。 周求积者，置周全数，九因四十除之，所得，自乘，倍之， 为实。径求积者，置径全数自乘，为实。二项各又自乘， 以一百乘之，一百六十二除之，所得，为实，开平方法 除之，得积积。求周径者，置积全数自乘，所得，以一百 六十二乘之，一百除之，为实。开平方法除之，所得，副 置之，其一折半为实，开平方法除之，所得，四十乘之， 九归得周，其一不须折半，但以开平方法除之，得径。 所谓积者，面羃平圆积也。以其通长乘之，各得其实 积也。

旧法平圆周径积互相求，但系围三径一，术者皆疏舛不可用。惟周径相乘“《四归》得积” 及半周半径相乘得积二者可用。

先求《三十六律》，通长真数。

“黄钟倍律” ，通长二尺，容黍二合称，重二两。《律度量》。

“衡无非倍” 者，此自然全数也。故《算法》皆从倍律起。若夫正律，于度虽足，于量于衡则皆不足，祇容半合，祇重半两，比诸倍律，似非自然全数。故算法不从正律起，亦不从半律起。倍律、正律、半律各有十二，共为三十六律。

置《黄钟倍律》，通长二尺为实，以十亿乘之，以十亿○ 五千九百四十六万三千○九十四除之，得一尺八 寸八分七釐七毫四丝八忽六微二纎为大吕。 置《大吕倍律》，通长一尺八寸八分七釐七毫四丝八 忽六微二纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百 四十六万三千○九十四除之，得一尺七寸八分一 釐九毫九丝七忽四微三纎为太蔟。 置太蔟倍律，通长一尺七寸八分一厘七毫九丝七 忽四微，三纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百 四十六万三千○九十四除之，得一尺六寸八分一 釐七毫九丝二忽八微三纎为夹钟。 置夹钟倍律，通长一尺六寸八分一厘七毫九丝二 忽八微三纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百 四十六万三千○九十四除之，得一尺五寸八分七 釐四毫○一忽○五纎为姑洗。 置姑洗倍律，通长一尺五寸八分七釐四毫○一忽 ○，五纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得一尺四寸九分八釐三 毫○七忽○七纎为仲吕。 置仲吕倍律，通长一尺四寸九分八釐三毫○七忽 ○七纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得一尺四寸一分四釐二 毫一丝三忽五微六纎为蕤宾。 置蕤宾倍律，通长一尺四寸一分四釐二毫一丝三 忽五微六纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百 四十六万三千○九十四除之，得一尺三寸三分四 釐八毫三丝九忽八微五纎为《林钟》。 置《林钟倍律》，通长一尺三寸三分四釐八毫三丝九 忽八微五纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百 四十六万三千○九十四除之，得一尺二寸五分九 釐九毫二丝一忽○四纎为夷则。 置《夷则倍律》，通长一尺二寸五分九釐九毫二丝一 忽○四纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四 十六万三千○九十四除之，得一尺一寸八分九釐 二毫○七忽一微一纎，为南吕。 置南吕倍律通长一尺一寸八分九釐二毫○七忽 一微一纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四 十六万三千○九十四除之，得一尺一寸二分二釐 四毫六丝二忽○四纎，为无射。 置无射倍律通长一尺一寸二分二釐四毫六丝二 忽○四纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四 十六万三千○九十四除之，得一尺○五分九釐四 毫六丝三忽○九纎为应钟。 置应钟倍律，通长一尺○五分九釐四毫六丝三忽 ○九纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得一尺，为黄钟。

置黄钟正律，通长一尺为实，以十亿乘之，以十亿○ 五千九百四十六万三千○九十四除之，得九寸四 分三釐八毫七丝四忽三微一纎，为大吕。 置大吕正律，通长九寸四分三釐八毫七丝四忽三 微一纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得八寸九分○八毫九丝 八忽七微一纎，为太蔟。 置太蔟正律，通长八寸九分○八毫九丝八忽七微 一纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得八寸四分○八毫九丝六 忽四微一纎为夹钟。 置夹钟正律，通长八寸四分○八毫九丝六忽四微 一纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得七寸九分三釐七毫○○ 五微二纎，为“姑洗。” 置姑洗正律，通长七寸九分三釐七毫○○五微二 纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万 三千○九十四除之，得七寸四分九釐一毫五丝三 忽五微三纎，为仲吕。 置仲吕正律，通长七寸四分九釐一毫五丝三忽五 微三纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得七寸○七釐一毫○六 忽七微八纎，为蕤宾。 置蕤宾正律，通长七寸○七釐一毫○六忽七微八 纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万 三千○九十四除之，得六寸六分七釐四毫一丝九 忽九微二纎，为林钟。 置林钟正律，通长六寸六分七釐四毫一丝九忽九 微二纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得六寸二分九釐九毫六丝○五微二纎，为夷则。 置夷则正律，通长六寸二分九釐九毫六丝○五微 二纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得五寸九分四釐六毫○三 忽五微五纎，为南吕。 置南吕正律，通长五寸九分四釐六毫○三忽五微 五纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得五寸六分一厘二毫三丝 一忽○二纎为无射。 置无射正律通长五寸六分一厘二毫三丝一忽○ 二纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得五寸二分九釐七毫三丝 一忽五微四纎，为应钟。 置应钟正律，通长五寸二分九釐七毫三丝一忽五 微四纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得五寸，为黄钟。

置黄钟半律，通长五寸为实，以十亿乘之，以十亿○ 五千九百四十六万三千○九十四除之，得四寸七 分一厘九毫三丝七忽一微五纎，为大吕。 置大吕半律，通长四寸七分一厘九毫三丝七忽一 微五纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得四寸四分五釐四毫四 丝九忽三微五纎，为太蔟。 置太蔟半律，通长四寸四分五釐四毫四丝九忽三 微五纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得四寸二分○四毫四丝 八忽二微○，为夹钟。

置夹钟半律，通长四寸二分○四毫四丝八忽二微 ○为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六万 三千○九十四除之，得三寸九分六釐八毫五丝○ 二微六纎，为姑洗。 置姑洗半律，通长三寸九分六釐八毫五丝○二微 六纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得三寸七分四釐五毫七丝 六忽七微六纎，为仲吕。 置仲吕半律通长三寸七分四釐五毫七丝六忽七 微六纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得三寸五分三釐五毫五 丝三忽三微九纎，为蕤宾。 置蕤宾半律通长三寸五分三釐五毫五丝三忽三 微九纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十 六万三千○九十四除之，得三寸三分三釐七毫○ 九忽九微六纎，为《林钟》。 置林钟半律通长三寸三分三釐七毫○九忽九微 六纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得三寸一分四釐九毫八丝 ○二微六纎，为《夷则》。 置《夷则》半律通长三寸一分四釐九毫八丝○二微 六纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得二寸九分七釐三毫○一 忽七微七纎，为南吕。 置南吕半律通长二寸九分七釐三毫○一忽七微 七纎为实，以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得二寸八分○六毫一丝五 忽五微一纎，为无射。 置无射半律通长二寸八分○六毫一丝五忽五微 一纎为实。以十亿乘之，以十亿○五千九百四十六 万三千○九十四除之，得二寸六分四釐八毫六丝 五忽七微七纎，为应钟。 次求三十六律外周真数。

先置《黄钟倍律》，通长二尺为实，九归得二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纎，为其外周。就置所得为实，依后项乘除之。

置黄钟倍律外周二寸二分二釐二毫二丝二忽二 微二纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得二寸一分五釐八毫 九丝五忽九微八纎，为大吕。 置大吕倍律外周二寸一分五釐八毫九丝五忽九 微八纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得二寸○九釐七毫四 丝九忽八微四纎，为太蔟。 置太蔟倍律外周二寸○九釐七毫四丝九忽八微 四纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得二寸○三釐七毫七丝 八忽六微七纎为夹钟。 置夹钟倍律外周二寸○三釐七毫七丝八忽六微 七纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸九分七釐九毫七 丝七忽四微九纎，为姑洗。 置姑洗倍律外周一寸九分七釐九毫七丝七忽四 微九纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一寸九分二釐三毫 四丝一忽四微五纎，为仲吕。 置仲吕倍律外周一寸九分二釐三毫四丝一忽四 微五纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸八分六釐八毫 六丝五忽八微七纎，为蕤宾。 置蕤宾倍律外周一寸八分六釐八毫六丝五忽八 微七纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸八分一厘五毫 四丝六忽一微六纎为《林钟》。 置《林钟》倍律外周一寸八分一厘五毫四丝六忽一 微六纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸七分六釐三毫 七丝七忽八微九纎为《夷则》。 置《夷则倍律》外周一寸七分六釐三毫七丝七忽八 微九纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸七分一厘三毫 五丝六忽七微五纎，为南吕。 置南吕倍律外周一寸七分一厘三毫五丝六忽七 微五纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸六分六釐四毫 七丝八忽五微六纎，为无射。 置无射倍律外周一寸六分六釐四毫七丝八忽五 微六纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸六分一厘七毫 三丝九忽二微四纎为应钟。 置应钟倍律外周一寸六分一厘七毫三丝九忽二 微四纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸五分七釐一毫 三丝四忽八微四纎，为黄钟。 置黄钟正律外周一寸五分七釐一毫三丝四忽八 微四纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸五分二釐六毫 六丝一忽五微一纎为大吕。 置大吕正律外周一寸五分二釐六毫六丝一忽五 微一纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸四分八釐三毫 一丝五忽五微。三纎为太蔟。 置太蔟正律外周一寸四分八釐三毫一丝五忽五 微三纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸四分四釐○九 丝三忽二微。八纎为夹钟。 置夹钟正律外周一寸四分四釐○九丝三忽二微 八纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸三分九釐九毫九 丝一忽二微二纎为姑洗。 置姑洗正律外周一寸三分九釐九毫九丝一忽二 微二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸三分六釐○○ 五忽九微四纎，为仲吕。 置仲吕正律外周一寸三分六釐○○五忽九微四 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得一寸三分二釐一毫三丝 四忽一微二纎，为蕤宾。 置蕤宾正律外周一寸三分二釐一毫三丝四忽一 微二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸二分八釐三毫 七丝二忽五微二纎，为林钟。 置林钟正律外周一寸二分八釐三毫七丝二忽五 微二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸二分四釐七毫 一丝八忽○○，为夷则。

置《夷则》正律外周一寸二分四釐七毫一丝八忽○ ○为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得一寸二分一厘一毫六丝 七忽五微二纎，为南吕。 置《南吕》正律外周一寸二分一厘一毫六丝七忽五 微二纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸一分七釐七毫 一丝八忽一微二纎，为无射。 置无射正律外周一寸一分七釐七毫一丝八忽一 微二纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸一分四釐三毫 六丝六忽九微一纎，为应钟。 置应钟正律外周一寸一分四釐三毫六丝六忽九 微一纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸一分一厘一毫 一丝一忽一微一纎，为黄钟。 置黄钟半律外周一寸一分一厘一毫一丝一忽一 微一纎，为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸○七釐九毫四丝七忽九微九纎，为大吕。 置大吕半律外周一寸○七釐九毫四丝七忽九微 九纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸○四釐八毫七丝 四忽九微二纎，为太蔟。 置太蔟半律外周一寸○四釐八毫七丝四忽九微 二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸○一厘八毫八丝 九忽三微三纎为夹钟。 置夹钟半律外周一寸○一厘八毫八丝九忽三微 三纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得九分八釐九毫八丝八 忽七微四纎为姑洗。 置姑洗半律外周九分八釐九毫八丝八忽七微四 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得九分六釐一毫七丝○七 微二纎为仲吕。 置仲吕半律外周九分六釐一毫七丝○七微二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得九分三釐四毫三丝二忽九 微三纎为蕤宾。 置蕤宾半律外周九分三釐四毫三丝二忽九微三 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得九分○七毫七丝三忽○ 八纎，为《林钟》。 置林钟半律外周九分○七毫七丝三忽○八纎为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得八分八釐一毫八丝八忽九微 四纎，为《夷则》。 置夷则半律外周八分八釐一毫八丝八忽九微四 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得八分五釐六毫七丝八忽 三微七纎，为南吕。 置南吕半律外周八分五釐六毫七丝八忽三微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得八分三釐二毫三丝九忽 二微八纎，为无射。 置无射半律外周八分三釐二毫三丝九忽二微八 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得八分○八毫六丝九忽六 微二纎，为应钟。 次求三十六律外径真数。

《周求径术》：置黄钟倍律外周二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纎，九因得二尺，以四十除之，得五分，自乘，得二十五分，加倍得五十分为实。开平方法除之，得七分○七毫一丝○六微七纎，是为外径。就置所得为实，依后项乘除之。

径求周术，置黄钟倍律外径七分○七毫一丝○六微七纎，自乘得五十分，折半得二十五分为实。开平方法除之得五分，以四十乘之得二尺九归得二寸二分二釐二毫二丝二忽二微二纎，是为外周。周径互相求，即还原法也。

置黄钟倍律外径七分○七毫一丝○六微七纎为 实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得六分八釐六毫九丝七忽六微 八纤，为大吕。

置大吕倍律外径六分八釐六毫九丝七忽六微八 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得六分六釐七毫四丝一忽 九微九纎，为太蔟。 置太蔟倍律外径六分六釐七毫四丝一忽九微九 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得六分四釐八毫四丝一忽 九微七纎为夹钟。 置夹钟倍律外径六分四釐八毫四丝一忽九微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得六分二釐九毫九丝六忽 ○五纎为姑洗。 置姑洗倍律外径六分二釐九毫九丝六忽○五纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得六分一厘二毫○二忽六微 七纎为仲吕。 置仲吕倍律外径六分一厘二毫○二忽六微七纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得五分九釐四毫六丝○三微 五纎，为蕤宾。 置蕤宾倍律外径五分九釐四毫六丝○三微五纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得五分七釐七毫六丝七忽六 微三纎，为林钟。 置林钟倍律外径五分七釐七毫六丝七忽六微三 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得五分六釐一毫二丝三忽 一微○，为夷则。

置《夷则倍律》外径五分六釐一毫二丝三忽一微○ 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得五分四釐五毫二丝五忽三 微八纎，为南吕。 置南吕倍律外径五分四釐五毫二丝五忽三微八 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得五分二釐九毫七丝三忽 一微五纎为无射。 置无射倍律外径五分二釐九毫七丝三忽一微五 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得五分一厘四毫六丝五忽 一微一纎为应钟。 置应钟倍律外径五分一厘四毫六丝五忽一微一 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六，除之，得五分，为黄钟。

置黄钟正律外径五分为实，以十亿乘之，以十亿○ 二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分 八釐五毫七丝六忽五微九纎，为大吕。 置大吕正律外径四分八釐五毫七丝六忽五微九 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分七釐一毫九丝三忽 七微一纎，为太蔟。 置太蔟正律外径四分七釐一毫九丝三忽七微一 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分五釐八毫五丝○二 微○，为夹钟。

置夹钟正律外径四分五釐八毫五丝○二微○为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得四分四釐五毫四丝四忽九微， 三纎为姑洗。 置姑洗正律外径四分四釐五毫四丝四忽九微三 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分三釐二毫七丝六忽 八微二纎为仲吕。 置仲吕正律外，径四分三釐二毫七丝六忽八微二 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分二釐○四丝四忽八 微二纎为蕤宾。 置蕤宾正律外，径四分二釐○四丝四忽八微二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得四分○八毫四丝七忽八微 八纎，为《林钟》。 置《林钟》正律外径四分○八毫四丝七忽八微八纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分九釐六毫八丝五忽○ 二纎为《夷则》。 置《夷则》正律外径三分九釐六毫八丝五忽○二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分八釐五毫五丝五忽二 微七纎，为南吕。 置南吕正律外，径三分八釐五毫五丝五忽二微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分七釐四毫五丝七忽 六微七纎，为无射。 置无射正律外，径三分七釐四毫五丝七忽六微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分六釐三毫九丝一忽 三微二纎，为应钟。 置应钟正律外，径三分六釐三毫九丝一忽三微二 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分五釐三毫五丝五忽 三微三纎，为黄钟。 置黄钟半律外，径三分五釐三毫五丝五忽三微三 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分四釐三毫四丝八忽 八微四纎，为大吕。 置大吕半律外径三分四釐三毫四丝八忽八微四 纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分三釐三毫七丝○九 微九纎为太蔟。 置太蔟半律外径三分三釐三毫七丝○九微九纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分二釐四毫二丝○九微 八纎为夹钟。 置夹钟半律外径三分二釐四毫二丝○九微八纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分一厘四毫九丝八忽○ 二纎为姑洗置姑洗半律外，径三分一厘四毫九丝八忽○二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三 纎为仲吕。 置仲吕半律外，径三分○六毫○一忽三微三纎为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得二分九釐七毫三丝○一微七 纎，为蕤宾。 置蕤宾半律外径二分九釐七毫三丝○一微七纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得二分八釐八毫八丝三忽八 微一纤，为林钟。

置林钟半律外径二分八釐八毫八丝三忽八微一 纤为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分八釐○六丝一忽五 微五纤，为《夷则》。

置《夷则》半律外径二分八釐○六丝一忽五微五纤 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得二分七釐二毫六丝二忽六 微九纤，为南吕。

置南吕半律外径二分七釐二毫六丝二忽六微九 纤为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分六釐四毫八丝六忽 五微七纤，为无射。

置无射半律外径二分六釐四毫八丝六忽五微七 纤为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分五釐七毫三丝二忽 五微五纎，为应钟。 次求三十六律内径真数。

先置黄钟倍律，通长二尺为实，四十除之，得五分，是为内径。就置所得为实，依后项乘除之。

置《黄钟倍律》内，径五分为实，以十亿乘之，以十亿○ 二千九百三十万○二千二百三十六除之，得四分 八釐五毫七丝六忽五微九纎，为大吕。 置《大吕倍律》内，径四分八釐五毫七丝六忽五微九 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分七釐一毫九丝三忽 七微一纎，为太蔟。 置《太蔟倍律内径四分七釐一毫九丝三忽七微一 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分五釐八毫五丝○二 微○，为夹钟。

置《夹钟倍律》内，径四分五釐八毫五丝○二微○为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得四分四釐五毫四丝四忽九微 三纎为姑洗。 置《姑洗倍律》内，径四分四釐五毫四丝四忽九微三 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分三釐二毫七丝六忽 八微二纎为仲吕。 置仲吕倍律内，径四分三釐二毫七丝六忽八微二 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得四分二釐○四丝四忽八 微二纎为蕤宾。 置蕤宾倍律内，径四分二釐○四丝四忽八微二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得四分○八毫四丝七忽八微 八纎，为林钟。 置《林钟倍律》内，径四分○八毫四丝七忽八微八纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分九釐六毫八丝五忽○ 二纎，为《夷则》。 置《夷则倍律》内，径三分九釐六毫八丝五忽○二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分八釐五毫五丝五忽二 微七纎，为南吕。 置南吕倍律内径三分八釐五毫五丝五忽二微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分七釐四毫五丝七忽 六微七纎，为无射。 置无射倍律内径三分七釐四毫五丝七忽六微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分六釐三毫九丝一忽 三微二纎，为应钟。 置应钟倍律内，径三分六釐三毫九丝一忽三微二 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分五釐三毫五丝五忽 三微三纎，为黄钟。 置黄钟正律内，径三分五釐三毫五丝五忽三微三 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分四釐三毫四丝八忽八微四纤，为大吕。

置“大吕正律”，内径三分四釐三毫四丝八忽八微四 纤为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得三分三釐三毫七丝○九 微九纤，为太簇。

置太簇正律，内径三分三釐三毫七丝○九微九纤 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分二釐四毫二丝○九微 八纤，为夹钟。

置“夹钟正律”，内径三分二釐四毫二丝○九微八纤 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分一厘四毫九丝八忽○ 二纤，为姑洗。

置《姑洗正律》内径三分一厘四毫九丝八忽○二纎 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得三分○六毫○一忽三微三 纤，为仲吕。

置仲吕正律内，径三分○六毫○一忽三微三纎为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得二分九釐七毫三丝○一微七 纎，为蕤宾。 置蕤宾正律内，径二分九釐七毫三丝○一微七纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得二分八釐八毫八丝三忽八 微一纎，为《林钟》。 置林钟正律内，径二分八釐八毫八丝三忽八微一 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分八釐○六丝一忽五 微五纎为夷则。 置夷则正律内，径二分八釐○六丝一忽五微五纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得二分七釐二毫六丝二忽六 微九纎，为南吕。 置南吕正律内径二分七釐二毫六丝二忽六微九 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分六釐四毫八丝六忽 五微七纎，为无射。 置无射正律内径二分六釐四毫八丝六忽五微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六，除之，得二分五釐七毫三丝二忽 五微五纤，为“应钟。”

置应钟正律，内径二分五釐七毫三丝二忽五微五 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分五釐，为黄钟。

置黄钟半律内，径二分五釐为实，以十亿乘之，以十 亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得 二分四釐二毫八丝八忽二微九纎，为大吕。 置大吕半律内，径二分四釐二毫八丝八忽二微九 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分三釐五毫九丝六忽 八微五纎，为太蔟。 置太蔟半律内，径二分三釐五毫九丝六忽八微五 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分二釐九毫二丝五忽 一微○，为夹钟。

置《夹钟半律》内，径二分二釐九毫二丝五忽一微○ 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得二分二釐二毫七丝二忽四 微六纎，为姑洗。 置《姑洗半律》内，径二分二釐二毫七丝二忽四微六 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分一厘六毫三丝八忽 四微一纎为仲吕。 置仲吕半律内，径二分一厘六毫三丝八忽四微 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得二分一厘○二丝二忽四 微一纎为蕤宾。 置蕤宾半律内，径二分一厘二丝二忽四微一纎为 实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得二分○四毫二丝三忽九微四 纎，为林钟。 置《林钟》半律内，径二分○四毫二丝三忽九微四纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得一分九釐八毫四丝二忽五 微一纎，为夷则。 置《夷则》半律内，径一分九釐八毫四丝二忽五微一 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得一分九釐二毫七丝七忽 六微三纎，为南吕。 置南吕半律内，径一分九釐二毫七丝七忽六微三 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得一分八釐七毫二丝八忽 八微三纎，为无射。 置无射半律内，径一分八釐七毫二丝八忽八微三 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得一分八釐一毫九丝五忽 六微六纎，为应钟。 次求三十六律内周真数。

径求《周术》，置黄钟倍律内径，五分自乘，得二十五分，折半得一十二分半，为实。开平方法除之，得三分五釐三毫五丝五忽三微三纎九尘，以四十乘之，得一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纎九归，得一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纎，是为内周。就置所得为实，依后项乘除之。《周求径术》，置黄钟倍律内周，一寸五分七釐一毫三丝四忽八微四纎九因，得一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤，以四十除之，得三分五釐三毫五丝五忽三微三纎九尘，自乘，得一十二分半，加倍得二十五分，为实。开平方法除之，得五分，是为内径、周径互相求，即还原法也。

置《黄钟倍律》内周，一寸五分七釐一毫三丝四忽八 微四纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸五分二釐六毫 六丝一忽五微一纎，为大吕。 置《大吕倍律》内周，一寸五分二釐六毫六丝一忽五 微一纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸四分八釐三毫 一丝五忽五微三纎，为太蔟。 置太蔟倍律内周，一寸四分八釐三毫一丝五忽五 微三纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸四分四釐○九 丝三忽二微八纤，为夹钟。

置《夹钟倍律》内周，一寸四分四釐○九丝三忽二微 八纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸三分九釐九毫九 丝一忽二微二纎，为姑洗。 置《姑洗倍律》内周，一寸三分九釐九毫九丝一忽二 微二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸三分六釐○○ 五忽九微四纎，为仲吕。 置仲吕倍律内周一寸三分六釐○○五忽九微四 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得一寸三分二釐一毫三丝 四忽一微二纎，为蕤宾。 置蕤宾倍律内周一寸三分二釐一毫三丝四忽一 微二纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸二分八釐三毫 七丝二忽五微二纎，为林钟。 置林钟倍律内周一寸二分八釐三毫七丝二忽五 微二纎，为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸二分四釐七毫 一丝八忽○○，为《夷则》。

置《夷则倍律》内周一寸二分四釐七毫一丝八忽○ ○为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得一寸二分一厘一毫六丝 七忽五微二纎，为南吕。 置《南吕倍律》内周一寸二分一厘一毫六丝七忽五 微二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸一分七釐七毫 一丝八忽一微二纎，为无射。 置无射倍律内周一寸一分七釐七毫一丝八忽一 微二纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸一分四釐三毫 六丝六忽九微一纎，为应钟。 置应钟倍律内周一寸一分四釐三毫六丝六忽九 微一纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸一分一厘一毫 一丝一忽一微一纎，为黄钟。 置黄钟正律内周，一寸一分一厘一毫一丝一忽一 微一纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十 万○二千二百三十六除之，得一寸○七釐九毫四 丝七忽九微九纎，为大吕。 置大吕正律内周，一寸○七釐九毫四丝七忽九微 九纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸○四釐八毫七丝 四忽九微二纎，为太蔟。 置太蔟正律内周一寸○四釐八毫七丝四忽九微 二纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万 ○二千二百三十六除之，得一寸○一厘八毫八丝 九忽三微三纎为夹钟。 置夹钟正律内周，一寸○一厘八毫八丝九忽三微 三纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之，得九分八釐九毫八丝八 忽七微四纎，为姑洗。 置姑洗正律内周，九分八釐九毫八丝八忽七微四 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得九分六釐一毫七丝○七 微二纎，为仲吕。 置仲吕正律内周九分六釐一毫七丝○七微二纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得九分三釐四毫三丝二忽九 微三纎，为蕤宾。 置蕤宾正律内周九分三釐四毫三丝二忽九微三 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得九分○七毫七丝三忽○ 八纎，为《林钟》。 置《林钟》正律内周，九分○七毫七丝三忽○八纎为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得八分八釐一毫八丝八忽九微 四纎，为《夷则》。 置《夷则》正律内周，八分八釐一毫八丝八忽九微四 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得八分五釐六毫七丝八忽 三微七纎，为南吕。 置南吕正律内周八分五釐六毫七丝八忽三微七 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得八分三釐二毫三丝九忽 二微八纎，为无射。 置无射正律内周，八分三釐二毫三丝九忽二微八 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得八分○八毫六丝九忽六 微二纎，为应钟。 置应钟正律内周八分○八毫六丝九忽六微二纎 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得七分八釐五毫六丝七忽四 微二纎为黄钟。 置黄钟半律内周，七分八釐五毫六丝七忽四微二 纎为实。以十亿乘之，以十亿　二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得七分六釐一毫三丝○七 微五纎为大吕。 置大吕半律内周，七分六釐三毫三丝○七微五纎 为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得七分四釐一毫五丝七忽七 微六纎为太蔟。 置太蔟半律内周，七分四釐一毫五丝七忽七微六 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得七分二釐○四丝六忽六 微四纎为夹钟。 置夹钟半律内周，七分二釐○四丝六忽六微四纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得六分九釐九毫九丝五忽六 微一纎，为姑洗。 置姑洗半律内周六分九釐九毫九丝五忽六微一 纎为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得六分八釐○○二忽九微 七纎，为仲吕。 置仲吕半律内周六分八釐○○二忽九微七纎为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得六分六釐○六丝七忽○六纎， 为蕤宾。

置蕤宾半律内周，六分六釐○六丝七忽○六纎为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得六分四釐一毫八丝六忽二微 六纎，为林钟。 置林钟半律内周，六分四釐一毫八丝六忽二微六 纎为实。以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○ 二千二百三十六除之，得六分二釐三毫五丝九忽 ○○，为《夷则》。

置夷则半律内周，六分二釐三毫五丝九忽○○为 实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二千 二百三十六除之，得六分○五毫八丝三忽七微六 纎，为南吕。 置南吕半律内周，六分○五毫八丝三忽七微六纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得五分八釐八毫五丝九忽○ 六纎，为无射。 置无射半律内周五分八釐八毫五丝九忽○。六纎 为实，以十亿乘之，以十亿○二千九百三十万○二 千二百三十六除之，得五分七釐一毫八丝三忽四 微。五纎为应钟