测圆海镜/卷11 中华文库

○杂糅一十八问

或问：城南有槐树一株，城东有柳树一株。甲出北门东行，丙出西门南行。甲、丙、槐、柳悉与城参相直，既而丙就柳行五百四十四步至柳树下，甲就槐行四百二十五步至槐树下。问答同前。

法曰：甲就步自之于上，以二行相减数自之减上位为实。二之二行相减数并入二之甲就步为从，一步常法。得平弦■。

草曰：别得丙就步为边弦也，甲就步为底弦也。边弦即皇弦、高弦共也，底弦即皇弦、平弦共也。二行相并即大弦、皇弦共也，二行相减即皇极勾股较也。倍皇弦以减于大弦，馀即虚弦也。倍皇弦内减边弦，馀即Ａ１弦也。倍皇弦内减底弦，馀即明弦也。皇极弦加一差则大差弦也，内减一差则小差弦也。立天元一为平弦，加一皇极勾股差得■即高弦也。高弦自之得■，内加天元幂得■为皇弦幂（寄左）。然后以天元减底弦得下式■，自之得■为同数，与左相消，得■。开平方得一百三十六步，即平弦也。馀各依法求之，合问。

或问：出南门东行有槐树一株。甲出北门东行，斜望槐树与城相直，就槐树行二百七十二步。出东门南行有柳树一株。丙出西门南行，斜望柳树与城相直，就柳树行五百一十步。问答同前。

法曰：云数相并而半之，以自乘于上。半丙斜行以为幂，半甲斜行以为幂，并二幂减上位为实。并云数为益从。一步平隅。得虚弦■。

草曰：别得丙斜行为黄广弦也，亦为两个高弦也，此勾则城径也。甲斜行即黄长弦也，亦为两个平弦也，此股则城径也。二数相并，得■即大弦、虚弦共也；二数相减，馀■即两个皇极差也。二数相并而半之，得■即皇极和也。立天元一为虚弦。以减于皇极和，得■即皇极弦也。以自之，得■为皇弦幂（寄左）。然后以高弦自之得■，以平弦自之得■，二自乘数相并得■，与左相消，得■。开平方得一百二，即虚弦也。合问。

或问：甲从坤隅南行，不知步数而立。乙从艮隅南行一百五十步，望见甲，复斜行五百一十步，与甲相会。问答同前。

法曰：斜行自之于上。倍南行减斜，馀自之，以减上为实。倍南行减斜，又四之为从。八步常法。开平方，得半径。

草曰：别得南行即小差股，斜行即黄广弦也。小差股内减半径，馀即半个黄广积上股弦差也。全径即其勾也。立天元一为半城径。减于乙南行，倍之得■即一个黄广积上股弦差也，以减于斜行步，馀■即股也。自之得■为股幂也。又倍天元，以自之为大勾幂，加入大股幂，得下■（寄左）。然后以斜行幂■与寄左相消，得下式■。开平方得一百二十步，即半径也。合问。

或问：乙从艮隅东行，不知远近而止。甲从坤隅东行一百九十二步，望见乙，复斜行二百七十二步，与乙相会。问答同前。

法曰：倍东行减斜行，得数自为幂，以减于斜行幂为平实。倍东行减斜行，又四之为从。八益隅。翻法开平方，得半径。

草曰：别得甲东行即大差勾也，斜行则黄长弦也。大差勾内减半径，馀即半个黄长积上勾弦差也，全径即其股也。立天元一为半城径，减甲东行，倍之得■即一个黄长积上勾弦差也，以减于斜行步，得■即黄长勾也，以自之得■为勾幂于上。倍天元以自之，加上位得下式■为弦幂（寄左）。然后以斜行幂■为同数，与左相消得■。平开得一百二十步，即半城径也。合问。

或问：甲从坤东行一百九十二步，丙从艮南行一百五十步，望见之。问答同前。法曰：二行相乘，倍之为平实，如法得圆径。

草曰：别得甲行即大差勾，丙行即小差股。此二数相乘恰与大小差相乘正同。如法相乘讫，倍之得■为圆径幂（寄左）。然后立天元为圆径，以自之，与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

又法：以二行相减数减于二行相并数，馀者半之于上。复以二行相减数加于上，即城径。

草曰：别得甲东行减于径为虚勾也，丙南行减于径为虚股也。二行共为一径一虚弦共也，二行相减即虚和也。以相并数、相减数又相减即两个虚弦也。如法求得虚和■，虚弦■，相并得■即城径也。合问。

或问：出西门南行二百二十五步有塔，出北门东行六十四步，望塔正当城径之半。问答同前。法曰：二行相乘为平实，一步常法。得半径。

草曰：别得二百二十五步为高股，此乃半径为勾之股也。其六十四步为平勾，此乃半径为股之勾也。二数相并即皇极弦也，二数相减即中差内去皇极差也。又别得二行相乘恰是半径幂一段，此与半梯头相乘其意正同。今且以弦上容圆取之。立天元一为半径，副之。上加南行得■为股也，下加东行步得■为勾也。勾股相乘，得■为大直积。以天元半径除之，得■为勾股和（寄左）。然后并勾股得■，与左相消，得■。开平方得一百二十步，即半径也。合问。

或问：丙从干隅南行，丁从艮隅亦南行，甲从干隅东行，乙从坤隅亦东行。各不知步数，四人悉与城相直。只云丙行内减丁行，馀四百五十步；甲行内减乙行，馀一百二十八步。问答同前。

法曰：二行相乘为实，一步常法。得城径。

草曰：别得丙行即大股，丁行即小差之股也。甲行即大勾，乙行即大差之勾也。其■即黄广股，其■即黄长之勾也。立天元一为城径。先置黄广股■为股方差，以■为勾方差。以乘之得■为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式■。开平方得二百四十步。合问。

或问：出南门东行有槐树一株，出东门南行有柳树一株。丙丁二人同立于坤隅，甲乙二人同立于艮隅。丁直东行至槐而止，乙直南行至柳而止。丙直南行，甲直东行，四人遥相望见。只云丙行多于丁行一百六十八步，乙行多于甲行七十步。问答同前。

法曰：云数相乘为实，二数相减又半之为法。得城径。

草曰：别得■即大差勾股较也，其■即小差上勾股较也。二数相并为大差弦内减小差弦也，二数相较又半之，为皇极弦与城径差也，二数相并而半之即皇极差也。立天元一为圆径。二云数相减又半之，加天元得■为极弦也。并二数而半之，得■为极差也。副置极弦，上位加极差得■为弦较和也，下位内减极差得■为弦较较也。上、下相乘，得■为二直积（寄左）。然后以天元一乘极弦，得下式■为同数，与左相消得■。上法下实，如法而一，得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲从坤东行，丙从艮南行，适相见，斜行一百二步，甲丙相会。丙云：“我南行不及汝四十二步。”问答同前。

法曰：二数相并，以斜行乘于上。二数相并而半之，以乘相并数，减上位为平实。并二数又倍之于上，并二数又加斜行以减上位为从。一步常法。得虚勾。

草曰：别得一百二步即虚弦，四十二步即虚较也。又斜行得虚股为甲东行，此便为大差勾也。斜行步得虚勾为丙南行，此便是小差股也。立天元一为虚勾。加斜行步得■为小差股也，以不及步加于小差股得下式■为大差勾也。勾股相乘，得■为半段黄方幂（寄左）。然后再置虚勾加不及步，得■为虚股，又加入天元得 ■为虚和，又加入虚弦得■为圆径，以自之得■，又半之与寄左相消，得■。平方开得四十八步，即虚勾也。合问。

或问：甲从城心东行，丙从城心南行，庚从巽隅西行，壬从巽隅北行。四人遥相望见，各不知步数。只云甲丙共行了三百九十一，庚壬共行了一百三十八。问答同前。

法曰：云数相乘为实，相并为法。得虚弦■。

草曰：别得甲丙共为皇极和也，又为极弦、极黄共。庚壬共为太虚和也，又为虚弦、虚黄共。立天元一为皇极黄方面（亦为虚弦也）。减于甲丙共，得■即极弦也。又以天元减于庚壬共，得■即太虚黄方面也。以太虚黄方面乘极弦得■（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。上法下实，如法得一百二即皇极黄方面也。合问。

或问：甲从干隅东行，不知步数而止。丙向南行亦不知步数，望见甲，就甲斜行七百八十步，与甲相会。甲云：“我行地虽少于汝，以我东行步为法，除汝南行步，则汝止得二步四分。”问答同前。

法曰：斜步自之为平实，除步自之，又加一步为隅。得甲东行■。

草曰：此问所求城径与诸问并同，其勾股则与前后诸率不同。今特为此草者，欲使后学有以考较诸率当否也。立天元一为甲东行（即大勾），以乘二步四分，得■为长，以自之得■为股幂。又并入天元幂得■为弦幂（寄左）。乃以斜行自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三百步，即甲东行也。以二步四分乘之得七百二十步，即丙南行也。倍丙南行以甲东行乘之，得四十三万二千为实，以三事和一千八百为法除之，得二百四十步，即城径也。合问。

或问：小差黄方面少于大差黄方面八十四步，太虚黄方面少于皇极黄方面六十六步。问答同前。

法曰：半八十四为中差。以中差减六十六为二小差，又中小差相并为大差。乃以小差乘大差为平实。半步常法。得虚黄三十六。

草曰：别得八十四为两个虚积中差，其六十六为虚积大小差并。半八十四得■为虚中差也，以中差减六十六，馀二十四，半之得■即虚小差也。以小差反减六十六，馀■即虚大差也。又别得小差黄方为两Ａ１股，大差黄方为两明勾也。立天元一为虚黄方。置三位，上加小差得■为虚勾也，中加大差得下■为虚股也，下加大小差并得■为虚弦也。三位并之得■即城径也。倍虚勾减城径得■为大差黄方面也，又倍虚股减城径得■为小差黄方面也。半小差黄方面得■，以乘大差黄方面，得■为一个虚直积（寄左）。乃以虚勾、虚股相乘，得下■为同数，与左相消得■。平方开得三十六步，即虚黄方也。其馀依法求之，合问。

据此问，既别得大、小差正数，自可以求得黄方面也。诸如此类，实不须草。然今特为细草者，庶使后学知其来历也。

或问：大差弦较较减皇极弦馀四十九步，小差弦较和减太虚弦馀一百三十八步，又皇极差一百一十九步。问答同前。

法曰：并前二数为幂，内减极差幂为平实。从空，二益隅。得虚弦■。

草曰：别得大差弦较较与小差弦较和皆同为圆径也。又二数相并，得■为明弦Ａ１弦共，又为极和内少两个虚弦也，其一百三十八即虚和也，■则旁差也。立天元一为虚弦，加入一百三十八，得■为圆径也，又加入■得■为极弦，以自之得■，又倍之，得■，内却减极差幂■，得下式■为和幂（寄左）。乃倍天元加并数，得■为极和，以自增乘，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二步，即虚弦也。加入一百三十八，得二百四十步为圆径。合问（前二数相并加虚弦，便是极弦）。

或问：小差不及平弦五十六步，高弦不及大差一百五步。问答同前。法曰：以前数自之为实，二数相减为法。得平勾六十四。

草曰：别得云数相并得■为平勾不及高股也，此数得极差则通差也，此数内减虚差则极差也。云数相减，馀■即城径不及极弦也。以前数减于半径，馀即平勾也，以后数加于半径即高股也。倍前数加小差则为股圆差之勾也，此与前数加平弦同。倍后数减于大差则为勾圆差之股也，此与后数减于高弦同。立天元一为平勾，加相并数得■即高股也，又加天元得■即极弦也。内减二云数差，得■为城径也，半之得■，以自之得■为半径幂（寄左）。然后以天元乘高股得■为同数，与左相消得■。上法下实，得六十四步，即平勾也。合问。

又法：云数相得为实，相减为法。得半径■。

草曰：立天元为半径，副之。上内减五十六得■为平勾，下加一百五得■为高股。上下相乘得■为半径幂（寄左）。以天元幂与左相消，得下式■。上法下实，得一百二十步，即半径也。合问。

或问：通勾、通弦共一千步，大差、小差共得四百四十步。问答同前。

法曰：以二差共减于一千，又半之，以自乘为平实。以二差共减于一千，又半之，加入二之后数为从。二步二分五厘益隅。得勾圆差■。

草曰：立天元一为小差数，加入后数得■。却以减于前数得■，折半得■为一个圆径也，以自之，得下式■（寄左）。然后以天元减后数，得■为大差，以天元乘之，又倍之得■，与左相消得■。开平方得八十步，即勾圆差也。

或问：皇极三事和六百八十步，太虚弦和较三十六步。问答同前。

法曰：二数相得为实，半之后数为益从，五分常法。平开得城径■。

草曰：别得皇极三事和即大弦也。立天元一为圆径，内减三个后数■而半之，得■为太虚大小差并也，却加入两个后数■得下■为虚和也。又以虚和减天元得下■为虚弦也。置通弦（即皇极三事和也），内加天元得下式■即通和也。乃置通和以虚弦乘之，得下式■（寄左）。再置虚和以通弦乘之，得下■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：出南门行一百三十五步有树，出北门行一十五步，折而东行二百八步，望见树。问答同前。

法曰：以东行步乘南行步，得数又自乘为实。以东行步自乘乘南行步，又倍之为从。东行步自乘于上。并南北二行步，以减于东行步，馀数自之为幂，以减上，再寄位。又并南北二行步，以东行步乘而倍之，内减再寄为第一益廉。四之东行步于上，又并南北二行步减于东行步，又四之，减上位为第二益廉，四步虚隅。开三乘方，得半径。

草曰：立天元一为半径（即高勾也）。置南行加天元，得■为高弦也。置大勾■以高弦乘之，得■，复以高勾除之，得下式■为大弦也。令之自乘，得 ■（寄位）。又置二之天元，加南北行并，得■为大股。复用大勾二百八减之，得■为较也，以自乘，得■为较幂。以减寄位，得■为二直积（寄左）。再置大股■ 为直积，又倍之得■为同数，与左相消得■。翻法开三乘方，得一百二十步，即城径之半也。合问。

或问：出北门一十五步折而东行二百八步有树。出西门八步折而南行四百九十五步见之。问答同前。

法曰：先置南行步，内减一东二西并步，馀二百七十一为前泛率。次并一南二北，内减东行步，馀三百一十七为中泛率。次并东西步，以南行步乘之于上位。又以西行乘南北并，得数减上位，馀一十万二千八百四十为后泛率。乃以后泛率自乘，得一百五亿七千六百六万五千六百为三乘方实。以前中二泛相减馀四十六，以乘后泛数为从。前中二泛相乘得八万五千九百○七，加入二之后泛数，共得二十九万一千五百八十七于上位。又倍东西并，以乘南北并，得二十二万三百二十，加上位，通得五十一万一千九百七为第一廉。二之南北并，加入二之东西并，得一千四百五十二于上位。又以前中二泛相减，馀四十六，减上位，馀一千四百六为第二廉。一步常法。得半径。

草曰：立天元一为半城径，加入东行西行并得■为大勾也。又置天元加入南行北行并，得■为大股也。置西行八步以大股乘之得下式■，合以大勾除之。不除，寄为母，便以此为股尖也。置南行四百九十五步减天元得■，用分母大勾乘之，乘讫得下式■，内减了股尖，馀■为小股也（内带大勾分母）。置小股合以大勾乘了，复以大股除之为小勾。今为小股内已有大勾为母，更不须乘，只以小股■便为小勾也（内带大股为母）。小勾、小股相乘得数为一个小勾股相乘直积，内带大勾股相乘直积为分母也。乃以半城径（即天元也）除之，为一个弦较和也：■。此法本取勾外容圆，合以弦较和除二积，为勾外所容之圆。今用半天元圆径除一个积，则却得一个弦较和也，内依旧带大积分母也（寄左）。然后再置小股■，合用大积乘之，缘内已带大勾分母，今只用大股■乘之，得■为大积所乘小股于上。再置小勾，合用大积乘之，缘内已带大股分母，合只用大勾■乘之，得■为大积所乘之小勾也。以此小勾减上小股得■，即带分小较也。又二因小较得下式■为带分二较也。又以大勾股直积■乘二之天元半圆径，得■为一个带分弦较较也（弦较较乘弦较和为二直积，既以圆径除二直积为弦较和，则是圆径为弦较较也。今又为半天元圆径除一积为弦较和，故倍天元半径作一个弦较较也）。遂将此弦较较加入前二较，得■亦为一个弦较和也。与寄左相消得下式■。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。

又法：此问系是洞渊测圆门第一十龋粒保前答亦依洞渊细草，用勾外容圆术，以如于弦较和。然其数烦碎，宛转费力。今别草一法，其廉从与前不殊，而中间段络径捷明白。方之前术，极为省易，学者当自知也。立天元为半径，副之。上并加东西行，得■为通勾率。下并加南北行，得■为通股率。乃置西行八步以通股乘之得下■，合通勾除，不除，寄为母，便以此为南小股也。又置南行四百九十五步，内减天元得■，用通勾乘之，得■。内减了南小股，馀下式■为股圆差也，内带通勾分母。又置北行一十五步以通勾乘之，得■，合通股除，不除，寄为母，便以此为北小勾也。又置东行二百八步，内减天元得■，用通股乘之，得■。内减了北小勾，馀■为勾圆差也（内带通股分母）。乃以二差相乘得下式■为半段圆径幂也，内带通积为母（寄左）。然后以通勾通股相乘得■，以天元幂乘之，得■，又倍之得下式■为同数，与左相消，所得廉、从一与前同。合问。