几何原本/卷二 中华文库

界说二则

第一界

凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线

此例与算法通如上图：一边得三、一边得四，相乘得十二，则三偕四两边为十二之矩数。

凡直角诸形之内四角皆直，故不必更言四边及平行线，止名为直角形，省文也。

凡直角诸形不必全举四角，止举对角二字即指全形，如“甲乙丙丁”直角形，止举“甲丙”或“乙丁”，亦省文也。

第二界

诸方形有对角线者其两馀方形任偕一角线方形为磬折形

第一题

两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内诸直角形并等

解曰：甲与乙丙两线如以乙丙三分之为乙丁丁戊戊丙题言甲偕乙丙矩线内直角形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩线内直角形并等

论曰：试作乙己直角形在乙丙偕等甲之

　　　　　己丙矩线内〈作法于乙界作庚乙丙界作己丙两垂线俱与甲等为平〉 　　　　　〈行次作庚己直线与乙丙平行〉次于丁戊两点作辛丁壬 　戊两垂线与庚乙己丙平行〈一卷卅三〉其辛丁与庚乙壬 　戊与己丙既平行则辛丁与壬戊亦平行而辛丁壬 　戊与己丙等即亦与甲等〈一卷卅四〉如此则乙辛直角形 　在甲偕乙丁矩线内丁壬直角形在甲偕丁戊矩线 　内戊己直角形在甲偕戊丙矩线内并之则三矩内 　直角形与甲偕乙丙两元线矩内直角形等

注曰：二卷前十题皆言线之能也〈能者谓其上能为直角形也如〉

　　〈十尺线其上能为百尺方形之类〉其说与算数最近故九卷之十 四题俱以数明此十题之理今未及详因题意难 显略用数明之如本题设两数当两线为六为十 以十任三分之为五为三为二六乘十为六十之 一大实与六乘五为三十及六乘三为十八六乘 二为十二之三小实并等

第二题

一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并等

解曰：甲乙线任两分于丙题言甲乙上直 角方形与甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙两矩 线内直角形并等

论曰：试于甲乙线上作甲丁直角方形从丙点作己

　丙垂线与甲戊乙丁平行〈一卷卅一〉其甲戊与甲乙既等 　〈一卷卅四〉则甲己直角形在甲乙甲丙矩线内乙丁与甲 　乙既等则丙丁直角形在甲乙丙乙矩线内而此两 　形并与甲丁直角方形等

又论曰：试别作丁线与甲乙等其甲乙线既任 　　　分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形〈即甲乙上直角方形〉 与甲丙偕丁丙乙偕丁两矩线内直角形并等〈本篇一〉

注曰：以数明之设十数任两分之为七为三十乘

七为七十及十乘三为三十之两小实与十自之 百一大羃等

第三题

一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与 　分馀线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方 　形并等

解曰：甲乙线任两分于丙题言元线甲

乙任偕一分线如甲丙矩内直角形〈不论〉 〈甲丙为长分为短分〉与分馀丙乙偕甲丙矩线内 直角形及甲丙上直角方形并等

论曰试作甲丁直角方形从乙界作乙 巳垂线与甲戊平行〈一卷卅一〉而于戊丁引 　长之遇于己其甲戊与甲丙等则甲己直角形在元 　线甲乙偕一分线甲丙矩内丙丁与甲丙等则丙己 　直角形在一分线甲丙偕分馀线丙乙矩内而甲己 　直角形与甲丙丙乙矩线内丙己直角形及甲丙上 　甲丁直角方形并等

又论曰：试别作丁线与一分线甲丙等其甲乙 线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形〈即甲〉 　　　〈乙偕甲丙矩线内直角形〉与丁偕丙乙〈即甲丙偕丙乙〉丁偕甲丙〈即甲〉 　〈丙上直角方形〉两矩线内直角形并等〈本篇一〉

注曰：以数明之设十数任两分之为七为三如前

图则十乘七为七十与七乘三之实二十一及七 自之羃四十九并等如后图十乘三为三十与七 乘三之实二十一及三之羃九并等

第四题

一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内两直角形并等

论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形次 作乙戊对角线次从丙作丙己线与乙丁 　平行遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行 　而分本形为四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊 　两边等而甲乙戊与甲戊乙两角亦等〈一卷五〉夫甲乙 　戊形之三角并与两直角等〈一卷卅二〉而甲为直角即甲 　乙戊甲戊乙皆半直角〈一卷卅之二系〉依显丁乙戊角形之 　丁乙戊丁戊乙两角亦皆半直角则戊己庚外角与 　内角丁等为直角〈一卷卅九〉而己戊度既半直角则己庚 　戊等为半直角矣角既等则己庚己戊两边亦等〈一卷〉 　〈六〉庚辛辛戊亦等〈一卷卅四〉而辛巳为直角方形也依显 　丙壬亦直角方形也又庚辛与甲丙两对边等〈一卷卅四〉 　而乙丙与庚丙俱为直角方形边亦等则辛己为甲 　丙线上直角方形丙壬为丙乙线上直角方形也又 　甲庚及庚丁两直角形各在甲丙丙乙矩线内也则 　甲丁直角方形与甲丙丙乙两线上两直角方形及 　两线矩内两直角形并等矣 　系从此推知凡直角方形之角线形皆直角方形

又论曰甲乙线既任分于丙则元线甲乙上直 角方形与元线偕各分线矩内两直角形并等 〈本篇二〉又甲乙偕甲丙矩线内直角形与甲丙偕 　丙乙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等〈本篇三〉 　甲乙偕丙乙矩线内直角形与丙乙偕甲丙矩线内 　直角形及丙乙上直角方形并等〈本篇三〉则甲乙上直 　角方形与甲丙丙乙上两直角方形及甲丙偕丙乙 　丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等

注曰以数明之设十数任两分之为七为三十之 羃百与七之羃四十九三之羃九及三七互乘之 实两二十一并等

第五题

一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内直角 　形及分内线上直角方形并与平分半线上直角方 　形等

　论曰试于丙乙线上作丙己直角方形次作乙戊对 角线从丁作丁庚线与乙己平行遇对角 线于辛次从辛作壬癸线与丙乙平行次 从甲作甲子线与丙戊平行末从壬癸线 引长之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形 　　　　　〈本篇四之系〉而辛丁与丁乙两线等〈一卷卅四〉癸辛 　与丙丁两线等则甲辛直角形在任分之甲丁丁乙 　矩线内而癸庚为分内线丙丁上直角方形也今欲 　显甲辛直角形及癸庚直角方形并与丙己直角方 　形等者于丙辛辛己相等之两馀方形〈一篇四三〉每加一 　丁壬直角方形即丙壬及丁己两直角形等矣而甲 　癸与丙壬两形同在平行线内又底等即形亦等〈一卷〉 　〈卅六〉则甲癸与丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形 　则丑寅卯罄折形岂不与甲辛等次于罄折形又加 　一癸庚直角方形岂不与丙巳直角方形等也而甲 　辛癸庚两形并亦与丙己等也则甲丁丁乙矩线内 　直角形及丙丁上直角方形并与丙乙上直角方形 　等

注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之 　　为八为二则三为分内数〈三者五所以大于二之较又八所以大于五之〉 〈较〉二八之实十六三之羃九与五之羃二十五等

第六题

一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全 　线偕引増线矩内直角形及半元线上直角方形并 　与半元线偕引増线上直角方形等

　论曰试于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己对角 　线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从 　辛作壬癸线与丙丁平行次从甲作甲子线与丙己 　平行末从壬癸线引长之遇于子夫乙壬癸庚皆直 　角方形〈本篇四之系〉而乙丁与丁壬两线等〈一卷卅四〉癸辛与 　丙乙两线等则甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩线内 　而癸庚为丙乙上直角方形也今欲显甲壬直角形 　及癸庚直角方形并与丙戊直角方形等者试观甲 　癸与丙辛两直角形同在平行线内又底等即形亦 　等〈一卷卅六〉而丙辛与辛戊等〈一卷四三〉则辛戊与甲癸亦等 　即又每加一丙壬直角形则丑寅卯磬折形与甲壬 　等夫磬折形加一癸庚形本与丙戊直角方形等也 　即甲壬癸庚两形并亦与丙戊等也则甲丁乙丁矩 　线内直角形及丙乙上直角方形并岂不与丙丁上 　直角方形等

注曰以数明之设十数两平分之各五又引増二 共十二二乘之为二十四及五之羃二十五与七 之羃四十九等

第七题

一直线任两分之其元线上及任用一分线上两直角 　方形并与元线偕一分线矩内直角形二及分馀线 　上直角方形并等

论曰试于甲乙上作甲丁直角方形次作 乙戊对角线从丙作丙己线与乙丁平行 　遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行夫辛 　己丙壬皆直角方形〈本篇四之系〉而辛庚与甲丙等〈一卷卅四〉 　即辛己为甲丙上直角方形也又甲戊与甲乙等即 　甲己直角形在甲乙偕甲丙矩线内也又戊丁丁壬 　与甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙 　矩线内也夫甲己己壬两直角形〈即癸子丑罄折形〉及丙壬 　直角方形并本与甲丁直角方形等今于甲己辛丁 　两直角形并加一丙壬直角方形即与甲丁直角方 形加一辛巳直角方形等矣则甲乙甲丙 矩线内直角形二及丙乙上直角方形并 与甲乙上直角方形及甲丙上直角方形 并等也

注曰以数明之设十数任分之为六为四 如前图十之羃百及六之羃三十六并与 十六互乘之两实百二十及四之羃十六等如后 图十之羃百及四之羃十六并与十四互乘之两 实八十及六之羃三十六等

第八题

一直线任两分之其元线偕初分线矩内直角形四及 　分馀线上直角方形并与元线偕初分线上直角方 　形等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙 偕初分线丙乙矩内直角形四〈不论丙乙为长〉 〈分为短分〉及分馀线甲丙上直角方形并与 甲乙偕丙乙上直角方形等

注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图 十六互乘之实四为二百四十及四之羃十六共 二百五十六与十六之羃等如后图十四互乘之 实四为一百六十及六之羃三十六共一百九十 六与十四之羃等

第九题

一直线两平分之又任两分之任分线上两直角方形 　并倍大于平分半线上及分内线上两直角方形并

　解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙 　上两直角方形并倍大于平分半线甲丙上分内线 丙丁上两直角方形并

论曰试于丙上作丙戊垂线与甲丙等次 作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇 戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行遇 　戊丙于庚末作甲己线其甲丙戊角形之甲丙丙戊 　两腰等即丙戊甲丙甲戊两角亦等〈一卷五〉而甲丙戊 　为直角即馀两角皆半直角〈一卷卅二之系〉依显丙戊乙亦 　半直角又戊庚己角形之戊庚己角为戊丙乙之外 　角即亦直角〈一卷廿九〉而庚戊己半直角即庚己戊亦半 　直角〈一卷卅二之系〉又庚戊己庚己戊两角等即庚戊庚己 　两腰亦等〈一卷六〉依显丁乙己角形之丁乙丁己两腰 　亦等夫甲丙戊角形之丙为直角即甲戊线上直角 　方形与甲丙丙戊线上两直角方形并等〈一卷四七〉而甲 　丙丙戊上两直角方形自相等即甲戊上直角方形 　倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚为 　直角即戊己线上直角方形与庚戊庚己线上两直 角方形并等〈一卷四七〉而庚戊庚己上两直角 方形自相等即戊己上直角方形倍大于 等庚己之丙丁上直角方形矣〈庚己丙丁为丙己直〉 　　　　　〈角形之对边故见一卷卅四〉则是甲戊戊己上两直角 　方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲 　己上直角方形既等于甲戊戊己上两直角方形并 　又等于甲丁丁己上两直角方形并〈一篇四七〉则甲丁丁 　己上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角 　方形并矣而丁己与丁乙等则甲丁丁乙上两直角 　方形并岂不倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也

注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之 为七为三分内数二其七之羃四十九及三之羃 九倍大于五之羃二十五及二之羃四

第十题

一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线 　上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上 　及分馀半线偕引増线上两直角方形并

解曰甲乙直线平分于丙又任引増为 乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两直 角方形并倍大于甲丙线上及丙丁线 上两直角方形并

　论曰试于丙上作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至 　乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又从戊乙 　引长之遇于庚次作戊己线与丙丁平行末作甲庚 　线依前题论推显甲戊乙为直角丙戊乙为半直角 　即相对之戊庚己亦半直角〈一卷廿九〉又己为直角〈一卷卅四〉 　即己戊庚亦半直角〈一卷卅二〉而己戊己庚两腰必等〈一卷〉 　〈六〉依显乙丁丁庚两腰亦等夫甲戊上直角方形等 　于甲丙丙戊上两直角方形并〈一卷四七〉必倍大于甲丙 　上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上 　两直角方形并〈一卷四七〉必倍大于对戊己边之丙丁上 　直角方形〈一卷卅四〉则甲戊戊庚上两直角方形并倍大 　于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲庚上直角方 　形等于甲戊戊庚上两直角方形并亦等于甲丁丁 　庚上两直角方形并则甲丁丁庚上两直角方形并 　亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也而甲丁乙 　丁上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方 　形并矣〈丁庚与乙丁等故〉

注曰以数明之设十数平分之各五又任増三为 十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于 五之羃二十五及八之羃六十四也

第十一题

一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分 　馀线上直角方形等

法曰甲乙线求两分之而元线偕初分 小线矩内直角形与分馀大线上直角 方形等先于甲乙上作甲丙直角方形 　次以甲丁线两平分于戊次作戊乙线次从戊甲引 　増至己而戊己线与戊乙等末于甲乙线截取甲庚 　与甲己等即甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上 　直角方形等如所求

　论曰试于庚上作壬辛线与丁己平行次作己辛线 　与甲庚平行其壬庚与丙乙等即与甲乙等而庚丙 　直角形在甲乙偕庚乙矩线内也又甲庚与甲己等 　而甲为直角即己庚为甲庚上直角方形也〈一卷卅四〉今 　欲显庚丙直角形与己庚直角方形等者试观甲丁 　两平分于戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩线内 　直角形〈即丁辛直角形〉及甲戊上直角方形并与等戊己之 　戊乙上直角方形等〈本篇六〉夫戊乙上直角方形等于 　甲戊甲乙上两直角方形并〈一卷四七〉即丁辛直角形及 甲戊上直角方形并与甲戊甲乙上两 直角方形并等矣次各减同用之甲戊 上直角方形即所存丁辛直角形不与 　甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各减同用 　之甲壬直角形则所存己庚直角方形与庚丙直角 　形等而甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角 　方形等也

注曰此题无数可解说见九卷十四题

第十二题

三边钝角形之对钝角边上直角方形大于馀边上两 　直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线 　之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二

解曰甲乙丙三边钝角形甲乙丙为钝角 从馀角如甲下一垂线与钝角旁一边如 丙乙之引増线遇于丁为直角题言对钝 角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙 边上两直角方形并之较为丙乙偕乙丁 　矩线内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方 　形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并与甲丙上直 　角方形等

论曰丙丁线既任分于乙即丙丁上直角 方形与丙乙乙丁上两直角方形及丙乙 偕乙丁矩线内直角形二并等〈本篇四〉此二 率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲 丁上两直角方形并与丙乙乙丁甲丁上 　直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等 　也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上两直角方 　形并〈一卷四七〉即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三 　及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并也又甲乙线上 　直角方形既等于乙丁甲丁上两直角方形并〈一卷四七〉 　即甲丙上直角方形与甲乙丙乙上两直角方形及 　丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等矣

第十三题

三边锐角形之对锐角边上直角方形小于馀边上两 　直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所 　下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二

解曰甲乙丙三边锐角形从一角如甲向 对边乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对 甲丙乙锐角之甲乙边上直角方形小于 乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙 丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙 　丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙 　丙偕丁丙矩线内直角形二并等

　论曰乙丙线既任分于丁即乙丙丁丙上两直角方 形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及 乙丁上直角方形并等〈本篇七〉此二率者每 加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁 上直角方形三与乙丙偕丁丙矩线内直 角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等 　也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上两直角方 　形并〈一卷四七〉即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕 　丁丙矩线内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形 　并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上两直 　角方形并〈一卷四七〉即乙丙甲丙上两直角方形并与乙 　丙偕丁丙矩线内直角形二及甲乙上直角方形并 　等反说之则甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上两 　直角方形并者为乙丙偕丁丙矩线内直角形二也

注曰题中止论锐角形不言直角钝角形而直角 　　钝角形中俱有两锐角〈一卷十七卅二〉即对锐角边上形 　　亦同此论〈如第二第三图是〉但三锐角形所作垂线任用 一角而直角形必用直角钝角形必用钝角此为 异耳〈直角钝角形不用直角钝角不能作垂线〉

第十四题

有直线形求作直角方形与之等

　法曰甲直线无法四边形求作直角 　方形与之等先作乙丁形与甲等而 　直角〈一卷四五〉次任用一边引长之如丁 　丙引之至己而丙己与乙丙等次以 　丁巳两平分于庚其庚点或在丙点或在丙点之外 　若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣〈盖丙己与乙丙等又与丙〉 　〈丁等而馀边俱相等故乙丁为直角方形见一卷卅四〉若庚在丙外即以庚为 　心丁巳为界作丁辛巳半圜末从乙丙线引长之遇 　圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等

　论曰试自庚至辛作直线其丁巳线既两平分于庚 　又任两分于丙则丁丙偕丙巳矩内直角形〈即乙丁直角形〉 　〈盖丙己与乙丙等故〉及庚丙上直角方形并与等庚巳之庚辛 　上直角方形等〈本篇五〉夫庚辛上直角方形等于庚丙 　丙辛上两直角方形并〈一卷四七〉即乙丁直角形及庚丙 　上直角方形并与庚丙丙辛上两直角方形并等次 　各减同用之庚丙上直角方形则丙辛上直角方形 　与乙丁直角形等

増题

凡先得直角方形之对角线所长于本形边 之较而求本形边

法曰直角方形之对角线所长于本形边之较为 甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙 直角方形次作乙丁对角线又引长之 为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊 线如所求

论曰试于乙戊作戊己垂线从乙甲线引长之遇 　　于己其乙戊己既直角而戊乙己为半直角〈一卷卅二〉 即戊己乙亦半直角而戊乙与戊己两边等〈一卷六〉 次作己庚与戊乙平行作乙庚与戊己平行即戊 庚形为戊乙边上直角方形也末作戊甲线即丁 戊甲丁甲戊两角等也〈一卷五〉夫乙戊己丁甲己既 两皆直角试每减一相等之丁戊甲丁甲戊角即 所存己戊甲己甲戊两角必等而己戊己甲两边 必等〈一卷六〉则乙己对角线大于乙戊边之较为甲 乙矣。

〈此増不在本书，因其方形，故类附于此。〉 　

幾何原本卷二