测圆海镜/卷10 中华文库

○三事和八问

或问：甲乙同立于干隅，乙向东行不知步数而立。甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会。二人共行了一千六百步，又云甲南行不及斜行八十步。问答同前。

法曰：共步内减四之小差，复以自之于上，以十八个小差幂减于上为实。四之共步内减十六个小差于上，却以十八小差加上为益从。四步常法。开平方得中差 ■。

草曰：别得共步为三事和也，不及步即小差也。立天元一为中差，加二之小差得■为大小差并。以加入三事和，得■为三弦也。倍三事得三千二百，内去大小差并，得■为三和也。内减三弦，馀■为三个黄方，以自之得■为九段黄方幂（寄左）。再置天元中差加小差，得■为大差，以小差■乘之得■，为半个黄方幂，就一十八之，得■为同数，与左相消得■。开平方得二百八十步，即中差也。其馀各依法求之，合问。

或问：依前三事和，又云大差三百六十步。问答同前。

法曰：倍云数以云数乘之，又九之于上。倍云数加三事和为前数，倍云数减二之三事和为后数。二数又相减，馀一百六十为泛率。以自乘减上位为平实，十八之云数内又加四之泛率为从，四常法。得中差■。

草曰：立天元一为中差。置云数倍之，内减天元得■为大小差共数，加于三事得■为三弦也。倍三事内减大小差共数，得下式■为三和也。内又减三弦得■ 为三个黄方面也，以自之得■为九段黄方幂（寄左）。再以天元减大差，得下式■为小差。又倍之得■，以云数乘之得下式■。又就分九之，得下式■，与左相消得下式■。开平方得二百八十步，即中差也。合问。

或问：依前见三事和，又云中差二百八十步。问答同前。

法曰：和步加差步，以自乘于上。又和步内减差步，以自乘加上位为平实。四之和步为益从，二步益隅。得大弦■。

草曰：立天元一为大弦，减共步得■为和，副置之。上位减差步，得■为二勾，以自之得■为四段勾幂也。下位加差步得■为二股，以自之得■为四段股幂也。二位相并得■为四段弦幂（寄左）。然后以天元自之，又四之，与左相消得■。开平方得六百八十步，即大弦也。倍之以减于三事和，馀即城径也。合问。

或问：依前见三事和，又云小差大差并四百四十步。问答同前。

法曰：并前后二数，三而一为弦。反以减共步，得数又以减弦，得城径。

草曰：二数相并得■，三而一得■即弦也。以弦减三事和，得■即和也。弦和又相减馀二百四十步，即城径也。合问。

或问：依前见三事和，又云小差、中差、大差共七百二十。问答同前。

法曰：半云数自之，又三之于上。半云数加三事，又自之，以三事幂加五减之，馀以减上位为平实。倍三事于上，半云数而五之，加上位为益从。二常法。得小差八十。

草曰：别得三差共为二大差也。立天元一为小差，并大差加入三事得■为三弦也。以自之，得■为十八积九较幂（寄起）。又以共三事步自之，得■于上。又以天元小差乘大差，倍之得■元加于上为十二积四较幂。又加五，得■为十八个直积六个较幂。以减寄起，馀得■为三个较幂（寄左）。然后以天元小差减大差，得 ■为中差，以自之得■，又三之得下式■。与寄左相消得■。平方而一，得八十步，即小差也。馀各依数求之。合问。

或问：依前见三事和，又云明黄方、Ａ１黄方共六十六。问答同前。

法曰：三事内加二之共步，复以二之共步乘之于上位。三事内减二之共步，复以二之共步乘之，得数减上位为平实。三事内加二之共步，又倍之于上。又六之共步加上位为泛寄。三事内减二之共步，又四之于上。又六之共步减上位，得数以减泛寄为从。作十八段虚隅。平方开之，得虚黄方■。

草曰：别得共步即虚大小差也。立天元一为虚黄方，以三之加入倍之共步，得■为圆径也。以圆径加三事得■为二通和，以圆径减三事得■为二通弦。又副置圆径，上加天元得■为二虚和，下减天元得■为二虚弦。乃置二大和以二小弦乘之，得下■（寄左）。然后置二大弦以二小和乘之得下式■，与左相消得■。开平方得三十六步，即虚黄方也。其馀各依法求之。合问。

或问：依前见三事和，又云皇极弦二百八十九步。问答同前。法曰：二数相乘为实，从空，一益隅。得大弦■。

草曰：立天元一为通弦，内减皇弦，馀■为皇极勾股和，以自之得■于上。以皇极弦幂减上位，得■为二直积，合以皇弦除之。不除，寄为母，便以此为城径（寄左）。乃以二之天元弦减共步，得■为黄方面，以皇弦通之，得■，与左相消得■。开平方得六百八十步，即大弦也。合问。

或问：依前见三事和，又云见太虚弦一百二步。问答同前。

法曰：半虚弦乘三事为实，三事为从，四虚隅。翻开之，得半大弦■。

草曰：识别得以虚弦减大弦，半之为皇极弦；以虚弦加大弦，半之为皇极勾股共也。立天元一为半大弦。以二之内减虚弦，得■，折半得■为皇极弦也。又以虚弦加大弦而半之，得■为皇极和也。和自之得■于上。又以弦自之得■，减上位，馀得下■元为二直积。合以皇极弦除之。不除，寄为分母，便以此为城径（寄左）。然后以四之天元减三事共，馀■，又以皇极弦分母通之，得■为同数，与左相消得■。倒积开得三百四十步，倍之即大弦也。合问。